MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cjadd Structured version   Unicode version

Theorem cjadd 11948
Description: Complex conjugate distributes over addition. Proposition 10-3.4(a) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 31-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
cjadd  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( * `  ( A  +  B )
)  =  ( ( * `  A )  +  ( * `  B ) ) )

Proof of Theorem cjadd
StepHypRef Expression
1 readd 11933 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  ( A  +  B )
)  =  ( ( Re `  A )  +  ( Re `  B ) ) )
2 imadd 11941 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  ( A  +  B )
)  =  ( ( Im `  A )  +  ( Im `  B ) ) )
32oveq2d 6099 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
Im `  ( A  +  B ) ) )  =  ( _i  x.  ( ( Im `  A )  +  ( Im `  B ) ) ) )
4 ax-icn 9051 . . . . . . 7  |-  _i  e.  CC
54a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  _i  e.  CC )
6 imcl 11918 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
76adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  A
)  e.  RR )
87recnd 9116 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  A
)  e.  CC )
9 imcl 11918 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Im `  B )  e.  RR )
109adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  B
)  e.  RR )
1110recnd 9116 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  B
)  e.  CC )
125, 8, 11adddid 9114 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
( Im `  A
)  +  ( Im
`  B ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( Im
`  A ) )  +  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) )
133, 12eqtrd 2470 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
Im `  ( A  +  B ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  +  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) )
141, 13oveq12d 6101 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  ( A  +  B
) )  -  (
_i  x.  ( Im `  ( A  +  B
) ) ) )  =  ( ( ( Re `  A )  +  ( Re `  B ) )  -  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  +  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) ) )
15 recl 11917 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
1615adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  A
)  e.  RR )
1716recnd 9116 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  A
)  e.  CC )
18 recl 11917 . . . . . 6  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Re `  B )  e.  RR )
1918adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  B
)  e.  RR )
2019recnd 9116 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  B
)  e.  CC )
21 mulcl 9076 . . . . 5  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
224, 8, 21sylancr 646 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
23 mulcl 9076 . . . . 5  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  B )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  B )
)  e.  CC )
244, 11, 23sylancr 646 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
Im `  B )
)  e.  CC )
2517, 20, 22, 24addsub4d 9460 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A )  +  ( Re `  B
) )  -  (
( _i  x.  (
Im `  A )
)  +  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) )  =  ( ( ( Re `  A
)  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  +  ( ( Re
`  B )  -  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) ) )
2614, 25eqtrd 2470 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  ( A  +  B
) )  -  (
_i  x.  ( Im `  ( A  +  B
) ) ) )  =  ( ( ( Re `  A )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  +  ( ( Re `  B
)  -  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) ) )
27 addcl 9074 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  B
)  e.  CC )
28 remim 11924 . . 3  |-  ( ( A  +  B )  e.  CC  ->  (
* `  ( A  +  B ) )  =  ( ( Re `  ( A  +  B
) )  -  (
_i  x.  ( Im `  ( A  +  B
) ) ) ) )
2927, 28syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( * `  ( A  +  B )
)  =  ( ( Re `  ( A  +  B ) )  -  ( _i  x.  ( Im `  ( A  +  B ) ) ) ) )
30 remim 11924 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  A )  =  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
31 remim 11924 . . 3  |-  ( B  e.  CC  ->  (
* `  B )  =  ( ( Re
`  B )  -  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) )
3230, 31oveqan12d 6102 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( * `  A )  +  ( * `  B ) )  =  ( ( ( Re `  A
)  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  +  ( ( Re
`  B )  -  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) ) )
3326, 29, 323eqtr4d 2480 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( * `  ( A  +  B )
)  =  ( ( * `  A )  +  ( * `  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   CCcc 8990   RRcr 8991   _ici 8994    + caddc 8995    x. cmul 8997    - cmin 9293   *ccj 11903   Recre 11904   Imcim 11905
This theorem is referenced by:  cjsub  11956  cjreim  11967  cjaddi  11995  cjaddd  12027  sqabsadd  12089  sqreulem  12165  fsumcj  12591  efcj  12696  cnsrng  16737  atancj  20752  his7  22594  sigaraf  27821
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-riota 6551  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-2 10060  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908
  Copyright terms: Public domain W3C validator