MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climshft Unicode version

Theorem climshft 12358
Description: A shifted function converges iff the original function converges. (Contributed by NM, 16-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
climshft  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  ( ( F  shift  M )  ~~>  A  <->  F  ~~>  A ) )

Proof of Theorem climshft
Dummy variables  f 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6079 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (
f  shift  M )  =  ( F  shift  M ) )
21breq1d 4214 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (
( f  shift  M )  ~~>  A  <->  ( F  shift  M )  ~~>  A ) )
3 breq1 4207 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (
f  ~~>  A  <->  F  ~~>  A ) )
42, 3bibi12d 313 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  (
( ( f  shift  M )  ~~>  A  <->  f  ~~>  A )  <-> 
( ( F  shift  M )  ~~>  A  <->  F  ~~>  A ) ) )
54imbi2d 308 . . 3  |-  ( f  =  F  ->  (
( M  e.  ZZ  ->  ( ( f  shift  M )  ~~>  A  <->  f  ~~>  A ) )  <->  ( M  e.  ZZ  ->  ( ( F  shift  M )  ~~>  A  <->  F  ~~>  A ) ) ) )
6 znegcl 10302 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  -u M  e.  ZZ )
7 ovex 6097 . . . . . . 7  |-  ( f 
shift  M )  e.  _V
87climshftlem 12356 . . . . . 6  |-  ( -u M  e.  ZZ  ->  ( ( f  shift  M )  ~~>  A  ->  ( (
f  shift  M )  shift  -u M )  ~~>  A ) )
96, 8syl 16 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( f  shift  M )  ~~>  A  ->  ( (
f  shift  M )  shift  -u M )  ~~>  A ) )
10 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  M )  =  (
ZZ>= `  M )
11 ovex 6097 . . . . . . 7  |-  ( ( f  shift  M )  shift 
-u M )  e. 
_V
1211a1i 11 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( f  shift  M ) 
shift  -u M )  e. 
_V )
13 vex 2951 . . . . . . 7  |-  f  e. 
_V
1413a1i 11 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  f  e.  _V )
15 id 20 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ZZ )
16 zcn 10276 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
17 eluzelz 10485 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  k  e.  ZZ )
1817zcnd 10365 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  k  e.  CC )
1913shftcan1 11886 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( ( ( f 
shift  M )  shift  -u M
) `  k )  =  ( f `  k ) )
2016, 18, 19syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( ( ( f 
shift  M )  shift  -u M
) `  k )  =  ( f `  k ) )
2110, 12, 14, 15, 20climeq 12349 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( ( f  shift  M )  shift  -u M )  ~~>  A  <->  f  ~~>  A ) )
229, 21sylibd 206 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( f  shift  M )  ~~>  A  ->  f  ~~>  A ) )
2313climshftlem 12356 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
f  ~~>  A  ->  (
f  shift  M )  ~~>  A ) )
2422, 23impbid 184 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( f  shift  M )  ~~>  A  <->  f  ~~>  A ) )
255, 24vtoclg 3003 . 2  |-  ( F  e.  V  ->  ( M  e.  ZZ  ->  ( ( F  shift  M )  ~~>  A  <->  F  ~~>  A )
) )
2625impcom 420 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  ( ( F  shift  M )  ~~>  A  <->  F  ~~>  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948   class class class wbr 4204   ` cfv 5445  (class class class)co 6072   CCcc 8977   -ucneg 9281   ZZcz 10271   ZZ>=cuz 10477    shift cshi 11869    ~~> cli 12266
This theorem is referenced by:  climshft2  12364  isershft  12445  cvgrat  12648  eftlub  12698
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-er 6896  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-nn 9990  df-n0 10211  df-z 10272  df-uz 10478  df-shft 11870  df-clim 12270
  Copyright terms: Public domain W3C validator