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Theorem climcau 12074
Description: A converging sequence of complex numbers is a Cauchy sequence. Theorem 12-5.3 of [Gleason] p. 180 (necessity part). (Contributed by NM, 16-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
climcau.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
Assertion
Ref Expression
climcau  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )
Distinct variable groups:    j, k, x, F    j, M, k, x    j, Z, k
Allowed substitution hint:    Z( x)

Proof of Theorem climcau
StepHypRef Expression
1 eldm2g 4828 . . . 4  |-  ( F  e.  dom  ~~>  ->  ( F  e.  dom  ~~>  <->  E. w <. F ,  w >.  e.  ~~>  ) )
21ibi 234 . . 3  |-  ( F  e.  dom  ~~>  ->  E. w <. F ,  w >.  e.  ~~>  )
3 df-br 3964 . . . . 5  |-  ( F  ~~>  w  <->  <. F ,  w >.  e.  ~~>  )
4 climcau.1 . . . . . . . . 9  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
5 simpll 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  ~~>  w )  /\  x  e.  RR+ )  ->  M  e.  ZZ )
6 rphalfcl 10310 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  /  2 )  e.  RR+ )
76adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  ~~>  w )  /\  x  e.  RR+ )  -> 
( x  /  2
)  e.  RR+ )
8 eqidd 2257 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  ~~>  w )  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
9 simplr 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  ~~>  w )  /\  x  e.  RR+ )  ->  F 
~~>  w )
104, 5, 7, 8, 9climi 11914 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  ~~>  w )  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  w ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )
11 eluzelz 10170 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  j  e.  ZZ )
12 uzid 10174 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ZZ  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
1413, 4eleq2s 2348 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  Z  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
1514adantl 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  ~~>  w )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
16 fveq2 5423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  j  ->  ( F `  k )  =  ( F `  j ) )
1716eleq1d 2322 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  j  ->  (
( F `  k
)  e.  CC  <->  ( F `  j )  e.  CC ) )
1816oveq1d 5772 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  j  ->  (
( F `  k
)  -  w )  =  ( ( F `
 j )  -  w ) )
1918fveq2d 5427 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  j  ->  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  w ) )  =  ( abs `  (
( F `  j
)  -  w ) ) )
2019breq1d 3973 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  j  ->  (
( abs `  (
( F `  k
)  -  w ) )  <  ( x  /  2 )  <->  ( abs `  ( ( F `  j )  -  w
) )  <  (
x  /  2 ) ) )
2117, 20anbi12d 694 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  j  ->  (
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  w ) )  <  ( x  /  2 ) )  <-> 
( ( F `  j )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  j
)  -  w ) )  <  ( x  /  2 ) ) ) )
2221rcla4v 2831 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  w ) )  < 
( x  /  2
) )  ->  (
( F `  j
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  j )  -  w ) )  <  ( x  / 
2 ) ) ) )
2315, 22syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  ~~>  w )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  w ) )  < 
( x  /  2
) )  ->  (
( F `  j
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  j )  -  w ) )  <  ( x  / 
2 ) ) ) )
24 rpre 10292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
2524ad2antlr 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  ~~>  w )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  ->  x  e.  RR )
26 simpllr 738 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  ~~>  w )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  ->  F  ~~>  w )
27 climcl 11903 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  ~~>  w  ->  w  e.  CC )
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  ~~>  w )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  ->  w  e.  CC )
29 simprl 735 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  CC )  /\  (
( F `  j
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  j )  -  w ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )  /\  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  w
) )  <  (
x  /  2 ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
30 simplrl 739 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  CC )  /\  (
( F `  j
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  j )  -  w ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )  /\  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  w
) )  <  (
x  /  2 ) ) )  ->  ( F `  j )  e.  CC )
31 simpllr 738 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  CC )  /\  (
( F `  j
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  j )  -  w ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )  /\  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  w
) )  <  (
x  /  2 ) ) )  ->  w  e.  CC )
32 simplll 737 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  CC )  /\  (
( F `  j
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  j )  -  w ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )  /\  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  w
) )  <  (
x  /  2 ) ) )  ->  x  e.  RR )
33 simprr 736 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  CC )  /\  (
( F `  j
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  j )  -  w ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )  /\  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  w
) )  <  (
x  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  w ) )  < 
( x  /  2
) )
3431, 30abssubd 11865 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  CC )  /\  (
( F `  j
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  j )  -  w ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )  /\  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  w
) )  <  (
x  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( w  -  ( F `  j ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  j )  -  w ) ) )
35 simplrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  CC )  /\  (
( F `  j
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  j )  -  w ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )  /\  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  w
) )  <  (
x  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 j )  -  w ) )  < 
( x  /  2
) )
3634, 35eqbrtrd 3983 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  CC )  /\  (
( F `  j
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  j )  -  w ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )  /\  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  w
) )  <  (
x  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( w  -  ( F `  j ) ) )  <  (
x  /  2 ) )
3729, 30, 31, 32, 33, 36abs3lemd 11873 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  CC )  /\  (
( F `  j
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  j )  -  w ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )  /\  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  w
) )  <  (
x  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x
)
3837ex 425 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  CC )  /\  ( ( F `
 j )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  j )  -  w
) )  <  (
x  /  2 ) ) )  ->  (
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  w ) )  <  ( x  /  2 ) )  ->  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x ) )
3938ralimdv 2593 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  CC )  /\  ( ( F `
 j )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  j )  -  w
) )  <  (
x  /  2 ) ) )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  w ) )  <  ( x  / 
2 ) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x ) )
4039ex 425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( ( F `
 j )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  j )  -  w
) )  <  (
x  /  2 ) )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  w ) )  < 
( x  /  2
) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x ) ) )
4140com23 74 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  CC )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  w ) )  <  ( x  /  2 ) )  ->  ( ( ( F `  j )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 j )  -  w ) )  < 
( x  /  2
) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x ) ) )
4225, 28, 41syl2anc 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  ~~>  w )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  w ) )  < 
( x  /  2
) )  ->  (
( ( F `  j )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  j
)  -  w ) )  <  ( x  /  2 ) )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x ) ) )
4323, 42mpdd 38 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  ~~>  w )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  w ) )  < 
( x  /  2
) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x ) )
4443reximdva 2626 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  ~~>  w )  /\  x  e.  RR+ )  -> 
( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  w ) )  <  ( x  /  2 ) )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x ) )
4510, 44mpd 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  ~~>  w )  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x )
4645ralrimiva 2597 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F 
~~>  w )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )
4746ex 425 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( F 
~~>  w  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x ) )
483, 47syl5bir 211 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( <. F ,  w >.  e.  ~~>  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  x
) )
4948exlimdv 1933 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( E. w <. F ,  w >.  e.  ~~>  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  x
) )
502, 49syl5 30 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( F  e.  dom  ~~>  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x ) )
5150imp 420 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2516   E.wrex 2517   <.cop 3584   class class class wbr 3963   dom cdm 4626   ` cfv 4638  (class class class)co 5757   CCcc 8668   RRcr 8669    < clt 8800    - cmin 8970    / cdiv 9356   2c2 9728   ZZcz 9956   ZZ>=cuz 10162   RR+crp 10286   abscabs 11649    ~~> cli 11888
This theorem is referenced by:  caucvgb  12082  cvgcmp  12204  cvgcmpce  12206  mbflimlem  18949  mtest  19708
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-cnex 8726  ax-resscn 8727  ax-1cn 8728  ax-icn 8729  ax-addcl 8730  ax-addrcl 8731  ax-mulcl 8732  ax-mulrcl 8733  ax-mulcom 8734  ax-addass 8735  ax-mulass 8736  ax-distr 8737  ax-i2m1 8738  ax-1ne0 8739  ax-1rid 8740  ax-rnegex 8741  ax-rrecex 8742  ax-cnre 8743  ax-pre-lttri 8744  ax-pre-lttrn 8745  ax-pre-ltadd 8746  ax-pre-mulgt0 8747  ax-pre-sup 8748
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-2nd 6022  df-iota 6190  df-riota 6237  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-er 6593  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-sup 7127  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-xr 8804  df-ltxr 8805  df-le 8806  df-sub 8972  df-neg 8973  df-div 9357  df-n 9680  df-2 9737  df-3 9738  df-n0 9898  df-z 9957  df-uz 10163  df-rp 10287  df-seq 10978  df-exp 11036  df-cj 11514  df-re 11515  df-im 11516  df-sqr 11650  df-abs 11651  df-clim 11892
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