MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climshft Unicode version

Theorem climshft 12046
Description: A shifted function converges iff the original function converges. (Contributed by NM, 16-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
climshft  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  ( ( F  shift  M )  ~~>  A  <->  F  ~~>  A ) )

Proof of Theorem climshft
Dummy variables  f 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 5827 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (
f  shift  M )  =  ( F  shift  M ) )
21breq1d 4034 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (
( f  shift  M )  ~~>  A  <->  ( F  shift  M )  ~~>  A ) )
3 breq1 4027 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (
f  ~~>  A  <->  F  ~~>  A ) )
42, 3bibi12d 312 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  (
( ( f  shift  M )  ~~>  A  <->  f  ~~>  A )  <-> 
( ( F  shift  M )  ~~>  A  <->  F  ~~>  A ) ) )
54imbi2d 307 . . 3  |-  ( f  =  F  ->  (
( M  e.  ZZ  ->  ( ( f  shift  M )  ~~>  A  <->  f  ~~>  A ) )  <->  ( M  e.  ZZ  ->  ( ( F  shift  M )  ~~>  A  <->  F  ~~>  A ) ) ) )
6 znegcl 10051 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  -u M  e.  ZZ )
7 ovex 5845 . . . . . . 7  |-  ( f 
shift  M )  e.  _V
87climshftlem 12044 . . . . . 6  |-  ( -u M  e.  ZZ  ->  ( ( f  shift  M )  ~~>  A  ->  ( (
f  shift  M )  shift  -u M )  ~~>  A ) )
96, 8syl 15 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( f  shift  M )  ~~>  A  ->  ( (
f  shift  M )  shift  -u M )  ~~>  A ) )
10 eqid 2284 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  M )  =  (
ZZ>= `  M )
11 ovex 5845 . . . . . . 7  |-  ( ( f  shift  M )  shift 
-u M )  e. 
_V
1211a1i 10 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( f  shift  M ) 
shift  -u M )  e. 
_V )
13 vex 2792 . . . . . . 7  |-  f  e. 
_V
1413a1i 10 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  f  e.  _V )
15 id 19 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ZZ )
16 zcn 10025 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
17 eluzelz 10234 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  k  e.  ZZ )
1817zcnd 10114 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  k  e.  CC )
1913shftcan1 11574 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( ( ( f 
shift  M )  shift  -u M
) `  k )  =  ( f `  k ) )
2016, 18, 19syl2an 463 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( ( ( f 
shift  M )  shift  -u M
) `  k )  =  ( f `  k ) )
2110, 12, 14, 15, 20climeq 12037 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( ( f  shift  M )  shift  -u M )  ~~>  A  <->  f  ~~>  A ) )
229, 21sylibd 205 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( f  shift  M )  ~~>  A  ->  f  ~~>  A ) )
2313climshftlem 12044 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
f  ~~>  A  ->  (
f  shift  M )  ~~>  A ) )
2422, 23impbid 183 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( f  shift  M )  ~~>  A  <->  f  ~~>  A ) )
255, 24vtoclg 2844 . 2  |-  ( F  e.  V  ->  ( M  e.  ZZ  ->  ( ( F  shift  M )  ~~>  A  <->  F  ~~>  A )
) )
2625impcom 419 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  ( ( F  shift  M )  ~~>  A  <->  F  ~~>  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1685   _Vcvv 2789   class class class wbr 4024   ` cfv 5221  (class class class)co 5820   CCcc 8731   -ucneg 9034   ZZcz 10020   ZZ>=cuz 10226    shift cshi 11557    ~~> cli 11954
This theorem is referenced by:  climshft2  12052  isershft  12133  cvgrat  12335  eftlub  12385
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-iota 6253  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-er 6656  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-nn 9743  df-n0 9962  df-z 10021  df-uz 10227  df-shft 11558  df-clim 11958
  Copyright terms: Public domain W3C validator