Theorem climrel 6976

Description: The limit relation is a relation.

Assertion

Ref	Expression
climrel	|- Rel ~~>

Proof of Theorem climrel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relopab 3272	. 2 |- Rel {<.f, y>. | (y e. CC /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((f` k) e. CC /\ (abs` ((f` k) - y)) < x))))}
2		df-clim 6975	. . 3 |- ~~> = {<.f, y>. | (y e. CC /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((f` k) e. CC /\ (abs` ((f` k) - y)) < x))))}
3	2	releqi 3250	. 2 |- (Rel ~~> <-> Rel {<.f, y>. | (y e. CC /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((f` k) e. CC /\ (abs` ((f` k) - y)) < x))))})
4	1, 3	mpbir 190	1 |- Rel ~~>

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 960  A.wral 1648  E.wrex 1649   class class class wbr 2624  {copab 2671  Rel wrel 3181  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  CCcc 5244  RRcr 5245  0cc0 5246   - cmin 5304   <_ cle 5307  ZZcz 5310   < clt 5498  abscabs 6751   ~~> cli 6974

This theorem is referenced by:  climcl 6978  clmi1 7086  climaddc 7132  climmulc 7133  climabslem 7148

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-opab 2672  df-xp 3190  df-rel 3191  df-clim 6975

Copyright terms: Public domain