MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cldcls Unicode version

Theorem cldcls 17061
Description: A closed subset equals its own closure. (Contributed by NM, 15-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
cldcls  |-  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( ( cls `  J ) `  S )  =  S )

Proof of Theorem cldcls
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cldrcl 17045 . . 3  |-  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  ->  J  e.  Top )
2 eqid 2404 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
32cldss 17048 . . 3  |-  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  ->  S  C_  U. J
)
42clsval 17056 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  ( ( cls `  J ) `  S
)  =  |^| { x  e.  ( Clsd `  J
)  |  S  C_  x } )
51, 3, 4syl2anc 643 . 2  |-  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( ( cls `  J ) `  S )  =  |^| { x  e.  ( Clsd `  J )  |  S  C_  x } )
6 intmin 4030 . 2  |-  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  ->  |^| { x  e.  ( Clsd `  J
)  |  S  C_  x }  =  S
)
75, 6eqtrd 2436 1  |-  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( ( cls `  J ) `  S )  =  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721   {crab 2670    C_ wss 3280   U.cuni 3975   |^|cint 4010   ` cfv 5413   Topctop 16913   Clsdccld 17035   clsccl 17037
This theorem is referenced by:  iscld3  17083  clsss2  17091  cncls2  17291  lmcld  17321  fclscmp  18015  metnrmlem1a  18841  lebnumlem1  18939  cmetss  19220  minveclem4  19286  hauseqcn  24246
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-top 16918  df-cld 17038  df-cls 17040
  Copyright terms: Public domain W3C validator