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Theorem clim 12276
Description: Express the predicate: The limit of complex number sequence  F is  A, or  F converges to  A. This means that for any real  x, no matter how small, there always exists an integer 
j such that the absolute difference of any later complex number in the sequence and the limit is less than  x. (Contributed by NM, 28-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
clim.1  |-  ( ph  ->  F  e.  V )
clim.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( F `
 k )  =  B )
Assertion
Ref Expression
clim  |-  ( ph  ->  ( F  ~~>  A  <->  ( A  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( B  e.  CC  /\  ( abs `  ( B  -  A )
)  <  x )
) ) )
Distinct variable groups:    j, k, x, A    j, F, k, x    ph, j, k, x
Allowed substitution hints:    B( x, j, k)    V( x, j, k)

Proof of Theorem clim
Dummy variables  f 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climrel 12274 . . . . 5  |-  Rel  ~~>
21brrelex2i 4910 . . . 4  |-  ( F  ~~>  A  ->  A  e.  _V )
32a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  ~~>  A  ->  A  e.  _V )
)
4 elex 2956 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  A  e.  _V )
54adantr 452 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  x ) )  ->  A  e.  _V )
65a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  x ) )  ->  A  e.  _V ) )
7 clim.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  V )
8 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  A )  ->  y  =  A )
98eleq1d 2501 . . . . . . 7  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  A )  ->  ( y  e.  CC  <->  A  e.  CC ) )
10 fveq1 5718 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  k )  =  ( F `  k ) )
1110adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  A )  ->  ( f `  k
)  =  ( F `
 k ) )
1211eleq1d 2501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  A )  ->  ( ( f `  k )  e.  CC  <->  ( F `  k )  e.  CC ) )
13 oveq12 6081 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f `  k
)  =  ( F `
 k )  /\  y  =  A )  ->  ( ( f `  k )  -  y
)  =  ( ( F `  k )  -  A ) )
1410, 13sylan 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  A )  ->  ( ( f `  k )  -  y
)  =  ( ( F `  k )  -  A ) )
1514fveq2d 5723 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  A )  ->  ( abs `  (
( f `  k
)  -  y ) )  =  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A
) ) )
1615breq1d 4214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  A )  ->  ( ( abs `  (
( f `  k
)  -  y ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A
) )  <  x
) )
1712, 16anbi12d 692 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  A )  ->  ( ( ( f `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( f `  k )  -  y
) )  <  x
)  <->  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A
) )  <  x
) ) )
1817ralbidv 2717 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  A )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( f `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( f `  k
)  -  y ) )  <  x )  <->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A ) )  <  x ) ) )
1918rexbidv 2718 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  A )  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( f `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( f `  k
)  -  y ) )  <  x )  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  A ) )  < 
x ) ) )
2019ralbidv 2717 . . . . . . 7  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  A )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( f `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( f `
 k )  -  y ) )  < 
x )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  x ) ) )
219, 20anbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  A )  ->  ( ( y  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( f `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( f `  k
)  -  y ) )  <  x ) )  <->  ( A  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  x ) ) ) )
22 df-clim 12270 . . . . . 6  |-  ~~>  =  { <. f ,  y >.  |  ( y  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( f `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( f `  k
)  -  y ) )  <  x ) ) }
2321, 22brabga 4461 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  V  /\  A  e.  _V )  ->  ( F  ~~>  A  <->  ( A  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  x ) ) ) )
2423ex 424 . . . 4  |-  ( F  e.  V  ->  ( A  e.  _V  ->  ( F  ~~>  A  <->  ( A  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  x ) ) ) ) )
257, 24syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  e.  _V  ->  ( F  ~~>  A  <->  ( A  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  x ) ) ) ) )
263, 6, 25pm5.21ndd 344 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  ~~>  A  <->  ( A  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  x ) ) ) )
27 eluzelz 10485 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  k  e.  ZZ )
28 clim.3 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( F `
 k )  =  B )
2928eleq1d 2501 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( F `  k )  e.  CC  <->  B  e.  CC ) )
3028oveq1d 6087 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( F `  k )  -  A )  =  ( B  -  A
) )
3130fveq2d 5723 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A
) )  =  ( abs `  ( B  -  A ) ) )
3231breq1d 4214 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  k )  -  A ) )  <  x  <->  ( abs `  ( B  -  A
) )  <  x
) )
3329, 32anbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A ) )  <  x )  <->  ( B  e.  CC  /\  ( abs `  ( B  -  A
) )  <  x
) ) )
3427, 33sylan2 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A ) )  <  x )  <->  ( B  e.  CC  /\  ( abs `  ( B  -  A
) )  <  x
) ) )
3534ralbidva 2713 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  x )  <->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( B  e.  CC  /\  ( abs `  ( B  -  A ) )  <  x ) ) )
3635rexbidv 2718 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  x )  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( B  e.  CC  /\  ( abs `  ( B  -  A ) )  < 
x ) ) )
3736ralbidv 2717 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  A ) )  < 
x )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( B  e.  CC  /\  ( abs `  ( B  -  A )
)  <  x )
) )
3837anbi2d 685 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  x ) )  <->  ( A  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( B  e.  CC  /\  ( abs `  ( B  -  A )
)  <  x )
) ) )
3926, 38bitrd 245 1  |-  ( ph  ->  ( F  ~~>  A  <->  ( A  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( B  e.  CC  /\  ( abs `  ( B  -  A )
)  <  x )
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698   _Vcvv 2948   class class class wbr 4204   ` cfv 5445  (class class class)co 6072   CCcc 8977    < clt 9109    - cmin 9280   ZZcz 10271   ZZ>=cuz 10477   RR+crp 10601   abscabs 12027    ~~> cli 12266
This theorem is referenced by:  climcl  12281  clim2  12286  climshftlem  12356  climsuse  27648
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-fv 5453  df-ov 6075  df-neg 9283  df-z 10272  df-uz 10478  df-clim 12270
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