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Theorem cjreb 11485
Description: A number is real iff it equals its complex conjugate. Proposition 10-3.4(f) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 2-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
cjreb  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  RR  <->  ( * `  A )  =  A ) )

Proof of Theorem cjreb
StepHypRef Expression
1 recl 11472 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
21recnd 8741 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  CC )
3 ax-icn 8676 . . . . . 6  |-  _i  e.  CC
4 imcl 11473 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
54recnd 8741 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  CC )
6 mulcl 8701 . . . . . 6  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
73, 5, 6sylancr 647 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( Im `  A ) )  e.  CC )
82, 7negsubd 9043 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Re `  A
)  +  -u (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  =  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
9 mulneg2 9097 . . . . . 6  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  -u (
Im `  A )
)  =  -u (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )
103, 5, 9sylancr 647 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  -u ( Im
`  A ) )  =  -u ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )
1110oveq2d 5726 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Re `  A
)  +  ( _i  x.  -u ( Im `  A ) ) )  =  ( ( Re
`  A )  + 
-u ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
12 remim 11479 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  A )  =  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
138, 11, 123eqtr4rd 2296 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  A )  =  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  -u (
Im `  A )
) ) )
14 replim 11478 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  A  =  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
1513, 14eqeq12d 2267 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( * `  A
)  =  A  <->  ( (
Re `  A )  +  ( _i  x.  -u ( Im `  A
) ) )  =  ( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im
`  A ) ) ) ) )
165negcld 9024 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  -u (
Im `  A )  e.  CC )
17 mulcl 8701 . . . 4  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  -u ( Im `  A
)  e.  CC )  ->  ( _i  x.  -u ( Im `  A
) )  e.  CC )
183, 16, 17sylancr 647 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  -u ( Im
`  A ) )  e.  CC )
192, 18, 7addcand 8895 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  -u (
Im `  A )
) )  =  ( ( Re `  A
)  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  <-> 
( _i  x.  -u (
Im `  A )
)  =  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
20 eqcom 2255 . . . 4  |-  ( -u ( Im `  A )  =  ( Im `  A )  <->  ( Im `  A )  =  -u ( Im `  A ) )
21 eqneg 9360 . . . . 5  |-  ( ( Im `  A )  e.  CC  ->  (
( Im `  A
)  =  -u (
Im `  A )  <->  ( Im `  A )  =  0 ) )
225, 21syl 17 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Im `  A
)  =  -u (
Im `  A )  <->  ( Im `  A )  =  0 ) )
2320, 22syl5bb 250 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u ( Im `  A
)  =  ( Im
`  A )  <->  ( Im `  A )  =  0 ) )
24 ine0 9095 . . . . . 6  |-  _i  =/=  0
253, 24pm3.2i 443 . . . . 5  |-  ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0 )
2625a1i 12 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  e.  CC  /\  _i  =/=  0 ) )
27 mulcan 9285 . . . 4  |-  ( (
-u ( Im `  A )  e.  CC  /\  ( Im `  A
)  e.  CC  /\  ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0 ) )  ->  ( (
_i  x.  -u ( Im
`  A ) )  =  ( _i  x.  ( Im `  A ) )  <->  -u ( Im `  A )  =  ( Im `  A ) ) )
2816, 5, 26, 27syl3anc 1187 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  x.  -u (
Im `  A )
)  =  ( _i  x.  ( Im `  A ) )  <->  -u ( Im
`  A )  =  ( Im `  A
) ) )
29 reim0b 11481 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  RR  <->  ( Im `  A )  =  0 ) )
3023, 28, 293bitr4d 278 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  x.  -u (
Im `  A )
)  =  ( _i  x.  ( Im `  A ) )  <->  A  e.  RR ) )
3115, 19, 303bitrrd 273 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  RR  <->  ( * `  A )  =  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2412   ` cfv 4592  (class class class)co 5710   CCcc 8615   RRcr 8616   0cc0 8617   _ici 8619    + caddc 8620    x. cmul 8622    - cmin 8917   -ucneg 8918   *ccj 11458   Recre 11459   Imcim 11460
This theorem is referenced by:  cjre  11501  cjmulrcl  11506  cjrebi  11536  cjrebd  11564  hire  21503
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-iota 6143  df-riota 6190  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-2 9684  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463
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