MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climrecl Unicode version

Theorem climrecl 12051
Description: The limit of a convergent real sequence is real. Corollary 12-2.5 of [Gleason] p. 172. (Contributed by NM, 10-Sep-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
climshft2.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
climshft2.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
climrecl.3  |-  ( ph  ->  F  ~~>  A )
climrecl.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
climrecl  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
Distinct variable groups:    k, F    k, M    ph, k    k, Z    A, k

Proof of Theorem climrecl
StepHypRef Expression
1 climshft2.2 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
2 climshft2.1 . . . 4  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
32uzsup 10961 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  sup ( Z ,  RR* ,  <  )  =  +oo )
41, 3syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( Z ,  RR* ,  <  )  = 
+oo )
5 climrecl.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  ~~>  A )
6 climrel 11960 . . . . . . 7  |-  Rel  ~~>
76brrelexi 4728 . . . . . 6  |-  ( F  ~~>  A  ->  F  e.  _V )
85, 7syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
9 eqid 2284 . . . . . 6  |-  ( k  e.  Z  |->  ( F `
 k ) )  =  ( k  e.  Z  |->  ( F `  k ) )
102, 9climmpt 12039 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  _V )  ->  ( F  ~~>  A  <->  ( k  e.  Z  |->  ( F `
 k ) )  ~~>  A ) )
111, 8, 10syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  ~~>  A  <->  ( k  e.  Z  |->  ( F `
 k ) )  ~~>  A ) )
125, 11mpbid 203 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  Z  |->  ( F `  k
) )  ~~>  A )
13 climrecl.4 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
1413recnd 8856 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
1514, 9fmptd 5645 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( k  e.  Z  |->  ( F `  k
) ) : Z --> CC )
162, 1, 15rlimclim 12014 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  Z  |->  ( F `  k ) )  ~~> r  A  <->  ( k  e.  Z  |->  ( F `  k ) )  ~~>  A ) )
1712, 16mpbird 225 . 2  |-  ( ph  ->  ( k  e.  Z  |->  ( F `  k
) )  ~~> r  A
)
184, 17, 13rlimrecl 12048 1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1624    e. wcel 1685   _Vcvv 2789   class class class wbr 4024    e. cmpt 4078   ` cfv 5221   supcsup 7188   CCcc 8730   RRcr 8731    +oocpnf 8859   RR*cxr 8861    < clt 8862   ZZcz 10019   ZZ>=cuz 10225    ~~> cli 11952    ~~> r crli 11953
This theorem is referenced by:  climle  12107  climsqz  12108  climsqz2  12109  isumrecl  12222  prmreclem6  12962  mbflimlem  19016  emcllem7  20289  rrncmslem  25955  climreeq  27138
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-cnex 8788  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808  ax-pre-mulgt0 8809  ax-pre-sup 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-2nd 6084  df-iota 6252  df-riota 6299  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-er 6655  df-pm 6770  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-sup 7189  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-xr 8866  df-ltxr 8867  df-le 8868  df-sub 9034  df-neg 9035  df-div 9419  df-nn 9742  df-2 9799  df-3 9800  df-n0 9961  df-z 10020  df-uz 10226  df-rp 10350  df-fl 10919  df-seq 11041  df-exp 11099  df-cj 11578  df-re 11579  df-im 11580  df-sqr 11714  df-abs 11715  df-clim 11956  df-rlim 11957
  Copyright terms: Public domain W3C validator