MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climim Unicode version

Theorem climim 12075
Description: Limit of the imaginary part of a sequence. Proposition 12-2.4(c) of [Gleason] p. 172. (Contributed by NM, 7-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climcn1lem.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
climcn1lem.2  |-  ( ph  ->  F  ~~>  A )
climcn1lem.4  |-  ( ph  ->  G  e.  W )
climcn1lem.5  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
climcn1lem.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
climim.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  =  ( Im `  ( F `  k ) ) )
Assertion
Ref Expression
climim  |-  ( ph  ->  G  ~~>  ( Im `  A ) )
Distinct variable groups:    A, k    k, F    k, G    ph, k    k, Z    k, M
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
Allowed substitution hint:    W( k)

Proof of Theorem climim
StepHypRef Expression
1 climcn1lem.1 . 2  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 climcn1lem.2 . 2  |-  ( ph  ->  F  ~~>  A )
3 climcn1lem.4 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  W )
4 climcn1lem.5 . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
5 climcn1lem.6 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
6 imf 11593 . . 3  |-  Im : CC
--> RR
7 ax-resscn 8790 . . 3  |-  RR  C_  CC
8 fss 5363 . . 3  |-  ( ( Im : CC --> RR  /\  RR  C_  CC )  ->  Im : CC --> CC )
96, 7, 8mp2an 655 . 2  |-  Im : CC
--> CC
10 imcn2 12070 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  CC  ( ( abs `  ( z  -  A
) )  <  y  ->  ( abs `  (
( Im `  z
)  -  ( Im
`  A ) ) )  <  x ) )
11 climim.7 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  =  ( Im `  ( F `  k ) ) )
121, 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11climcn1lem 12071 1  |-  ( ph  ->  G  ~~>  ( Im `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1624    e. wcel 1685    C_ wss 3154   class class class wbr 4025   -->wf 5218   ` cfv 5222   CCcc 8731   RRcr 8732   ZZcz 10020   ZZ>=cuz 10226   Imcim 11578    ~~> cli 11953
This theorem is referenced by:  mbflim  19018
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810  ax-pre-sup 8811
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5224  df-fn 5225  df-f 5226  df-f1 5227  df-fo 5228  df-f1o 5229  df-fv 5230  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-2nd 6085  df-iota 6253  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-er 6656  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-sup 7190  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-div 9420  df-nn 9743  df-2 9800  df-3 9801  df-n0 9962  df-z 10021  df-uz 10227  df-rp 10351  df-seq 11042  df-exp 11100  df-cj 11579  df-re 11580  df-im 11581  df-sqr 11715  df-abs 11716  df-clim 11957
  Copyright terms: Public domain W3C validator