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Theorem climcn2 12378
Description: Image of a limit under a continuous map, two-arg version. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climcn2.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
climcn2.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
climcn2.3a  |-  ( ph  ->  A  e.  C )
climcn2.3b  |-  ( ph  ->  B  e.  D )
climcn2.4  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  C  /\  v  e.  D ) )  -> 
( u F v )  e.  CC )
climcn2.5a  |-  ( ph  ->  G  ~~>  A )
climcn2.5b  |-  ( ph  ->  H  ~~>  B )
climcn2.6  |-  ( ph  ->  K  e.  W )
climcn2.7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. u  e.  C  A. v  e.  D  ( ( ( abs `  ( u  -  A
) )  <  y  /\  ( abs `  (
v  -  B ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( u F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) )
climcn2.8a  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  C )
climcn2.8b  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( H `  k )  e.  D )
climcn2.9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( K `  k )  =  ( ( G `
 k ) F ( H `  k
) ) )
Assertion
Ref Expression
climcn2  |-  ( ph  ->  K  ~~>  ( A F B ) )
Distinct variable groups:    u, k,
v, C    D, k, u, v    y, k, z, H, v    x, k,
ph, u, y, z, v    A, k, u, v, x, y, z    k, G, u, v, y, z   
k, K, x    k, Z, y, z    B, k, u, v, x, y, z    k, F, u, v, x, y, z
Allowed substitution hints:    C( x, y, z)    D( x, y, z)    G( x)    H( x, u)    K( y, z, v, u)    M( x, y, z, v, u, k)    W( x, y, z, v, u, k)    Z( x, v, u)

Proof of Theorem climcn2
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climcn2.7 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. u  e.  C  A. v  e.  D  ( ( ( abs `  ( u  -  A
) )  <  y  /\  ( abs `  (
v  -  B ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( u F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) )
2 climcn2.1 . . . . . . . . 9  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
3 climcn2.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
43adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  ->  M  e.  ZZ )
5 simprl 733 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  ->  y  e.  RR+ )
6 eqidd 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k
)  =  ( G `
 k ) )
7 climcn2.5a . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  ~~>  A )
87adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  ->  G  ~~>  A )
92, 4, 5, 6, 8climi2 12297 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y )
10 simprr 734 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  ->  z  e.  RR+ )
11 eqidd 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  Z )  ->  ( H `  k
)  =  ( H `
 k ) )
12 climcn2.5b . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  H  ~~>  B )
1312adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  ->  H  ~~>  B )
142, 4, 10, 11, 13climi2 12297 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( H `  k
)  -  B ) )  <  z )
152rexanuz2 12145 . . . . . . . 8  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( abs `  ( ( G `  k )  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( ( H `
 k )  -  B ) )  < 
z )  <->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( G `  k )  -  A
) )  <  y  /\  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( H `  k )  -  B ) )  <  z ) )
169, 14, 15sylanbrc 646 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( ( H `  k )  -  B ) )  <  z ) )
172uztrn2 10495 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  Z )
18 climcn2.8a . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  C )
19 climcn2.8b . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( H `  k )  e.  D )
20 oveq1 6080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( u  =  ( G `  k )  ->  (
u  -  A )  =  ( ( G `
 k )  -  A ) )
2120fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( u  =  ( G `  k )  ->  ( abs `  ( u  -  A ) )  =  ( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) ) )
2221breq1d 4214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  =  ( G `  k )  ->  (
( abs `  (
u  -  A ) )  <  y  <->  ( abs `  ( ( G `  k )  -  A
) )  <  y
) )
2322anbi1d 686 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  =  ( G `  k )  ->  (
( ( abs `  (
u  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  B ) )  <  z )  <->  ( ( abs `  ( ( G `
 k )  -  A ) )  < 
y  /\  ( abs `  ( v  -  B
) )  <  z
) ) )
24 oveq1 6080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( u  =  ( G `  k )  ->  (
u F v )  =  ( ( G `
 k ) F v ) )
2524oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( u  =  ( G `  k )  ->  (
( u F v )  -  ( A F B ) )  =  ( ( ( G `  k ) F v )  -  ( A F B ) ) )
2625fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  =  ( G `  k )  ->  ( abs `  ( ( u F v )  -  ( A F B ) ) )  =  ( abs `  ( ( ( G `  k
) F v )  -  ( A F B ) ) ) )
2726breq1d 4214 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  =  ( G `  k )  ->  (
( abs `  (
( u F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( ( G `
 k ) F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) )
2823, 27imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  ( G `  k )  ->  (
( ( ( abs `  ( u  -  A
) )  <  y  /\  ( abs `  (
v  -  B ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( u F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x )  <-> 
( ( ( abs `  ( ( G `  k )  -  A
) )  <  y  /\  ( abs `  (
v  -  B ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( ( G `  k ) F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) ) )
29 oveq1 6080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  =  ( H `  k )  ->  (
v  -  B )  =  ( ( H `
 k )  -  B ) )
3029fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  =  ( H `  k )  ->  ( abs `  ( v  -  B ) )  =  ( abs `  (
( H `  k
)  -  B ) ) )
3130breq1d 4214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  =  ( H `  k )  ->  (
( abs `  (
v  -  B ) )  <  z  <->  ( abs `  ( ( H `  k )  -  B
) )  <  z
) )
3231anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  ( H `  k )  ->  (
( ( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  B ) )  <  z )  <->  ( ( abs `  ( ( G `
 k )  -  A ) )  < 
y  /\  ( abs `  ( ( H `  k )  -  B
) )  <  z
) ) )
33 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  =  ( H `  k )  ->  (
( G `  k
) F v )  =  ( ( G `
 k ) F ( H `  k
) ) )
3433oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  =  ( H `  k )  ->  (
( ( G `  k ) F v )  -  ( A F B ) )  =  ( ( ( G `  k ) F ( H `  k ) )  -  ( A F B ) ) )
3534fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  =  ( H `  k )  ->  ( abs `  ( ( ( G `  k ) F v )  -  ( A F B ) ) )  =  ( abs `  ( ( ( G `  k
) F ( H `
 k ) )  -  ( A F B ) ) ) )
3635breq1d 4214 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  ( H `  k )  ->  (
( abs `  (
( ( G `  k ) F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( ( G `
 k ) F ( H `  k
) )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) )
3732, 36imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  ( H `  k )  ->  (
( ( ( abs `  ( ( G `  k )  -  A
) )  <  y  /\  ( abs `  (
v  -  B ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( ( G `  k ) F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x )  <-> 
( ( ( abs `  ( ( G `  k )  -  A
) )  <  y  /\  ( abs `  (
( H `  k
)  -  B ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( ( G `  k ) F ( H `  k ) )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) ) )
3828, 37rspc2v 3050 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( G `  k
)  e.  C  /\  ( H `  k )  e.  D )  -> 
( A. u  e.  C  A. v  e.  D  ( ( ( abs `  ( u  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  B ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( u F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x
)  ->  ( (
( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( ( H `  k )  -  B ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( ( G `  k ) F ( H `  k ) )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) ) )
3918, 19, 38syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( A. u  e.  C  A. v  e.  D  ( ( ( abs `  ( u  -  A
) )  <  y  /\  ( abs `  (
v  -  B ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( u F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x )  ->  ( ( ( abs `  ( ( G `  k )  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( ( H `
 k )  -  B ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( G `  k ) F ( H `  k ) )  -  ( A F B ) ) )  <  x
) ) )
4039imp 419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  A. u  e.  C  A. v  e.  D  (
( ( abs `  (
u  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  B ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( u F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) )  ->  ( (
( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( ( H `  k )  -  B ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( ( G `  k ) F ( H `  k ) )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) )
4140an32s 780 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  A. u  e.  C  A. v  e.  D  (
( ( abs `  (
u  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  B ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( u F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) )  /\  k  e.  Z )  ->  (
( ( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( ( H `  k )  -  B ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( ( G `  k ) F ( H `  k ) )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) )
4217, 41sylan2 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A. u  e.  C  A. v  e.  D  (
( ( abs `  (
u  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  B ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( u F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) )  /\  ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( ( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( ( H `  k )  -  B ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( ( G `  k ) F ( H `  k ) )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) )
4342anassrs 630 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. u  e.  C  A. v  e.  D  (
( ( abs `  (
u  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  B ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( u F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( ( H `  k )  -  B ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( ( G `  k ) F ( H `  k ) )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) )
4443ralimdva 2776 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A. u  e.  C  A. v  e.  D  (
( ( abs `  (
u  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  B ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( u F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( ( H `  k )  -  B ) )  <  z )  ->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( ( G `  k
) F ( H `
 k ) )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) )
4544reximdva 2810 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A. u  e.  C  A. v  e.  D  ( (
( abs `  (
u  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  B ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( u F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) )  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( abs `  ( ( G `  k )  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( ( H `
 k )  -  B ) )  < 
z )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( ( G `  k ) F ( H `  k ) )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) )
4645ex 424 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A. u  e.  C  A. v  e.  D  ( ( ( abs `  ( u  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  B ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( u F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x
)  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( abs `  ( ( G `  k )  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( ( H `
 k )  -  B ) )  < 
z )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( ( G `  k ) F ( H `  k ) )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) ) )
4746adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  ->  ( A. u  e.  C  A. v  e.  D  ( ( ( abs `  ( u  -  A
) )  <  y  /\  ( abs `  (
v  -  B ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( u F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x )  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( ( H `  k )  -  B ) )  <  z )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( ( G `  k
) F ( H `
 k ) )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) ) )
4816, 47mpid 39 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  ->  ( A. u  e.  C  A. v  e.  D  ( ( ( abs `  ( u  -  A
) )  <  y  /\  ( abs `  (
v  -  B ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( u F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( ( G `  k
) F ( H `
 k ) )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) )
4948rexlimdvva 2829 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. u  e.  C  A. v  e.  D  (
( ( abs `  (
u  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  B ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( u F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( ( G `  k
) F ( H `
 k ) )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) )
5049adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. u  e.  C  A. v  e.  D  ( ( ( abs `  ( u  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  B ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( u F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x
)  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( ( G `  k ) F ( H `  k ) )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) )
511, 50mpd 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( ( G `  k ) F ( H `  k ) )  -  ( A F B ) ) )  <  x )
5251ralrimiva 2781 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( ( G `
 k ) F ( H `  k
) )  -  ( A F B ) ) )  <  x )
53 climcn2.6 . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  W )
54 climcn2.9 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( K `  k )  =  ( ( G `
 k ) F ( H `  k
) ) )
55 climcn2.4 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  C  /\  v  e.  D ) )  -> 
( u F v )  e.  CC )
56 climcn2.3a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  C )
57 climcn2.3b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  D )
5855, 56, 57caovcld 6232 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A F B )  e.  CC )
5918, 19jca 519 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( G `  k
)  e.  C  /\  ( H `  k )  e.  D ) )
6055ralrimivva 2790 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. u  e.  C  A. v  e.  D  ( u F v )  e.  CC )
6160adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A. u  e.  C  A. v  e.  D  ( u F v )  e.  CC )
6224eleq1d 2501 . . . . 5  |-  ( u  =  ( G `  k )  ->  (
( u F v )  e.  CC  <->  ( ( G `  k ) F v )  e.  CC ) )
6333eleq1d 2501 . . . . 5  |-  ( v  =  ( H `  k )  ->  (
( ( G `  k ) F v )  e.  CC  <->  ( ( G `  k ) F ( H `  k ) )  e.  CC ) )
6462, 63rspc2v 3050 . . . 4  |-  ( ( ( G `  k
)  e.  C  /\  ( H `  k )  e.  D )  -> 
( A. u  e.  C  A. v  e.  D  ( u F v )  e.  CC  ->  ( ( G `  k ) F ( H `  k ) )  e.  CC ) )
6559, 61, 64sylc 58 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( G `  k
) F ( H `
 k ) )  e.  CC )
662, 3, 53, 54, 58, 65clim2c 12291 . 2  |-  ( ph  ->  ( K  ~~>  ( A F B )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( ( G `  k ) F ( H `  k ) )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) )
6752, 66mpbird 224 1  |-  ( ph  ->  K  ~~>  ( A F B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980    < clt 9112    - cmin 9283   ZZcz 10274   ZZ>=cuz 10480   RR+crp 10604   abscabs 12031    ~~> cli 12270
This theorem is referenced by:  climadd  12417  climmul  12418  climsub  12419
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-neg 9286  df-z 10275  df-uz 10481  df-clim 12274
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