Theorem climsubc2 7084

Description: Limit of a constant C minus each term of a sequence.

Hypotheses

Ref	Expression
climsubc2.1	|- F e. V
climsubc2.2	|- G e. V
climsubc2.3	|- A e. V
climsubc2.4	|- C e. V

Assertion

Ref	Expression
climsubc2	|- (((F ~~> A /\ C e. CC) /\ (M e. ZZ /\ A.k e. (ZZ>` M)((F` k) e. CC /\ (G` k) = (C - (F` k))))) -> G ~~> (C - A))

Distinct variable groups:   A,k   C,k   k,F   k,G   k,M

Proof of Theorem climsubc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zex 6101	. . . 4 |- ZZ e. V
2		snex 2746	. . . 4 |- {C} e. V
3	1, 2	xpex 3256	. . 3 |- (ZZ X. {C}) e. V
4		climsubc2.1	. . 3 |- F e. V
5		climsubc2.2	. . 3 |- G e. V
6		climsubc2.4	. . 3 |- C e. V
7		climsubc2.3	. . 3 |- A e. V
8	3, 4, 5, 6, 7	climsub 7083	. 2 |- ((((ZZ X. {C}) ~~> C /\ F ~~> A) /\ (M e. ZZ /\ A.k e. (ZZ>` M)(((ZZ X. {C})` k) e. CC /\ (F` k) e. CC /\ (G` k) = (((ZZ X. {C})` k) - (F` k))))) -> G ~~> (C - A))
9		climconst2 7048	. . . . 5 |- (C e. CC -> (ZZ X. {C}) ~~> C)
10	9	anim1i 334	. . . 4 |- ((C e. CC /\ F ~~> A) -> ((ZZ X. {C}) ~~> C /\ F ~~> A))
11	10	ancoms 436	. . 3 |- ((F ~~> A /\ C e. CC) -> ((ZZ X. {C}) ~~> C /\ F ~~> A))
12	11	adantr 389	. 2 |- (((F ~~> A /\ C e. CC) /\ (M e. ZZ /\ A.k e. (ZZ>` M)((F` k) e. CC /\ (G` k) = (C - (F` k))))) -> ((ZZ X. {C}) ~~> C /\ F ~~> A))
13		simprl 414	. . 3 |- (((F ~~> A /\ C e. CC) /\ (M e. ZZ /\ A.k e. (ZZ>` M)((F` k) e. CC /\ (G` k) = (C - (F` k))))) -> M e. ZZ)
14		fvconst2g 3839	. . . . . . . . . . 11 |- ((C e. CC /\ k e. ZZ) -> ((ZZ X. {C})` k) = C)
15		pm3.26 319	. . . . . . . . . . 11 |- ((C e. CC /\ k e. ZZ) -> C e. CC)
16	14, 15	eqeltrd 1546	. . . . . . . . . 10 |- ((C e. CC /\ k e. ZZ) -> ((ZZ X. {C})` k) e. CC)
17	16	adantr 389	. . . . . . . . 9 |- (((C e. CC /\ k e. ZZ) /\ ((F` k) e. CC /\ (G` k) = (C - (F` k)))) -> ((ZZ X. {C})` k) e. CC)
18		simprl 414	. . . . . . . . 9 |- (((C e. CC /\ k e. ZZ) /\ ((F` k) e. CC /\ (G` k) = (C - (F` k)))) -> (F` k) e. CC)
19		pm3.27 323	. . . . . . . . . . 11 |- (((C e. CC /\ k e. ZZ) /\ (G` k) = (C - (F` k))) -> (G` k) = (C - (F` k)))
20	14	opreq1d 3970	. . . . . . . . . . . 12 |- ((C e. CC /\ k e. ZZ) -> (((ZZ X. {C})` k) - (F` k)) = (C - (F` k)))
21	20	adantr 389	. . . . . . . . . . 11 |- (((C e. CC /\ k e. ZZ) /\ (G` k) = (C - (F` k))) -> (((ZZ X. {C})` k) - (F` k)) = (C - (F` k)))
22	19, 21	eqtr4d 1508	. . . . . . . . . 10 |- (((C e. CC /\ k e. ZZ) /\ (G` k) = (C - (F` k))) -> (G` k) = (((ZZ X. {C})` k) - (F` k)))
23	22	adantrl 394	. . . . . . . . 9 |- (((C e. CC /\ k e. ZZ) /\ ((F` k) e. CC /\ (G` k) = (C - (F` k)))) -> (G` k) = (((ZZ X. {C})` k) - (F` k)))
24	17, 18, 23	3jca 818	. . . . . . . 8 |- (((C e. CC /\ k e. ZZ) /\ ((F` k) e. CC /\ (G` k) = (C - (F` k)))) -> (((ZZ X. {C})` k) e. CC /\ (F` k) e. CC /\ (G` k) = (((ZZ X. {C})` k) - (F` k))))
25	24	ex 373	. . . . . . 7 |- ((C e. CC /\ k e. ZZ) -> (((F` k) e. CC /\ (G` k) = (C - (F` k))) -> (((ZZ X. {C})` k) e. CC /\ (F` k) e. CC /\ (G` k) = (((ZZ X. {C})` k) - (F` k)))))
26		eluzelz 6368	. . . . . . 7 |- (k e. (ZZ>` M) -> k e. ZZ)
27	25, 26	sylan2 451	. . . . . 6 |- ((C e. CC /\ k e. (ZZ>` M)) -> (((F` k) e. CC /\ (G` k) = (C - (F` k))) -> (((ZZ X. {C})` k) e. CC /\ (F` k) e. CC /\ (G` k) = (((ZZ X. {C})` k) - (F` k)))))
28	27	r19.20dva 1707	. . . . 5 |- (C e. CC -> (A.k e. (ZZ>` M)((F` k) e. CC /\ (G` k) = (C - (F` k))) -> A.k e. (ZZ>` M)(((ZZ X. {C})` k) e. CC /\ (F` k) e. CC /\ (G` k) = (((ZZ X. {C})` k) - (F` k)))))
29	28	imp 350	. . . 4 |- ((C e. CC /\ A.k e. (ZZ>` M)((F` k) e. CC /\ (G` k) = (C - (F` k)))) -> A.k e. (ZZ>` M)(((ZZ X. {C})` k) e. CC /\ (F` k) e. CC /\ (G` k) = (((ZZ X. {C})` k) - (F` k))))
30	29	ad2ant2l 408	. . 3 |- (((F ~~> A /\ C e. CC) /\ (M e. ZZ /\ A.k e. (ZZ>` M)((F` k) e. CC /\ (G` k) = (C - (F` k))))) -> A.k e. (ZZ>` M)(((ZZ X. {C})` k) e. CC /\ (F` k) e. CC /\ (G` k) = (((ZZ X. {C})` k) - (F` k))))
31	13, 30	jca 288	. 2 |- (((F ~~> A /\ C e. CC) /\ (M e. ZZ /\ A.k e. (ZZ>` M)((F` k) e. CC /\ (G` k) = (C - (F` k))))) -> (M e. ZZ /\ A.k e. (ZZ>` M)(((ZZ X. {C})` k) e. CC /\ (F` k) e. CC /\ (G` k) = (((ZZ X. {C})` k) - (F` k)))))
32	8, 12, 31	sylanc 471	1 |- (((F ~~> A /\ C e. CC) /\ (M e. ZZ /\ A.k e. (ZZ>` M)((F` k) e. CC /\ (G` k) = (C - (F` k))))) -> G ~~> (C - A))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 955   e. wcel 957  A.wral 1643  Vcvv 1808  {csn 2406   class class class wbr 2615   X. cxp 3164  ` cfv 3178  (class class class)co 3958  CCcc 5215   - cmin 5275  ZZcz 5281  ZZ>cuz 6362   ~~> cli 6927

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-nel 1586  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-en 4360  df-dom 4361  df-sdom 4362  df-sup 4557  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-mp 5072  df-ltp 5073  df-plpr 5147  df-mpr 5148  df-enr 5149  df-nr 5150  df-plr 5151  df-mr 5152  df-ltr 5153  df-0r 5154  df-1r 5155  df-m1r 5156  df-c 5223  df-0 5224  df-1 5225  df-i 5226  df-r 5227  df-plus 5228  df-mul 5229  df-lt 5230  df-sub 5339  df-neg 5341  df-pnf 5470  df-mnf 5471  df-xr 5472  df-ltxr 5473  df-le 5474  df-div 5682  df-n 5883  df-2 5927  df-n0 6057  df-z 6093  df-seq1 6258  df-uz 6363  df-exp 6514  df-sqr 6615  df-re 6697  df-im 6698  df-cj 6699  df-abs 6700  df-clim 6928

Copyright terms: Public domain