Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cldssbrsiga Structured version   Unicode version

Theorem cldssbrsiga 24543
Description: A Borel Algebra contains all closed sets of its base topology. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Mar-2017.)
Assertion
Ref Expression
cldssbrsiga  |-  ( J  e.  Top  ->  ( Clsd `  J )  C_  (sigaGen `  J ) )

Proof of Theorem cldssbrsiga
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  U. J  =  U. J
21cldss 17095 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( Clsd `  J
)  ->  x  C_  U. J
)
32adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  ->  x  C_  U. J )
4 dfss4 3577 . . . . 5  |-  ( x 
C_  U. J  <->  ( U. J  \  ( U. J  \  x ) )  =  x )
53, 4sylib 190 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( U. J  \ 
( U. J  \  x ) )  =  x )
61topopn 16981 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  U. J  e.  J )
71difopn 17100 . . . . . 6  |-  ( ( U. J  e.  J  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  ->  ( U. J  \  x )  e.  J
)
86, 7sylan 459 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( U. J  \  x )  e.  J
)
9 id 21 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  Top  ->  J  e.  Top )
109sgsiga 24527 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  ->  (sigaGen `  J )  e.  U. ran sigAlgebra )
1110adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( U. J  \  x
)  e.  J )  ->  (sigaGen `  J )  e.  U. ran sigAlgebra )
12 elex 2966 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  Top  ->  J  e.  _V )
13 sigagensiga 24526 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  _V  ->  (sigaGen `  J )  e.  (sigAlgebra ` 
U. J ) )
14 baselsiga 24500 . . . . . . . 8  |-  ( (sigaGen `  J )  e.  (sigAlgebra ` 
U. J )  ->  U. J  e.  (sigaGen `  J ) )
1512, 13, 143syl 19 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  ->  U. J  e.  (sigaGen `  J )
)
1615adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( U. J  \  x
)  e.  J )  ->  U. J  e.  (sigaGen `  J ) )
17 elsigagen 24532 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( U. J  \  x
)  e.  J )  ->  ( U. J  \  x )  e.  (sigaGen `  J ) )
18 difelsiga 24518 . . . . . 6  |-  ( ( (sigaGen `  J )  e.  U. ran sigAlgebra  /\  U. J  e.  (sigaGen `  J )  /\  ( U. J  \  x )  e.  (sigaGen `  J ) )  -> 
( U. J  \ 
( U. J  \  x ) )  e.  (sigaGen `  J )
)
1911, 16, 17, 18syl3anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( U. J  \  x
)  e.  J )  ->  ( U. J  \  ( U. J  \  x ) )  e.  (sigaGen `  J )
)
208, 19syldan 458 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( U. J  \ 
( U. J  \  x ) )  e.  (sigaGen `  J )
)
215, 20eqeltrrd 2513 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  ->  x  e.  (sigaGen `  J
) )
2221ex 425 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  (
x  e.  ( Clsd `  J )  ->  x  e.  (sigaGen `  J )
) )
2322ssrdv 3356 1  |-  ( J  e.  Top  ->  ( Clsd `  J )  C_  (sigaGen `  J ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2958    \ cdif 3319    C_ wss 3322   U.cuni 4017   ran crn 4881   ` cfv 5456   Topctop 16960   Clsdccld 17082  sigAlgebracsiga 24492  sigaGencsigagen 24523
This theorem is referenced by:  sxbrsigalem4  24639  sibfof  24656  orvccel  24722
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-ac2 8345
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-oi 7481  df-card 7828  df-acn 7831  df-ac 7999  df-cda 8050  df-top 16965  df-cld 17085  df-siga 24493  df-sigagen 24524
  Copyright terms: Public domain W3C validator