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Theorem cjreb 11573
Description: A number is real iff it equals its complex conjugate. Proposition 10-3.4(f) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 2-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
cjreb  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  RR  <->  ( * `  A )  =  A ) )

Proof of Theorem cjreb
StepHypRef Expression
1 recl 11560 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
21recnd 8829 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  CC )
3 ax-icn 8764 . . . . . 6  |-  _i  e.  CC
4 imcl 11561 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
54recnd 8829 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  CC )
6 mulcl 8789 . . . . . 6  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
73, 5, 6sylancr 647 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( Im `  A ) )  e.  CC )
82, 7negsubd 9131 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Re `  A
)  +  -u (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  =  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
9 mulneg2 9185 . . . . . 6  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  -u (
Im `  A )
)  =  -u (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )
103, 5, 9sylancr 647 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  -u ( Im
`  A ) )  =  -u ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )
1110oveq2d 5808 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Re `  A
)  +  ( _i  x.  -u ( Im `  A ) ) )  =  ( ( Re
`  A )  + 
-u ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
12 remim 11567 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  A )  =  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
138, 11, 123eqtr4rd 2301 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  A )  =  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  -u (
Im `  A )
) ) )
14 replim 11566 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  A  =  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
1513, 14eqeq12d 2272 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( * `  A
)  =  A  <->  ( (
Re `  A )  +  ( _i  x.  -u ( Im `  A
) ) )  =  ( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im
`  A ) ) ) ) )
165negcld 9112 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  -u (
Im `  A )  e.  CC )
17 mulcl 8789 . . . 4  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  -u ( Im `  A
)  e.  CC )  ->  ( _i  x.  -u ( Im `  A
) )  e.  CC )
183, 16, 17sylancr 647 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  -u ( Im
`  A ) )  e.  CC )
192, 18, 7addcand 8983 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  -u (
Im `  A )
) )  =  ( ( Re `  A
)  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  <-> 
( _i  x.  -u (
Im `  A )
)  =  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
20 eqcom 2260 . . . 4  |-  ( -u ( Im `  A )  =  ( Im `  A )  <->  ( Im `  A )  =  -u ( Im `  A ) )
21 eqneg 9448 . . . . 5  |-  ( ( Im `  A )  e.  CC  ->  (
( Im `  A
)  =  -u (
Im `  A )  <->  ( Im `  A )  =  0 ) )
225, 21syl 17 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Im `  A
)  =  -u (
Im `  A )  <->  ( Im `  A )  =  0 ) )
2320, 22syl5bb 250 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u ( Im `  A
)  =  ( Im
`  A )  <->  ( Im `  A )  =  0 ) )
24 ine0 9183 . . . . . 6  |-  _i  =/=  0
253, 24pm3.2i 443 . . . . 5  |-  ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0 )
2625a1i 12 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  e.  CC  /\  _i  =/=  0 ) )
27 mulcan 9373 . . . 4  |-  ( (
-u ( Im `  A )  e.  CC  /\  ( Im `  A
)  e.  CC  /\  ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0 ) )  ->  ( (
_i  x.  -u ( Im
`  A ) )  =  ( _i  x.  ( Im `  A ) )  <->  -u ( Im `  A )  =  ( Im `  A ) ) )
2816, 5, 26, 27syl3anc 1187 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  x.  -u (
Im `  A )
)  =  ( _i  x.  ( Im `  A ) )  <->  -u ( Im
`  A )  =  ( Im `  A
) ) )
29 reim0b 11569 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  RR  <->  ( Im `  A )  =  0 ) )
3023, 28, 293bitr4d 278 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  x.  -u (
Im `  A )
)  =  ( _i  x.  ( Im `  A ) )  <->  A  e.  RR ) )
3115, 19, 303bitrrd 273 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  RR  <->  ( * `  A )  =  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2421   ` cfv 4673  (class class class)co 5792   CCcc 8703   RRcr 8704   0cc0 8705   _ici 8707    + caddc 8708    x. cmul 8710    - cmin 9005   -ucneg 9006   *ccj 11546   Recre 11547   Imcim 11548
This theorem is referenced by:  cjre  11589  cjmulrcl  11594  cjrebi  11624  cjrebd  11652  hire  21633
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3802  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-iota 6225  df-riota 6272  df-er 6628  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-div 9392  df-2 9772  df-cj 11549  df-re 11550  df-im 11551
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