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Theorem climcau 12021
Description: A converging sequence of complex numbers is a Cauchy sequence. Theorem 12-5.3 of [Gleason] p. 180 (necessity part). (Contributed by NM, 16-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
climcau.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
Assertion
Ref Expression
climcau  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )
Distinct variable groups:    j, k, x, F    j, M, k, x    j, Z, k
Allowed substitution hint:    Z( x)

Proof of Theorem climcau
StepHypRef Expression
1 eldm2g 4782 . . . 4  |-  ( F  e.  dom  ~~>  ->  ( F  e.  dom  ~~>  <->  E. w <. F ,  w >.  e.  ~~>  ) )
21ibi 234 . . 3  |-  ( F  e.  dom  ~~>  ->  E. w <. F ,  w >.  e.  ~~>  )
3 df-br 3921 . . . . 5  |-  ( F  ~~>  w  <->  <. F ,  w >.  e.  ~~>  )
4 climcau.1 . . . . . . . . 9  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
5 simpll 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  ~~>  w )  /\  x  e.  RR+ )  ->  M  e.  ZZ )
6 rphalfcl 10257 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  /  2 )  e.  RR+ )
76adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  ~~>  w )  /\  x  e.  RR+ )  -> 
( x  /  2
)  e.  RR+ )
8 eqidd 2254 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  ~~>  w )  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
9 simplr 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  ~~>  w )  /\  x  e.  RR+ )  ->  F 
~~>  w )
104, 5, 7, 8, 9climi 11861 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  ~~>  w )  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  w ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )
11 eluzelz 10117 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  j  e.  ZZ )
12 uzid 10121 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ZZ  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
1413, 4eleq2s 2345 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  Z  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
1514adantl 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  ~~>  w )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
16 fveq2 5377 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  j  ->  ( F `  k )  =  ( F `  j ) )
1716eleq1d 2319 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  j  ->  (
( F `  k
)  e.  CC  <->  ( F `  j )  e.  CC ) )
1816oveq1d 5725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  j  ->  (
( F `  k
)  -  w )  =  ( ( F `
 j )  -  w ) )
1918fveq2d 5381 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  j  ->  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  w ) )  =  ( abs `  (
( F `  j
)  -  w ) ) )
2019breq1d 3930 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  j  ->  (
( abs `  (
( F `  k
)  -  w ) )  <  ( x  /  2 )  <->  ( abs `  ( ( F `  j )  -  w
) )  <  (
x  /  2 ) ) )
2117, 20anbi12d 694 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  j  ->  (
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  w ) )  <  ( x  /  2 ) )  <-> 
( ( F `  j )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  j
)  -  w ) )  <  ( x  /  2 ) ) ) )
2221rcla4v 2817 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  w ) )  < 
( x  /  2
) )  ->  (
( F `  j
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  j )  -  w ) )  <  ( x  / 
2 ) ) ) )
2315, 22syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  ~~>  w )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  w ) )  < 
( x  /  2
) )  ->  (
( F `  j
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  j )  -  w ) )  <  ( x  / 
2 ) ) ) )
24 rpre 10239 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
2524ad2antlr 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  ~~>  w )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  ->  x  e.  RR )
26 simpllr 738 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  ~~>  w )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  ->  F  ~~>  w )
27 climcl 11850 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  ~~>  w  ->  w  e.  CC )
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  ~~>  w )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  ->  w  e.  CC )
29 simprl 735 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  CC )  /\  (
( F `  j
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  j )  -  w ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )  /\  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  w
) )  <  (
x  /  2 ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
30 simplrl 739 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  CC )  /\  (
( F `  j
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  j )  -  w ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )  /\  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  w
) )  <  (
x  /  2 ) ) )  ->  ( F `  j )  e.  CC )
31 simpllr 738 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  CC )  /\  (
( F `  j
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  j )  -  w ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )  /\  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  w
) )  <  (
x  /  2 ) ) )  ->  w  e.  CC )
32 simplll 737 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  CC )  /\  (
( F `  j
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  j )  -  w ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )  /\  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  w
) )  <  (
x  /  2 ) ) )  ->  x  e.  RR )
33 simprr 736 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  CC )  /\  (
( F `  j
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  j )  -  w ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )  /\  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  w
) )  <  (
x  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  w ) )  < 
( x  /  2
) )
3431, 30abssubd 11812 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  CC )  /\  (
( F `  j
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  j )  -  w ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )  /\  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  w
) )  <  (
x  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( w  -  ( F `  j ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  j )  -  w ) ) )
35 simplrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  CC )  /\  (
( F `  j
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  j )  -  w ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )  /\  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  w
) )  <  (
x  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 j )  -  w ) )  < 
( x  /  2
) )
3634, 35eqbrtrd 3940 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  CC )  /\  (
( F `  j
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  j )  -  w ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )  /\  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  w
) )  <  (
x  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( w  -  ( F `  j ) ) )  <  (
x  /  2 ) )
3729, 30, 31, 32, 33, 36abs3lemd 11820 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  CC )  /\  (
( F `  j
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  j )  -  w ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )  /\  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  w
) )  <  (
x  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x
)
3837ex 425 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  CC )  /\  ( ( F `
 j )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  j )  -  w
) )  <  (
x  /  2 ) ) )  ->  (
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  w ) )  <  ( x  /  2 ) )  ->  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x ) )
3938ralimdv 2584 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  CC )  /\  ( ( F `
 j )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  j )  -  w
) )  <  (
x  /  2 ) ) )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  w ) )  <  ( x  / 
2 ) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x ) )
4039ex 425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( ( F `
 j )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  j )  -  w
) )  <  (
x  /  2 ) )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  w ) )  < 
( x  /  2
) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x ) ) )
4140com23 74 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  CC )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  w ) )  <  ( x  /  2 ) )  ->  ( ( ( F `  j )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 j )  -  w ) )  < 
( x  /  2
) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x ) ) )
4225, 28, 41syl2anc 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  ~~>  w )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  w ) )  < 
( x  /  2
) )  ->  (
( ( F `  j )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  j
)  -  w ) )  <  ( x  /  2 ) )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x ) ) )
4323, 42mpdd 38 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  ~~>  w )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  w ) )  < 
( x  /  2
) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x ) )
4443reximdva 2617 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  ~~>  w )  /\  x  e.  RR+ )  -> 
( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  w ) )  <  ( x  /  2 ) )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x ) )
4510, 44mpd 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  ~~>  w )  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x )
4645ralrimiva 2588 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F 
~~>  w )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )
4746ex 425 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( F 
~~>  w  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x ) )
483, 47syl5bir 211 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( <. F ,  w >.  e.  ~~>  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  x
) )
4948exlimdv 1932 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( E. w <. F ,  w >.  e.  ~~>  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  x
) )
502, 49syl5 30 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( F  e.  dom  ~~>  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x ) )
5150imp 420 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2509   E.wrex 2510   <.cop 3547   class class class wbr 3920   dom cdm 4580   ` cfv 4592  (class class class)co 5710   CCcc 8615   RRcr 8616    < clt 8747    - cmin 8917    / cdiv 9303   2c2 9675   ZZcz 9903   ZZ>=cuz 10109   RR+crp 10233   abscabs 11596    ~~> cli 11835
This theorem is referenced by:  caucvgb  12029  cvgcmp  12151  cvgcmpce  12153  mbflimlem  18854  mtest  19613
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-sup 7078  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-n0 9845  df-z 9904  df-uz 10110  df-rp 10234  df-seq 10925  df-exp 10983  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598  df-clim 11839
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