Theorem climres 7105

Description: A function restricted to upper integers converges iff the original function converges.

Hypotheses

Ref	Expression
climshft.1	|- F e. V
climshft.2	|- M e. ZZ

Assertion

Ref	Expression
climres	|- (A e. B -> ((F |` (ZZ>` M)) ~~> A <-> F ~~> A))

Proof of Theorem climres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climcl 6978	. 2 |- ((A e. B /\ (F |` (ZZ>` M)) ~~> A) -> A e. CC)
2		climcl 6978	. 2 |- ((A e. B /\ F ~~> A) -> A e. CC)
3		0z 6148	. . . . 5 |- 0 e. ZZ
4		uzssz 6431	. . . . 5 |- (ZZ>` 0) (_ ZZ
5		ssid 2083	. . . . 5 |- ZZ (_ ZZ
6		climshft.2	. . . . 5 |- M e. ZZ
7		ssid 2083	. . . . 5 |- (ZZ>` M) (_ (ZZ>` M)
8		uzssz 6431	. . . . 5 |- (ZZ>` M) (_ ZZ
9		climshft.1	. . . . . 6 |- F e. V
10		resexg 3400	. . . . . 6 |- (F e. V -> (F |` (ZZ>` M)) e. V)
11	9, 10	ax-mp 7	. . . . 5 |- (F |` (ZZ>` M)) e. V
12	3, 4, 5, 6, 7, 8, 11	clm2 7078	. . . 4 |- (A e. CC -> ((F |` (ZZ>` M)) ~~> A <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.t e. (ZZ>` M)(j <_ t -> (((F |` (ZZ>` M))` t) e. CC /\ (abs` (((F |` (ZZ>` M))` t) - A)) < x)))))
13		fvres 3740	. . . . . . . . . . 11 |- (t e. (ZZ>` M) -> ((F |` (ZZ>` M))` t) = (F` t))
14	13	eleq1d 1543	. . . . . . . . . 10 |- (t e. (ZZ>` M) -> (((F |` (ZZ>` M))` t) e. CC <-> (F` t) e. CC))
15	13	opreq1d 3981	. . . . . . . . . . . 12 |- (t e. (ZZ>` M) -> (((F |` (ZZ>` M))` t) - A) = ((F` t) - A))
16	15	fveq2d 3734	. . . . . . . . . . 11 |- (t e. (ZZ>` M) -> (abs` (((F |` (ZZ>` M))` t) - A)) = (abs` ((F` t) - A)))
17	16	breq1d 2634	. . . . . . . . . 10 |- (t e. (ZZ>` M) -> ((abs` (((F |` (ZZ>` M))` t) - A)) < x <-> (abs` ((F` t) - A)) < x))
18	14, 17	anbi12d 630	. . . . . . . . 9 |- (t e. (ZZ>` M) -> ((((F |` (ZZ>` M))` t) e. CC /\ (abs` (((F |` (ZZ>` M))` t) - A)) < x) <-> ((F` t) e. CC /\ (abs` ((F` t) - A)) < x)))
19	18	imbi2d 614	. . . . . . . 8 |- (t e. (ZZ>` M) -> ((j <_ t -> (((F |` (ZZ>` M))` t) e. CC /\ (abs` (((F |` (ZZ>` M))` t) - A)) < x)) <-> (j <_ t -> ((F` t) e. CC /\ (abs` ((F` t) - A)) < x))))
20	19	ralbiia 1676	. . . . . . 7 |- (A.t e. (ZZ>` M)(j <_ t -> (((F |` (ZZ>` M))` t) e. CC /\ (abs` (((F |` (ZZ>` M))` t) - A)) < x)) <-> A.t e. (ZZ>` M)(j <_ t -> ((F` t) e. CC /\ (abs` ((F` t) - A)) < x)))
21	20	rexbii 1671	. . . . . 6 |- (E.j e. ZZ A.t e. (ZZ>` M)(j <_ t -> (((F |` (ZZ>` M))` t) e. CC /\ (abs` (((F |` (ZZ>` M))` t) - A)) < x)) <-> E.j e. ZZ A.t e. (ZZ>` M)(j <_ t -> ((F` t) e. CC /\ (abs` ((F` t) - A)) < x)))
22	21	imbi2i 185	. . . . 5 |- ((0 < x -> E.j e. ZZ A.t e. (ZZ>` M)(j <_ t -> (((F |` (ZZ>` M))` t) e. CC /\ (abs` (((F |` (ZZ>` M))` t) - A)) < x))) <-> (0 < x -> E.j e. ZZ A.t e. (ZZ>` M)(j <_ t -> ((F` t) e. CC /\ (abs` ((F` t) - A)) < x))))
23	22	ralbii 1670	. . . 4 |- (A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.t e. (ZZ>` M)(j <_ t -> (((F |` (ZZ>` M))` t) e. CC /\ (abs` (((F |` (ZZ>` M))` t) - A)) < x))) <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.t e. (ZZ>` M)(j <_ t -> ((F` t) e. CC /\ (abs` ((F` t) - A)) < x))))
24	12, 23	syl6bb 538	. . 3 |- (A e. CC -> ((F |` (ZZ>` M)) ~~> A <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.t e. (ZZ>` M)(j <_ t -> ((F` t) e. CC /\ (abs` ((F` t) - A)) < x)))))
25	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	clm2 7078	. . 3 |- (A e. CC -> (F ~~> A <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.t e. (ZZ>` M)(j <_ t -> ((F` t) e. CC /\ (abs` ((F` t) - A)) < x)))))
26	24, 25	bitr4d 533	. 2 |- (A e. CC -> ((F |` (ZZ>` M)) ~~> A <-> F ~~> A))
27	1, 2, 26	pm5.21nd 682	1 |- (A e. B -> ((F |` (ZZ>` M)) ~~> A <-> F ~~> A))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   e. wcel 960  A.wral 1648  E.wrex 1649  Vcvv 1814   class class class wbr 2624   |` cres 3178  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  CCcc 5244  RRcr 5245  0cc0 5246   - cmin 5304   <_ cle 5307  ZZcz 5310   < clt 5498  ZZ>cuz 6418  abscabs 6751   ~~> cli 6974

This theorem is referenced by:  climshft2 7106  climuz0 7108  iserzshft 7144

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-z 6138  df-uz 6419  df-clim 6975

Copyright terms: Public domain