Theorem climshft2 7059

Description: A shifted function converges iff the original function converges. (Contributed by Paul Chapman, 19-Nov-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
climshft2.1	|- F e. V
climshft2.2	|- G e. V
climshft2.3	|- M e. ZZ
climshft2.4	|- K e. ZZ

Assertion

Ref	Expression
climshft2	|- ((A e. B /\ A.k e. (ZZ>` M)(G` (k + K)) = (F` k)) -> (F ~~> A <-> G ~~> A))

Distinct variable groups:   k,F   k,G   k,K   k,M

Proof of Theorem climshft2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climcl 6931	. . . 4 |- ((A e. B /\ F ~~> A) -> A e. CC)
2	1	anim1i 334	. . 3 |- (((A e. B /\ F ~~> A) /\ A.k e. (ZZ>` M)(G` (k + K)) = (F` k)) -> (A e. CC /\ A.k e. (ZZ>` M)(G` (k + K)) = (F` k)))
3	2	an1rs 489	. 2 |- (((A e. B /\ A.k e. (ZZ>` M)(G` (k + K)) = (F` k)) /\ F ~~> A) -> (A e. CC /\ A.k e. (ZZ>` M)(G` (k + K)) = (F` k)))
4		climcl 6931	. . . 4 |- ((A e. B /\ G ~~> A) -> A e. CC)
5	4	anim1i 334	. . 3 |- (((A e. B /\ G ~~> A) /\ A.k e. (ZZ>` M)(G` (k + K)) = (F` k)) -> (A e. CC /\ A.k e. (ZZ>` M)(G` (k + K)) = (F` k)))
6	5	an1rs 489	. 2 |- (((A e. B /\ A.k e. (ZZ>` M)(G` (k + K)) = (F` k)) /\ G ~~> A) -> (A e. CC /\ A.k e. (ZZ>` M)(G` (k + K)) = (F` k)))
7		climshft2.4	. . . . . . . . 9 |- K e. ZZ
8		znegclt 6120	. . . . . . . . 9 |- (K e. ZZ -> -uK e. ZZ)
9	7, 8	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- -uK e. ZZ
10		climshft2.2	. . . . . . . . 9 |- G e. V
11	10	shftfn 6293	. . . . . . . 8 |- (-uK e. ZZ -> (G shift -uK) Fn CC)
12	9, 11	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (G shift -uK) Fn CC
13		0z 6103	. . . . . . . 8 |- 0 e. ZZ
14		climshft2.1	. . . . . . . . 9 |- F e. V
15	14	shftfn 6293	. . . . . . . 8 |- (0 e. ZZ -> (F shift 0) Fn CC)
16	13, 15	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (F shift 0) Fn CC
17		uzssz 6375	. . . . . . . . 9 |- (ZZ>` M) (_ ZZ
18		zsscn 6100	. . . . . . . . 9 |- ZZ (_ CC
19	17, 18	sstri 2070	. . . . . . . 8 |- (ZZ>` M) (_ CC
20		fvreseq 3794	. . . . . . . 8 |- ((((G shift -uK) Fn CC /\ (F shift 0) Fn CC) /\ (ZZ>` M) (_ CC) -> (((G shift -uK) |` (ZZ>` M)) = ((F shift 0) |` (ZZ>` M)) <-> A.k e. (ZZ>` M)((G shift -uK)` k) = ((F shift 0)` k)))
21	19, 20	mpan2 695	. . . . . . 7 |- (((G shift -uK) Fn CC /\ (F shift 0) Fn CC) -> (((G shift -uK) |` (ZZ>` M)) = ((F shift 0) |` (ZZ>` M)) <-> A.k e. (ZZ>` M)((G shift -uK)` k) = ((F shift 0)` k)))
22	12, 16, 21	mp2an 696	. . . . . 6 |- (((G shift -uK) |` (ZZ>` M)) = ((F shift 0) |` (ZZ>` M)) <-> A.k e. (ZZ>` M)((G shift -uK)` k) = ((F shift 0)` k))
23		eluzelz 6368	. . . . . . . . . 10 |- (k e. (ZZ>` M) -> k e. ZZ)
24		zcnt 6097	. . . . . . . . . 10 |- (k e. ZZ -> k e. CC)
25	23, 24	syl 10	. . . . . . . . 9 |- (k e. (ZZ>` M) -> k e. CC)
26	7	zre 6098	. . . . . . . . . . . 12 |- K e. RR
27	26	recn 5297	. . . . . . . . . . 11 |- K e. CC
28	10	shftval4t 6299	. . . . . . . . . . 11 |- ((K e. CC /\ k e. CC) -> ((G shift -uK)` k) = (G` (K + k)))
29	27, 28	mpan 694	. . . . . . . . . 10 |- (k e. CC -> ((G shift -uK)` k) = (G` (K + k)))
30		axaddcom 5258	. . . . . . . . . . . 12 |- ((K e. CC /\ k e. CC) -> (K + k) = (k + K))
31	27, 30	mpan 694	. . . . . . . . . . 11 |- (k e. CC -> (K + k) = (k + K))
32	31	fveq2d 3723	. . . . . . . . . 10 |- (k e. CC -> (G` (K + k)) = (G` (k + K)))
33	29, 32	eqtrd 1505	. . . . . . . . 9 |- (k e. CC -> ((G shift -uK)` k) = (G` (k + K)))
34	25, 33	syl 10	. . . . . . . 8 |- (k e. (ZZ>` M) -> ((G shift -uK)` k) = (G` (k + K)))
35	14	shftidt 6305	. . . . . . . . 9 |- (k e. CC -> ((F shift 0)` k) = (F` k))
36	25, 35	syl 10	. . . . . . . 8 |- (k e. (ZZ>` M) -> ((F shift 0)` k) = (F` k))
37	34, 36	eqeq12d 1487	. . . . . . 7 |- (k e. (ZZ>` M) -> (((G shift -uK)` k) = ((F shift 0)` k) <-> (G` (k + K)) = (F` k)))
38	37	ralbiia 1671	. . . . . 6 |- (A.k e. (ZZ>` M)((G shift -uK)` k) = ((F shift 0)` k) <-> A.k e. (ZZ>` M)(G` (k + K)) = (F` k))
39	22, 38	bitr 173	. . . . 5 |- (((G shift -uK) |` (ZZ>` M)) = ((F shift 0) |` (ZZ>` M)) <-> A.k e. (ZZ>` M)(G` (k + K)) = (F` k))
40		breq1 2618	. . . . 5 |- (((G shift -uK) |` (ZZ>` M)) = ((F shift 0) |` (ZZ>` M)) -> (((G shift -uK) |` (ZZ>` M)) ~~> A <-> ((F shift 0) |` (ZZ>` M)) ~~> A))
41	39, 40	sylbir 201	. . . 4 |- (A.k e. (ZZ>` M)(G` (k + K)) = (F` k) -> (((G shift -uK) |` (ZZ>` M)) ~~> A <-> ((F shift 0) |` (ZZ>` M)) ~~> A))
42	41	adantl 388	. . 3 |- ((A e. CC /\ A.k e. (ZZ>` M)(G` (k + K)) = (F` k)) -> (((G shift -uK) |` (ZZ>` M)) ~~> A <-> ((F shift 0) |` (ZZ>` M)) ~~> A))
43		oprex 3978	. . . . . 6 |- (G shift -uK) e. V
44		climshft2.3	. . . . . 6 |- M e. ZZ
45	43, 44	climres 7058	. . . . 5 |- (A e. CC -> (((G shift -uK) |` (ZZ>` M)) ~~> A <-> (G shift -uK) ~~> A))
46	10, 9	climshft 7057	. . . . 5 |- (A e. CC -> ((G shift -uK) ~~> A <-> G ~~> A))
47	45, 46	bitrd 527	. . . 4 |- (A e. CC -> (((G shift -uK) |` (ZZ>` M)) ~~> A <-> G ~~> A))
48	47	adantr 389	. . 3 |- ((A e. CC /\ A.k e. (ZZ>` M)(G` (k + K)) = (F` k)) -> (((G shift -uK) |` (ZZ>` M)) ~~> A <-> G ~~> A))
49		oprex 3978	. . . . . 6 |- (F shift 0) e. V
50	49, 44	climres 7058	. . . . 5 |- (A e. CC -> (((F shift 0) |` (ZZ>` M)) ~~> A <-> (F shift 0) ~~> A))
51	14, 13	climshft 7057	. . . . 5 |- (A e. CC -> ((F shift 0) ~~> A <-> F ~~> A))
52	50, 51	bitrd 527	. . . 4 |- (A e. CC -> (((F shift 0) |` (ZZ>` M)) ~~> A <-> F ~~> A))
53	52	adantr 389	. . 3 |- ((A e. CC /\ A.k e. (ZZ>` M)(G` (k + K)) = (F` k)) -> (((F shift 0) |` (ZZ>` M)) ~~> A <-> F ~~> A))
54	42, 48, 53	3bitr3rd 548	. 2 |- ((A e. CC /\ A.k e. (ZZ>` M)(G` (k + K)) = (F` k)) -> (F ~~> A <-> G ~~> A))
55	3, 6, 54	pm5.21nd 679	1 |- ((A e. B /\ A.k e. (ZZ>` M)(G` (k + K)) = (F` k)) -> (F ~~> A <-> G ~~> A))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  A.wral 1643  Vcvv 1808   (_ wss 2044   class class class wbr 2615   |` cres 3168   Fn wfn 3173  ` cfv 3178  (class class class)co 3958  CCcc 5215  0cc0 5217   + caddc 5220  -ucneg 5276  ZZcz 5281   shift cshi 6290  ZZ>cuz 6362   ~~> cli 6927

This theorem is referenced by:  iserzshft2 7060

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-nel 1586  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-en 4360  df-dom 4361  df-sdom 4362  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-mp 5072  df-ltp 5073  df-plpr 5147  df-mpr 5148  df-enr 5149  df-nr 5150  df-plr 5151  df-mr 5152  df-ltr 5153  df-0r 5154  df-1r 5155  df-m1r 5156  df-c 5223  df-0 5224  df-1 5225  df-i 5226  df-r 5227  df-plus 5228  df-mul 5229  df-lt 5230  df-sub 5339  df-neg 5341  df-pnf