MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cjcj Unicode version

Theorem cjcj 11555
Description: The conjugate of the conjugate is the original complex number. Proposition 10-3.4(e) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 29-Jul-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
cjcj  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  ( * `  A ) )  =  A )

Proof of Theorem cjcj
StepHypRef Expression
1 cjcl 11520 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  A )  e.  CC )
2 recj 11539 . . . . 5  |-  ( ( * `  A )  e.  CC  ->  (
Re `  ( * `  ( * `  A
) ) )  =  ( Re `  (
* `  A )
) )
31, 2syl 17 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  ( * `  ( * `  A
) ) )  =  ( Re `  (
* `  A )
) )
4 recj 11539 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  ( * `  A ) )  =  ( Re `  A
) )
53, 4eqtrd 2288 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  ( * `  ( * `  A
) ) )  =  ( Re `  A
) )
6 imcj 11547 . . . . . 6  |-  ( ( * `  A )  e.  CC  ->  (
Im `  ( * `  ( * `  A
) ) )  = 
-u ( Im `  ( * `  A
) ) )
71, 6syl 17 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  ( * `  ( * `  A
) ) )  = 
-u ( Im `  ( * `  A
) ) )
8 imcj 11547 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  ( * `  A ) )  = 
-u ( Im `  A ) )
98negeqd 8979 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  -u (
Im `  ( * `  A ) )  = 
-u -u ( Im `  A ) )
10 imcl 11526 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
1110recnd 8794 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  CC )
1211negnegd 9081 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  -u -u (
Im `  A )  =  ( Im `  A ) )
139, 12eqtrd 2288 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  -u (
Im `  ( * `  A ) )  =  ( Im `  A
) )
147, 13eqtrd 2288 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  ( * `  ( * `  A
) ) )  =  ( Im `  A
) )
1514oveq2d 5773 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( Im `  ( * `  (
* `  A )
) ) )  =  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )
165, 15oveq12d 5775 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Re `  (
* `  ( * `  A ) ) )  +  ( _i  x.  ( Im `  ( * `
 ( * `  A ) ) ) ) )  =  ( ( Re `  A
)  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
17 cjcl 11520 . . 3  |-  ( ( * `  A )  e.  CC  ->  (
* `  ( * `  A ) )  e.  CC )
18 replim 11531 . . 3  |-  ( ( * `  ( * `
 A ) )  e.  CC  ->  (
* `  ( * `  A ) )  =  ( ( Re `  ( * `  (
* `  A )
) )  +  ( _i  x.  ( Im
`  ( * `  ( * `  A
) ) ) ) ) )
191, 17, 183syl 20 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  ( * `  A ) )  =  ( ( Re `  ( * `  (
* `  A )
) )  +  ( _i  x.  ( Im
`  ( * `  ( * `  A
) ) ) ) ) )
20 replim 11531 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  A  =  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
2116, 19, 203eqtr4d 2298 1  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  ( * `  A ) )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1619    e. wcel 1621   ` cfv 4638  (class class class)co 5757   CCcc 8668   _ici 8672    + caddc 8673    x. cmul 8675   -ucneg 8971   *ccj 11511   Recre 11512   Imcim 11513
This theorem is referenced by:  cjmulrcl  11559  cjreim2  11576  cj11  11577  cjcji  11586  cjcjd  11614  abscj  11694  sqabsadd  11697  sqabssub  11698  cnsrng  16335  plycjlem  19584  dipassr2  21350  his52  21591  cnvbramul  22620
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-resscn 8727  ax-1cn 8728  ax-icn 8729  ax-addcl 8730  ax-addrcl 8731  ax-mulcl 8732  ax-mulrcl 8733  ax-mulcom 8734  ax-addass 8735  ax-mulass 8736  ax-distr 8737  ax-i2m1 8738  ax-1ne0 8739  ax-1rid 8740  ax-rnegex 8741  ax-rrecex 8742  ax-cnre 8743  ax-pre-lttri 8744  ax-pre-lttrn 8745  ax-pre-ltadd 8746  ax-pre-mulgt0 8747
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3769  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-iota 6190  df-riota 6237  df-er 6593  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-xr 8804  df-ltxr 8805  df-le 8806  df-sub 8972  df-neg 8973  df-div 9357  df-2 9737  df-cj 11514  df-re 11515  df-im 11516
  Copyright terms: Public domain W3C validator