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Theorem clim1fr1 27815
 Description: A class of sequences of fractions that converge to 1 (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
clim1fr1.1
clim1fr1.2
clim1fr1.3
clim1fr1.4
Assertion
Ref Expression
clim1fr1
Distinct variable groups:   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem clim1fr1
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10559 . . 3
2 1z 10349 . . . 4
32a1i 11 . . 3
4 nnex 10044 . . . . . 6
54mptex 6002 . . . . 5
65a1i 11 . . . 4
73zcnd 10414 . . . 4
8 eqidd 2444 . . . . . 6
9 eqidd 2444 . . . . . 6
10 id 21 . . . . . 6
11 ax-1cn 9086 . . . . . . 7
1211a1i 11 . . . . . 6
138, 9, 10, 12fvmptd 5846 . . . . 5
1413adantl 454 . . . 4
151, 3, 6, 7, 14climconst 12375 . . 3
16 clim1fr1.1 . . . . 5
174mptex 6002 . . . . 5
1816, 17eqeltri 2513 . . . 4
1918a1i 11 . . 3
20 clim1fr1.4 . . . . . . 7
2120adantr 453 . . . . . 6
22 clim1fr1.2 . . . . . . 7
2322adantr 453 . . . . . 6
24 nncn 10046 . . . . . . 7
2524adantl 454 . . . . . 6
26 clim1fr1.3 . . . . . . 7
2726adantr 453 . . . . . 6
28 nnne0 10070 . . . . . . 7
2928adantl 454 . . . . . 6
3021, 23, 25, 27, 29divdiv1d 9859 . . . . 5
3130mpteq2dva 4326 . . . 4
3220, 22, 26divcld 9828 . . . . 5
33 divcnv 12671 . . . . 5
3432, 33syl 16 . . . 4
3531, 34eqbrtrrd 4265 . . 3
36 eqid 2443 . . . . . 6
3711a1i 11 . . . . . 6
3836, 37fmpti 5928 . . . . 5
3938a1i 11 . . . 4
4039ffvelrnda 5906 . . 3
4123, 25mulcld 9146 . . . . . 6
4223, 25, 27, 29mulne0d 9712 . . . . . 6
4321, 41, 42divcld 9828 . . . . 5
44 eqid 2443 . . . . 5
4543, 44fmptd 5929 . . . 4
4645ffvelrnda 5906 . . 3
4716a1i 11 . . . . 5
48 oveq2 6125 . . . . . . . 8
4948oveq1d 6132 . . . . . . 7
5049, 48oveq12d 6135 . . . . . 6
5150adantl 454 . . . . 5
52 simpr 449 . . . . 5
5322adantr 453 . . . . . . . 8
5452nncnd 10054 . . . . . . . 8
5553, 54mulcld 9146 . . . . . . 7
5620adantr 453 . . . . . . 7
5755, 56addcld 9145 . . . . . 6
5826adantr 453 . . . . . . 7
5952nnne0d 10082 . . . . . . 7
6053, 54, 58, 59mulne0d 9712 . . . . . 6
6157, 55, 60divcld 9828 . . . . 5
6247, 51, 52, 61fvmptd 5846 . . . 4
6355, 56, 55, 60divdird 9866 . . . . 5
6455, 60dividd 9826 . . . . . 6
6564oveq1d 6132 . . . . 5
6663, 65eqtrd 2475 . . . 4
6714eqcomd 2448 . . . . 5
68 eqidd 2444 . . . . . . 7
69 simpr 449 . . . . . . . . 9
7069oveq2d 6133 . . . . . . . 8
7170oveq2d 6133 . . . . . . 7
7256, 55, 60divcld 9828 . . . . . . 7
7368, 71, 52, 72fvmptd 5846 . . . . . 6
7473eqcomd 2448 . . . . 5
7567, 74oveq12d 6135 . . . 4
7662, 66, 753eqtrd 2479 . . 3
771, 3, 15, 19, 35, 40, 46, 76climadd 12463 . 2