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Theorem climcau 12140
Description: A converging sequence of complex numbers is a Cauchy sequence. Theorem 12-5.3 of [Gleason] p. 180 (necessity part). (Contributed by NM, 16-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
climcau.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
Assertion
Ref Expression
climcau  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )
Distinct variable groups:    j, k, x, F    j, M, k, x    j, Z, k
Allowed substitution hint:    Z( x)

Proof of Theorem climcau
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldm2g 4874 . . . 4  |-  ( F  e.  dom  ~~>  ->  ( F  e.  dom  ~~>  <->  E. w <. F ,  w >.  e.  ~~>  ) )
21ibi 232 . . 3  |-  ( F  e.  dom  ~~>  ->  E. w <. F ,  w >.  e.  ~~>  )
3 df-br 4025 . . . . 5  |-  ( F  ~~>  w  <->  <. F ,  w >.  e.  ~~>  )
4 climcau.1 . . . . . . . . 9  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
5 simpll 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  ~~>  w )  /\  x  e.  RR+ )  ->  M  e.  ZZ )
6 rphalfcl 10374 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  /  2 )  e.  RR+ )
76adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  ~~>  w )  /\  x  e.  RR+ )  -> 
( x  /  2
)  e.  RR+ )
8 eqidd 2285 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  ~~>  w )  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
9 simplr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  ~~>  w )  /\  x  e.  RR+ )  ->  F 
~~>  w )
104, 5, 7, 8, 9climi 11980 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  ~~>  w )  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  w ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )
11 eluzelz 10234 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  j  e.  ZZ )
12 uzid 10238 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ZZ  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
1311, 12syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
1413, 4eleq2s 2376 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  Z  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
1514adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  ~~>  w )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
16 fveq2 5486 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  j  ->  ( F `  k )  =  ( F `  j ) )
1716eleq1d 2350 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  j  ->  (
( F `  k
)  e.  CC  <->  ( F `  j )  e.  CC ) )
1816oveq1d 5835 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  j  ->  (
( F `  k
)  -  w )  =  ( ( F `
 j )  -  w ) )
1918fveq2d 5490 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  j  ->  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  w ) )  =  ( abs `  (
( F `  j
)  -  w ) ) )
2019breq1d 4034 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  j  ->  (
( abs `  (
( F `  k
)  -  w ) )  <  ( x  /  2 )  <->  ( abs `  ( ( F `  j )  -  w
) )  <  (
x  /  2 ) ) )
2117, 20anbi12d 691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  j  ->  (
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  w ) )  <  ( x  /  2 ) )  <-> 
( ( F `  j )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  j
)  -  w ) )  <  ( x  /  2 ) ) ) )
2221rspcv 2881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  w ) )  < 
( x  /  2
) )  ->  (
( F `  j
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  j )  -  w ) )  <  ( x  / 
2 ) ) ) )
2315, 22syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  ~~>  w )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  w ) )  < 
( x  /  2
) )  ->  (
( F `  j
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  j )  -  w ) )  <  ( x  / 
2 ) ) ) )
24 rpre 10356 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
2524ad2antlr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  ~~>  w )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  ->  x  e.  RR )
26 simpllr 735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  ~~>  w )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  ->  F  ~~>  w )
27 climcl 11969 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  ~~>  w  ->  w  e.  CC )
2826, 27syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  ~~>  w )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  ->  w  e.  CC )
29 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  CC )  /\  (
( F `  j
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  j )  -  w ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )  /\  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  w
) )  <  (
x  /  2 ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
30 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  CC )  /\  (
( F `  j
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  j )  -  w ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )  /\  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  w
) )  <  (
x  /  2 ) ) )  ->  ( F `  j )  e.  CC )
31 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  CC )  /\  (
( F `  j
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  j )  -  w ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )  /\  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  w
) )  <  (
x  /  2 ) ) )  ->  w  e.  CC )
32 simplll 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  CC )  /\  (
( F `  j
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  j )  -  w ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )  /\  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  w
) )  <  (
x  /  2 ) ) )  ->  x  e.  RR )
33 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  CC )  /\  (
( F `  j
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  j )  -  w ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )  /\  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  w
) )  <  (
x  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  w ) )  < 
( x  /  2
) )
3431, 30abssubd 11931 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  CC )  /\  (
( F `  j
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  j )  -  w ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )  /\  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  w
) )  <  (
x  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( w  -  ( F `  j ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  j )  -  w ) ) )
35 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  CC )  /\  (
( F `  j
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  j )  -  w ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )  /\  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  w
) )  <  (
x  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 j )  -  w ) )  < 
( x  /  2
) )
3634, 35eqbrtrd 4044 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  CC )  /\  (
( F `  j
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  j )  -  w ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )  /\  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  w
) )  <  (
x  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( w  -  ( F `  j ) ) )  <  (
x  /  2 ) )
3729, 30, 31, 32, 33, 36abs3lemd 11939 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  CC )  /\  (
( F `  j
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  j )  -  w ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )  /\  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  w
) )  <  (
x  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x
)
3837ex 423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  CC )  /\  ( ( F `
 j )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  j )  -  w
) )  <  (
x  /  2 ) ) )  ->  (
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  w ) )  <  ( x  /  2 ) )  ->  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x ) )
3938ralimdv 2623 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  CC )  /\  ( ( F `
 j )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  j )  -  w
) )  <  (
x  /  2 ) ) )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  w ) )  <  ( x  / 
2 ) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x ) )
4039ex 423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( ( F `
 j )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  j )  -  w
) )  <  (
x  /  2 ) )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  w ) )  < 
( x  /  2
) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x ) ) )
4140com23 72 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  CC )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  w ) )  <  ( x  /  2 ) )  ->  ( ( ( F `  j )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 j )  -  w ) )  < 
( x  /  2
) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x ) ) )
4225, 28, 41syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  ~~>  w )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  w ) )  < 
( x  /  2
) )  ->  (
( ( F `  j )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  j
)  -  w ) )  <  ( x  /  2 ) )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x ) ) )
4323, 42mpdd 36 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  ~~>  w )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  w ) )  < 
( x  /  2
) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x ) )
4443reximdva 2656 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  ~~>  w )  /\  x  e.  RR+ )  -> 
( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  w ) )  <  ( x  /  2 ) )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x ) )
4510, 44mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  ~~>  w )  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x )
4645ralrimiva 2627 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F 
~~>  w )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )
4746ex 423 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( F 
~~>  w  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x ) )
483, 47syl5bir 209 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( <. F ,  w >.  e.  ~~>  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  x
) )
4948exlimdv 1665 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( E. w <. F ,  w >.  e.  ~~>  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  x
) )
502, 49syl5 28 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( F  e.  dom  ~~>  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x ) )
5150imp 418 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1685   A.wral 2544   E.wrex 2545   <.cop 3644   class class class wbr 4024    dom cdm 4688   ` cfv 5221  (class class class)co 5820   CCcc 8731   RRcr 8732    < clt 8863    - cmin 9033    / cdiv 9419   2c2 9791   ZZcz 10020   ZZ>=cuz 10226   RR+crp 10350   abscabs 11715    ~~> cli 11954
This theorem is referenced by:  caucvgb  12148  cvgcmp  12270  cvgcmpce  12272  mbflimlem  19018  mtest  19777
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810  ax-pre-sup 8811
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-2nd 6085  df-iota 6253  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-er 6656  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-sup 7190  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-div 9420  df-nn 9743  df-2 9800  df-3 9801  df-n0 9962  df-z 10021  df-uz 10227  df-rp 10351  df-seq 11043  df-exp 11101  df-cj 11580  df-re 11581  df-im 11582  df-sqr 11716  df-abs 11717  df-clim 11958
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