MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climrecl Unicode version

Theorem climrecl 12008
Description: The limit of a convergent real sequence is real. Corollary 12-2.5 of [Gleason] p. 172. (Contributed by NM, 10-Sep-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
climshft2.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
climshft2.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
climrecl.3  |-  ( ph  ->  F  ~~>  A )
climrecl.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
climrecl  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
Distinct variable groups:    k, F    k, M    ph, k    k, Z    A, k

Proof of Theorem climrecl
StepHypRef Expression
1 climshft2.2 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
2 climshft2.1 . . . 4  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
32uzsup 10919 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  sup ( Z ,  RR* ,  <  )  =  +oo )
41, 3syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( Z ,  RR* ,  <  )  = 
+oo )
5 climrecl.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  ~~>  A )
6 climrel 11917 . . . . . . 7  |-  Rel  ~~>
76brrelexi 4703 . . . . . 6  |-  ( F  ~~>  A  ->  F  e.  _V )
85, 7syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
9 eqid 2256 . . . . . 6  |-  ( k  e.  Z  |->  ( F `
 k ) )  =  ( k  e.  Z  |->  ( F `  k ) )
102, 9climmpt 11996 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  _V )  ->  ( F  ~~>  A  <->  ( k  e.  Z  |->  ( F `
 k ) )  ~~>  A ) )
111, 8, 10syl2anc 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  ~~>  A  <->  ( k  e.  Z  |->  ( F `
 k ) )  ~~>  A ) )
125, 11mpbid 203 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  Z  |->  ( F `  k
) )  ~~>  A )
13 climrecl.4 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
1413recnd 8815 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
1514, 9fmptd 5604 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( k  e.  Z  |->  ( F `  k
) ) : Z --> CC )
162, 1, 15rlimclim 11971 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  Z  |->  ( F `  k ) )  ~~> r  A  <->  ( k  e.  Z  |->  ( F `  k ) )  ~~>  A ) )
1712, 16mpbird 225 . 2  |-  ( ph  ->  ( k  e.  Z  |->  ( F `  k
) )  ~~> r  A
)
184, 17, 13rlimrecl 12005 1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   _Vcvv 2757   class class class wbr 3983    e. cmpt 4037   ` cfv 4659   supcsup 7147   CCcc 8689   RRcr 8690    +oocpnf 8818   RR*cxr 8820    < clt 8821   ZZcz 9977   ZZ>=cuz 10183    ~~> cli 11909    ~~> r crli 11910
This theorem is referenced by:  climle  12064  climsqz  12065  climsqz2  12066  isumrecl  12179  prmreclem6  12916  mbflimlem  18970  emcllem7  20243  rrncmslem  25909
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4091  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470  ax-cnex 8747  ax-resscn 8748  ax-1cn 8749  ax-icn 8750  ax-addcl 8751  ax-addrcl 8752  ax-mulcl 8753  ax-mulrcl 8754  ax-mulcom 8755  ax-addass 8756  ax-mulass 8757  ax-distr 8758  ax-i2m1 8759  ax-1ne0 8760  ax-1rid 8761  ax-rnegex 8762  ax-rrecex 8763  ax-cnre 8764  ax-pre-lttri 8765  ax-pre-lttrn 8766  ax-pre-ltadd 8767  ax-pre-mulgt0 8768  ax-pre-sup 8769
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rmo 2524  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-tp 3608  df-op 3609  df-uni 3788  df-iun 3867  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-we 4312  df-ord 4353  df-on 4354  df-lim 4355  df-suc 4356  df-om 4615  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-2nd 6043  df-iota 6211  df-riota 6258  df-recs 6342  df-rdg 6377  df-er 6614  df-pm 6729  df-en 6818  df-dom 6819  df-sdom 6820  df-sup 7148  df-pnf 8823  df-mnf 8824  df-xr 8825  df-ltxr 8826  df-le 8827  df-sub 8993  df-neg 8994  df-div 9378  df-n 9701  df-2 9758  df-3 9759  df-n0 9919  df-z 9978  df-uz 10184  df-rp 10308  df-fl 10877  df-seq 10999  df-exp 11057  df-cj 11535  df-re 11536  df-im 11537  df-sqr 11671  df-abs 11672  df-clim 11913  df-rlim 11914
  Copyright terms: Public domain W3C validator