Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cldssbrsiga Unicode version

Theorem cldssbrsiga 24494
Description: A Borel Algebra contains all closed sets of its base topology. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Mar-2017.)
Assertion
Ref Expression
cldssbrsiga  |-  ( J  e.  Top  ->  ( Clsd `  J )  C_  (sigaGen `  J ) )

Proof of Theorem cldssbrsiga
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  U. J  =  U. J
21cldss 17048 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( Clsd `  J
)  ->  x  C_  U. J
)
32adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  ->  x  C_  U. J )
4 dfss4 3535 . . . . 5  |-  ( x 
C_  U. J  <->  ( U. J  \  ( U. J  \  x ) )  =  x )
53, 4sylib 189 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( U. J  \ 
( U. J  \  x ) )  =  x )
61topopn 16934 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  U. J  e.  J )
71difopn 17053 . . . . . 6  |-  ( ( U. J  e.  J  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  ->  ( U. J  \  x )  e.  J
)
86, 7sylan 458 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( U. J  \  x )  e.  J
)
9 id 20 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  Top  ->  J  e.  Top )
109sgsiga 24478 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  ->  (sigaGen `  J )  e.  U. ran sigAlgebra )
1110adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( U. J  \  x
)  e.  J )  ->  (sigaGen `  J )  e.  U. ran sigAlgebra )
12 elex 2924 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  Top  ->  J  e.  _V )
13 sigagensiga 24477 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  _V  ->  (sigaGen `  J )  e.  (sigAlgebra ` 
U. J ) )
14 baselsiga 24451 . . . . . . . 8  |-  ( (sigaGen `  J )  e.  (sigAlgebra ` 
U. J )  ->  U. J  e.  (sigaGen `  J ) )
1512, 13, 143syl 19 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  ->  U. J  e.  (sigaGen `  J )
)
1615adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( U. J  \  x
)  e.  J )  ->  U. J  e.  (sigaGen `  J ) )
17 elsigagen 24483 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( U. J  \  x
)  e.  J )  ->  ( U. J  \  x )  e.  (sigaGen `  J ) )
18 difelsiga 24469 . . . . . 6  |-  ( ( (sigaGen `  J )  e.  U. ran sigAlgebra  /\  U. J  e.  (sigaGen `  J )  /\  ( U. J  \  x )  e.  (sigaGen `  J ) )  -> 
( U. J  \ 
( U. J  \  x ) )  e.  (sigaGen `  J )
)
1911, 16, 17, 18syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( U. J  \  x
)  e.  J )  ->  ( U. J  \  ( U. J  \  x ) )  e.  (sigaGen `  J )
)
208, 19syldan 457 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( U. J  \ 
( U. J  \  x ) )  e.  (sigaGen `  J )
)
215, 20eqeltrrd 2479 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  ->  x  e.  (sigaGen `  J
) )
2221ex 424 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  (
x  e.  ( Clsd `  J )  ->  x  e.  (sigaGen `  J )
) )
2322ssrdv 3314 1  |-  ( J  e.  Top  ->  ( Clsd `  J )  C_  (sigaGen `  J ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    C_ wss 3280   U.cuni 3975   ran crn 4838   ` cfv 5413   Topctop 16913   Clsdccld 17035  sigAlgebracsiga 24443  sigaGencsigagen 24474
This theorem is referenced by:  sxbrsigalem4  24590  sibfof  24607  orvccel  24673
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-ac2 8299
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-oi 7435  df-card 7782  df-acn 7785  df-ac 7953  df-cda 8004  df-top 16918  df-cld 17038  df-siga 24444  df-sigagen 24475
  Copyright terms: Public domain W3C validator