Theorem climcl 6924

Description: Closure of the limit of a sequence of complex numbers.

Assertion

Ref	Expression
climcl	|- ((A e. C /\ F ~~> A) -> A e. CC)

Proof of Theorem climcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clim 6923	. . . . 5 |- ((F e. V /\ A e. C) -> (F ~~> A <-> (A e. CC /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < x))))))
2	1	pm3.26bda 420	. . . 4 |- (((F e. V /\ A e. C) /\ F ~~> A) -> A e. CC)
3	2	ex 373	. . 3 |- ((F e. V /\ A e. C) -> (F ~~> A -> A e. CC))
4		climrel 6922	. . . . . . 7 |- Rel ~~>
5	4	brrelexi 3203	. . . . . 6 |- (F ~~> A -> F e. V)
6	5	con3i 98	. . . . 5 |- (-. F e. V -> -. F ~~> A)
7	6	pm2.21d 78	. . . 4 |- (-. F e. V -> (F ~~> A -> A e. CC))
8	7	adantr 389	. . 3 |- ((-. F e. V /\ A e. C) -> (F ~~> A -> A e. CC))
9	3, 8	pm2.61ian 476	. 2 |- (A e. C -> (F ~~> A -> A e. CC))
10	9	imp 350	1 |- ((A e. C /\ F ~~> A) -> A e. CC)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 956  A.wral 1642  E.wrex 1643  Vcvv 1807   class class class wbr 2614  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  CCcc 5212  RRcr 5213  0cc0 5214   - cmin 5272   <_ cle 5275  ZZcz 5278   < clt 5466  abscabs 6689   ~~> cli 6920

This theorem is referenced by:  sumex 6927  climunii 7043  climreu 7046  climres 7050  climshft2 7051  iserzshft2 7052  climrecl 7055  climaddlem2 7059  climaddc2 7063  climmullem7 7070  climsub 7074  clim2serzt 7078  iserzshft 7088  clim2serz 7089  climabslem 7092  climcau 7100  caucvg3lem 7110  serzf0 7113  isumclt 7152

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fv 3193  df-opr 3956  df-clim 6921

Copyright terms: Public domain