Theorem cjadd 6738

Description: Complex conjugate distributes over addition. Proposition 10-3.4(a) of [Gleason] p. 133.

Hypotheses

Ref	Expression
cjcj.1	|- A e. CC
readd.2	|- B e. CC

Assertion

Ref	Expression
cjadd	|- (*` (A + B)) = ((*` A) + (*` B))

Proof of Theorem cjadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjcj.1	. . . . 5 |- A e. CC
2		readd.2	. . . . 5 |- B e. CC
3	1, 2	readd 6734	. . . 4 |- (Re` (A + B)) = ((Re` A) + (Re` B))
4	1, 2	imadd 6735	. . . . . 6 |- (Im` (A + B)) = ((Im` A) + (Im` B))
5	4	opreq2i 3967	. . . . 5 |- (i x. (Im` (A + B))) = (i x. ((Im` A) + (Im` B)))
6		axicn 5253	. . . . . 6 |- i e. CC
7	1	imcl 6713	. . . . . . 7 |- (Im` A) e. RR
8	7	recn 5297	. . . . . 6 |- (Im` A) e. CC
9	2	imcl 6713	. . . . . . 7 |- (Im` B) e. RR
10	9	recn 5297	. . . . . 6 |- (Im` B) e. CC
11	6, 8, 10	adddi 5309	. . . . 5 |- (i x. ((Im` A) + (Im` B))) = ((i x. (Im` A)) + (i x. (Im` B)))
12	5, 11	eqtr 1493	. . . 4 |- (i x. (Im` (A + B))) = ((i x. (Im` A)) + (i x. (Im` B)))
13	3, 12	opreq12i 3968	. . 3 |- ((Re` (A + B)) - (i x. (Im` (A + B)))) = (((Re` A) + (Re` B)) - ((i x. (Im` A)) + (i x. (Im` B))))
14	1	recl 6712	. . . . 5 |- (Re` A) e. RR
15	14	recn 5297	. . . 4 |- (Re` A) e. CC
16	2	recl 6712	. . . . 5 |- (Re` B) e. RR
17	16	recn 5297	. . . 4 |- (Re` B) e. CC
18	6, 8	mulcl 5304	. . . 4 |- (i x. (Im` A)) e. CC
19	6, 10	mulcl 5304	. . . 4 |- (i x. (Im` B)) e. CC
20	15, 17, 18, 19	addsub4 5457	. . 3 |- (((Re` A) + (Re` B)) - ((i x. (Im` A)) + (i x. (Im` B)))) = (((Re` A) - (i x. (Im` A))) + ((Re` B) - (i x. (Im` B))))
21	13, 20	eqtr 1493	. 2 |- ((Re` (A + B)) - (i x. (Im` (A + B)))) = (((Re` A) - (i x. (Im` A))) + ((Re` B) - (i x. (Im` B))))
22	1, 2	addcl 5303	. . 3 |- (A + B) e. CC
23		cjvalt 6710	. . 3 |- ((A + B) e. CC -> (*` (A + B)) = ((Re` (A + B)) - (i x. (Im` (A + B)))))
24	22, 23	ax-mp 7	. 2 |- (*` (A + B)) = ((Re` (A + B)) - (i x. (Im` (A + B))))
25		cjvalt 6710	. . . 4 |- (A e. CC -> (*` A) = ((Re` A) - (i x. (Im` A))))
26	1, 25	ax-mp 7	. . 3 |- (*` A) = ((Re` A) - (i x. (Im` A)))
27		cjvalt 6710	. . . 4 |- (B e. CC -> (*` B) = ((Re` B) - (i x. (Im` B))))
28	2, 27	ax-mp 7	. . 3 |- (*` B) = ((Re` B) - (i x. (Im` B)))
29	26, 28	opreq12i 3968	. 2 |- ((*` A) + (*` B)) = (((Re` A) - (i x. (Im` A))) + ((Re` B) - (i x. (Im` B))))
30	21, 24, 29	3eqtr4 1503	1 |- (*` (A + B)) = ((*` A) + (*` B))

Syntax hints:   = wceq 955   e. wcel 957  ` cfv 3178  (class class class)co 3958  CCcc 5215  ici 5219   + caddc 5220   x. cmul 5222   - cmin 5275  Recre 6693  Imcim 6694  *ccj 6695

This theorem is referenced by:  cjaddt 6762  normlem2 8932

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-nel 1586  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-en 4360  df-dom 4361  df-sdom 4362  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-mp 5072  df-ltp 5073  df-plpr 5147  df-mpr 5148  df-enr 5149  df-nr 5150  df-plr 5151  df-mr 5152  df-ltr 5153  df-0r 5154  df-1r 5155  df-m1r 5156  df-c 5223  df-0 5224  df-1 5225  df-i 5226  df-r 5227  df-plus 5228  df-mul 5229  df-lt 5230  df-sub 5339  df-neg 5341  df-pnf 5470  df-mnf 5471  df-xr 5472  df-ltxr 5473  df-le 5474  df-div 5682  df-re 6697  df-im 6698  df-cj 6699

Copyright terms: Public domain