MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climshft Unicode version

Theorem climshft 12052
Description: A shifted function converges iff the original function converges. (Contributed by NM, 16-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
climshft  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  ( ( F  shift  M )  ~~>  A  <->  F  ~~>  A ) )

Proof of Theorem climshft
Dummy variables  f 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 5867 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (
f  shift  M )  =  ( F  shift  M ) )
21breq1d 4035 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (
( f  shift  M )  ~~>  A  <->  ( F  shift  M )  ~~>  A ) )
3 breq1 4028 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (
f  ~~>  A  <->  F  ~~>  A ) )
42, 3bibi12d 312 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  (
( ( f  shift  M )  ~~>  A  <->  f  ~~>  A )  <-> 
( ( F  shift  M )  ~~>  A  <->  F  ~~>  A ) ) )
54imbi2d 307 . . 3  |-  ( f  =  F  ->  (
( M  e.  ZZ  ->  ( ( f  shift  M )  ~~>  A  <->  f  ~~>  A ) )  <->  ( M  e.  ZZ  ->  ( ( F  shift  M )  ~~>  A  <->  F  ~~>  A ) ) ) )
6 znegcl 10057 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  -u M  e.  ZZ )
7 ovex 5885 . . . . . . 7  |-  ( f 
shift  M )  e.  _V
87climshftlem 12050 . . . . . 6  |-  ( -u M  e.  ZZ  ->  ( ( f  shift  M )  ~~>  A  ->  ( (
f  shift  M )  shift  -u M )  ~~>  A ) )
96, 8syl 15 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( f  shift  M )  ~~>  A  ->  ( (
f  shift  M )  shift  -u M )  ~~>  A ) )
10 eqid 2285 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  M )  =  (
ZZ>= `  M )
11 ovex 5885 . . . . . . 7  |-  ( ( f  shift  M )  shift 
-u M )  e. 
_V
1211a1i 10 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( f  shift  M ) 
shift  -u M )  e. 
_V )
13 vex 2793 . . . . . . 7  |-  f  e. 
_V
1413a1i 10 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  f  e.  _V )
15 id 19 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ZZ )
16 zcn 10031 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
17 eluzelz 10240 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  k  e.  ZZ )
1817zcnd 10120 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  k  e.  CC )
1913shftcan1 11580 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( ( ( f 
shift  M )  shift  -u M
) `  k )  =  ( f `  k ) )
2016, 18, 19syl2an 463 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( ( ( f 
shift  M )  shift  -u M
) `  k )  =  ( f `  k ) )
2110, 12, 14, 15, 20climeq 12043 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( ( f  shift  M )  shift  -u M )  ~~>  A  <->  f  ~~>  A ) )
229, 21sylibd 205 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( f  shift  M )  ~~>  A  ->  f  ~~>  A ) )
2313climshftlem 12050 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
f  ~~>  A  ->  (
f  shift  M )  ~~>  A ) )
2422, 23impbid 183 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( f  shift  M )  ~~>  A  <->  f  ~~>  A ) )
255, 24vtoclg 2845 . 2  |-  ( F  e.  V  ->  ( M  e.  ZZ  ->  ( ( F  shift  M )  ~~>  A  <->  F  ~~>  A )
) )
2625impcom 419 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  ( ( F  shift  M )  ~~>  A  <->  F  ~~>  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1625    e. wcel 1686   _Vcvv 2790   class class class wbr 4025   ` cfv 5257  (class class class)co 5860   CCcc 8737   -ucneg 9040   ZZcz 10026   ZZ>=cuz 10232    shift cshi 11563    ~~> cli 11960
This theorem is referenced by:  climshft2  12058  isershft  12139  cvgrat  12341  eftlub  12391
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-er 6662  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-nn 9749  df-n0 9968  df-z 10027  df-uz 10233  df-shft 11564  df-clim 11964
  Copyright terms: Public domain W3C validator