MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cjcj Unicode version

Theorem cjcj 11590
Description: The conjugate of the conjugate is the original complex number. Proposition 10-3.4(e) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 29-Jul-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
cjcj  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  ( * `  A ) )  =  A )

Proof of Theorem cjcj
StepHypRef Expression
1 cjcl 11555 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  A )  e.  CC )
2 recj 11574 . . . . 5  |-  ( ( * `  A )  e.  CC  ->  (
Re `  ( * `  ( * `  A
) ) )  =  ( Re `  (
* `  A )
) )
31, 2syl 17 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  ( * `  ( * `  A
) ) )  =  ( Re `  (
* `  A )
) )
4 recj 11574 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  ( * `  A ) )  =  ( Re `  A
) )
53, 4eqtrd 2290 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  ( * `  ( * `  A
) ) )  =  ( Re `  A
) )
6 imcj 11582 . . . . . 6  |-  ( ( * `  A )  e.  CC  ->  (
Im `  ( * `  ( * `  A
) ) )  = 
-u ( Im `  ( * `  A
) ) )
71, 6syl 17 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  ( * `  ( * `  A
) ) )  = 
-u ( Im `  ( * `  A
) ) )
8 imcj 11582 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  ( * `  A ) )  = 
-u ( Im `  A ) )
98negeqd 9014 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  -u (
Im `  ( * `  A ) )  = 
-u -u ( Im `  A ) )
10 imcl 11561 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
1110recnd 8829 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  CC )
1211negnegd 9116 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  -u -u (
Im `  A )  =  ( Im `  A ) )
139, 12eqtrd 2290 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  -u (
Im `  ( * `  A ) )  =  ( Im `  A
) )
147, 13eqtrd 2290 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  ( * `  ( * `  A
) ) )  =  ( Im `  A
) )
1514oveq2d 5808 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( Im `  ( * `  (
* `  A )
) ) )  =  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )
165, 15oveq12d 5810 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Re `  (
* `  ( * `  A ) ) )  +  ( _i  x.  ( Im `  ( * `
 ( * `  A ) ) ) ) )  =  ( ( Re `  A
)  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
17 cjcl 11555 . . 3  |-  ( ( * `  A )  e.  CC  ->  (
* `  ( * `  A ) )  e.  CC )
18 replim 11566 . . 3  |-  ( ( * `  ( * `
 A ) )  e.  CC  ->  (
* `  ( * `  A ) )  =  ( ( Re `  ( * `  (
* `  A )
) )  +  ( _i  x.  ( Im
`  ( * `  ( * `  A
) ) ) ) ) )
191, 17, 183syl 20 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  ( * `  A ) )  =  ( ( Re `  ( * `  (
* `  A )
) )  +  ( _i  x.  ( Im
`  ( * `  ( * `  A
) ) ) ) ) )
20 replim 11566 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  A  =  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
2116, 19, 203eqtr4d 2300 1  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  ( * `  A ) )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1619    e. wcel 1621   ` cfv 4673  (class class class)co 5792   CCcc 8703   _ici 8707    + caddc 8708    x. cmul 8710   -ucneg 9006   *ccj 11546   Recre 11547   Imcim 11548
This theorem is referenced by:  cjmulrcl  11594  cjreim2  11611  cj11  11612  cjcji  11621  cjcjd  11649  abscj  11729  sqabsadd  11732  sqabssub  11733  cnsrng  16370  plycjlem  19619  dipassr2  21385  his52  21626  cnvbramul  22655
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3802  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-iota 6225  df-riota 6272  df-er 6628  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-div 9392  df-2 9772  df-cj 11549  df-re 11550  df-im 11551
  Copyright terms: Public domain W3C validator