MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cjmulrcl Unicode version

Theorem cjmulrcl 11625
Description: A complex number times its conjugate is real. (Contributed by NM, 26-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
cjmulrcl  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  x.  ( * `  A ) )  e.  RR )

Proof of Theorem cjmulrcl
StepHypRef Expression
1 cjcj 11621 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  ( * `  A ) )  =  A )
21oveq2d 5836 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( * `  A
)  x.  ( * `
 ( * `  A ) ) )  =  ( ( * `
 A )  x.  A ) )
3 cjcl 11586 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  A )  e.  CC )
4 cjmul 11623 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( * `  A
)  e.  CC )  ->  ( * `  ( A  x.  (
* `  A )
) )  =  ( ( * `  A
)  x.  ( * `
 ( * `  A ) ) ) )
53, 4mpdan 649 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  ( A  x.  ( * `  A
) ) )  =  ( ( * `  A )  x.  (
* `  ( * `  A ) ) ) )
6 mulcom 8819 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( * `  A
)  e.  CC )  ->  ( A  x.  ( * `  A
) )  =  ( ( * `  A
)  x.  A ) )
73, 6mpdan 649 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  x.  ( * `  A ) )  =  ( ( * `  A )  x.  A
) )
82, 5, 73eqtr4d 2326 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  ( A  x.  ( * `  A
) ) )  =  ( A  x.  (
* `  A )
) )
9 mulcl 8817 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( * `  A
)  e.  CC )  ->  ( A  x.  ( * `  A
) )  e.  CC )
103, 9mpdan 649 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  x.  ( * `  A ) )  e.  CC )
11 cjreb 11604 . . 3  |-  ( ( A  x.  ( * `
 A ) )  e.  CC  ->  (
( A  x.  (
* `  A )
)  e.  RR  <->  ( * `  ( A  x.  (
* `  A )
) )  =  ( A  x.  ( * `
 A ) ) ) )
1210, 11syl 15 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A  x.  (
* `  A )
)  e.  RR  <->  ( * `  ( A  x.  (
* `  A )
) )  =  ( A  x.  ( * `
 A ) ) ) )
138, 12mpbird 223 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  x.  ( * `  A ) )  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    = wceq 1623    e. wcel 1685   ` cfv 5221  (class class class)co 5820   CCcc 8731   RRcr 8732    x. cmul 8738   *ccj 11577
This theorem is referenced by:  cjmulval  11626  cjmulrcli  11658  cjmulrcld  11687  abscl  11759  absvalsq  11761  absge0  11768  absmul  11775
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-op 3650  df-uni 3829  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-iota 6253  df-riota 6300  df-er 6656  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-div 9420  df-2 9800  df-cj 11580  df-re 11581  df-im 11582
  Copyright terms: Public domain W3C validator