MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cjcj Unicode version

Theorem cjcj 11872
Description: The conjugate of the conjugate is the original complex number. Proposition 10-3.4(e) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 29-Jul-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
cjcj  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  ( * `  A ) )  =  A )

Proof of Theorem cjcj
StepHypRef Expression
1 cjcl 11837 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  A )  e.  CC )
2 recj 11856 . . . . 5  |-  ( ( * `  A )  e.  CC  ->  (
Re `  ( * `  ( * `  A
) ) )  =  ( Re `  (
* `  A )
) )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  ( * `  ( * `  A
) ) )  =  ( Re `  (
* `  A )
) )
4 recj 11856 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  ( * `  A ) )  =  ( Re `  A
) )
53, 4eqtrd 2419 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  ( * `  ( * `  A
) ) )  =  ( Re `  A
) )
6 imcj 11864 . . . . . 6  |-  ( ( * `  A )  e.  CC  ->  (
Im `  ( * `  ( * `  A
) ) )  = 
-u ( Im `  ( * `  A
) ) )
71, 6syl 16 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  ( * `  ( * `  A
) ) )  = 
-u ( Im `  ( * `  A
) ) )
8 imcj 11864 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  ( * `  A ) )  = 
-u ( Im `  A ) )
98negeqd 9232 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  -u (
Im `  ( * `  A ) )  = 
-u -u ( Im `  A ) )
10 imcl 11843 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
1110recnd 9047 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  CC )
1211negnegd 9334 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  -u -u (
Im `  A )  =  ( Im `  A ) )
139, 12eqtrd 2419 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  -u (
Im `  ( * `  A ) )  =  ( Im `  A
) )
147, 13eqtrd 2419 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  ( * `  ( * `  A
) ) )  =  ( Im `  A
) )
1514oveq2d 6036 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( Im `  ( * `  (
* `  A )
) ) )  =  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )
165, 15oveq12d 6038 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Re `  (
* `  ( * `  A ) ) )  +  ( _i  x.  ( Im `  ( * `
 ( * `  A ) ) ) ) )  =  ( ( Re `  A
)  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
17 cjcl 11837 . . 3  |-  ( ( * `  A )  e.  CC  ->  (
* `  ( * `  A ) )  e.  CC )
18 replim 11848 . . 3  |-  ( ( * `  ( * `
 A ) )  e.  CC  ->  (
* `  ( * `  A ) )  =  ( ( Re `  ( * `  (
* `  A )
) )  +  ( _i  x.  ( Im
`  ( * `  ( * `  A
) ) ) ) ) )
191, 17, 183syl 19 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  ( * `  A ) )  =  ( ( Re `  ( * `  (
* `  A )
) )  +  ( _i  x.  ( Im
`  ( * `  ( * `  A
) ) ) ) ) )
20 replim 11848 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  A  =  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
2116, 19, 203eqtr4d 2429 1  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  ( * `  A ) )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   CCcc 8921   _ici 8925    + caddc 8926    x. cmul 8928   -ucneg 9224   *ccj 11828   Recre 11829   Imcim 11830
This theorem is referenced by:  cjmulrcl  11876  cjreim2  11893  cj11  11894  cjcji  11903  cjcjd  11931  abscj  12011  sqabsadd  12014  sqabssub  12015  cnsrng  16658  plycjlem  20061  dipassr2  22196  his52  22437  cnvbramul  23466
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-riota 6485  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-2 9990  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833
  Copyright terms: Public domain W3C validator