Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climsup Unicode version

Theorem climsup 12446
 Description: A bounded monotonic sequence converges to the supremum of its range. Theorem 12-5.1 of [Gleason] p. 180. (Contributed by NM, 13-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climsup.1
climsup.2
climsup.3
climsup.4
climsup.5
Assertion
Ref Expression
climsup
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   (,)

Proof of Theorem climsup
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climsup.3 . . . . . . . . . 10
2 frn 5583 . . . . . . . . . 10
31, 2syl 16 . . . . . . . . 9
4 ffn 5577 . . . . . . . . . . . 12
51, 4syl 16 . . . . . . . . . . 11
6 climsup.2 . . . . . . . . . . . . 13
7 uzid 10484 . . . . . . . . . . . . 13
86, 7syl 16 . . . . . . . . . . . 12
9 climsup.1 . . . . . . . . . . . 12
108, 9syl6eleqr 2521 . . . . . . . . . . 11
11 fnfvelrn 5853 . . . . . . . . . . 11
125, 10, 11syl2anc 643 . . . . . . . . . 10
13 ne0i 3621 . . . . . . . . . 10
1412, 13syl 16 . . . . . . . . 9
15 climsup.5 . . . . . . . . . 10
16 breq1 4202 . . . . . . . . . . . . 13
1716ralrn 5859 . . . . . . . . . . . 12
1817rexbidv 2713 . . . . . . . . . . 11
195, 18syl 16 . . . . . . . . . 10
2015, 19mpbird 224 . . . . . . . . 9
213, 14, 203jca 1134 . . . . . . . 8
22 suprcl 9952 . . . . . . . 8
2321, 22syl 16 . . . . . . 7
24 ltsubrp 10627 . . . . . . 7
2523, 24sylan 458 . . . . . 6
2621adantr 452 . . . . . . 7
27 rpre 10602 . . . . . . . 8
28 resubcl 9349 . . . . . . . 8
2923, 27, 28syl2an 464 . . . . . . 7
30 suprlub 9954 . . . . . . 7
3126, 29, 30syl2anc 643 . . . . . 6
3225, 31mpbid 202 . . . . 5
33 breq2 4203 . . . . . . . 8
3433rexrn 5858 . . . . . . 7
355, 34syl 16 . . . . . 6
3635biimpa 471 . . . . 5
3732, 36syldan 457 . . . 4
38 ffvelrn 5854 . . . . . . . . . . . 12
391, 38sylan 458 . . . . . . . . . . 11
4039ad2ant2r 728 . . . . . . . . . 10
411adantr 452 . . . . . . . . . . 11
429uztrn2 10487 . . . . . . . . . . 11
43 ffvelrn 5854 . . . . . . . . . . 11
4441, 42, 43syl2an 464 . . . . . . . . . 10
4523ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10
46 simprr 734 . . . . . . . . . . 11
47 fzssuz 11077 . . . . . . . . . . . . . 14
48 uzss 10490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4948, 9syl6sseqr 3382 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5049, 9eleq2s 2522 . . . . . . . . . . . . . . 15
5150ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . 14
5247, 51syl5ss 3346 . . . . . . . . . . . . 13
53 ffvelrn 5854 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5453ralrimiva 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15
551, 54syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
5655ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13
57 ssralv 3394 . . . . . . . . . . . . 13
5852, 56, 57sylc 58 . . . . . . . . . . . 12
5958r19.21bi 2791 . . . . . . . . . . 11
60 fzssuz 11077 . . . . . . . . . . . . . 14
6160, 51syl5ss 3346 . . . . . . . . . . . . 13
6261sselda 3335 . . . . . . . . . . . 12
63 climsup.4 . . . . . . . . . . . . . . 15
6463ralrimiva 2776 . . . . . . . . . . . . . 14
6564ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13
66 fveq2 5714 . . . . . . . . . . . . . . 15
67 oveq1 6074 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6867fveq2d 5718 . . . . . . . . . . . . . . 15
6966, 68breq12d 4212 . . . . . . . . . . . . . 14
7069rspccva 3038 . . . . . . . . . . . . 13
7165, 70sylan 458 . . . . . . . . . . . 12
7262, 71syldan 457 . . . . . . . . . . 11
7346, 59, 72monoord 11336 . . . . . . . . . 10
7440, 44, 45, 73lesub2dd 9627 . . . . . . . . 9
7545, 44resubcld 9449 . . . . . . . . . 10
7645, 40resubcld 9449 . . . . . . . . . 10
7727ad2antlr 708 . . . . . . . . . 10
78 lelttr 9149 . . . . . . . . . 10
7975, 76, 77, 78syl3anc 1184 . . . . . . . . 9
8074, 79mpand 657 . . . . . . . 8
81 ltsub23 9492 . . . . . . . . 9
8245, 77, 40, 81syl3anc 1184 . . . . . . . 8
8321ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11
845adantr 452 . . . . . . . . . . . 12
85 fnfvelrn 5853 . . . . . . . . . . . 12
8684, 42, 85syl2an 464 . . . . . . . . . . 11
87 suprub 9953 . . . . . . . . . . 11
8883, 86, 87syl2anc 643 . . . . . . . . . 10
8944, 45, 88abssuble0d 12218 . . . . . . . . 9
9089breq1d 4209 . . . . . . . 8
9180, 82, 903imtr4d 260 . . . . . . 7
9291anassrs 630 . . . . . 6
9392ralrimdva 2783 . . . . 5
9493reximdva 2805 . . . 4
9537, 94mpd 15 . . 3
9695ralrimiva 2776 . 2
97 fvex 5728 . . . . 5
989, 97eqeltri 2500 . . . 4
99 fex 5955 . . . 4
1001, 98, 99sylancl 644 . . 3
101 eqidd 2431 . . 3
10223recnd 9098 . . 3
1031, 43sylan 458 . . . 4
104103recnd 9098 . . 3
1059, 6, 100, 101, 102, 104clim2c 12282 . 2
10696, 105mpbird 224 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   wne 2593  wral 2692  wrex 2693  cvv 2943   wss 3307  c0 3615   class class class wbr 4199   crn 4865   wfn 5435  wf 5436  cfv 5440  (class class class)co 6067  csup 7431  cr 8973  c1 8975   caddc 8977   clt 9104   cle 9105   cmin 9275  cz 10266  cuz 10472  crp 10596  cfz 11027  cabs 12022   cli 12261 This theorem is referenced by:  isumsup2  12609  climcnds  12614  itg1climres  19589  itg2monolem1  19625  itg2i1fseq  19630  itg2i1fseq2  19631  emcllem6  20822  lmdvg  24321  esumpcvgval  24451 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2411  ax-rep 4307  ax-sep 4317  ax-nul 4325  ax-pow 4364  ax-pr 4390  ax-un 4687  ax-cnex 9030  ax-resscn 9031  ax-1cn 9032  ax-icn 9033  ax-addcl 9034  ax-addrcl 9035  ax-mulcl 9036  ax-mulrcl 9037  ax-mulcom 9038  ax-addass 9039  ax-mulass 9040  ax-distr 9041  ax-i2m1 9042  ax-1ne0 9043  ax-1rid 9044  ax-rnegex 9045  ax-rrecex 9046  ax-cnre 9047  ax-pre-lttri 9048  ax-pre-lttrn 9049  ax-pre-ltadd 9050  ax-pre-mulgt0 9051  ax-pre-sup 9052 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2417  df-cleq 2423  df-clel 2426  df-nfc 2555  df-ne 2595  df-nel 2596  df-ral 2697  df-rex 2698  df-reu 2699  df-rmo 2700  df-rab 2701  df-v 2945  df-sbc 3149  df-csb 3239  df-dif 3310  df-un 3312  df-in 3314  df-ss 3321  df-pss 3323  df-nul 3616  df-if 3727  df-pw 3788  df-sn 3807  df-pr 3808  df-tp 3809  df-op 3810  df-uni 4003  df-iun 4082  df-br 4200  df-opab 4254  df-mpt 4255  df-tr 4290  df-eprel 4481  df-id 4485  df-po 4490  df-so 4491  df-fr 4528  df-we 4530  df-ord 4571  df-on 4572  df-lim 4573  df-suc 4574  df-om 4832  df-xp 4870  df-rel 4871  df-cnv 4872  df-co 4873  df-dm 4874  df-rn 4875  df-res 4876  df-ima 4877  df-iota 5404  df-fun 5442  df-fn 5443  df-f 5444  df-f1 5445  df-fo 5446  df-f1o 5447  df-fv 5448  df-ov 6070  df-oprab 6071  df-mpt2 6072  df-1st 6335  df-2nd 6336  df-riota 6535  df-recs 6619  df-rdg 6654  df-er 6891  df-en 7096  df-dom 7097  df-sdom 7098  df-sup 7432  df-pnf 9106  df-mnf 9107  df-xr 9108  df-ltxr 9109  df-le 9110  df-sub 9277  df-neg 9278  df-div 9662  df-nn 9985  df-2 10042  df-3 10043  df-n0 10206  df-z 10267  df-uz 10473  df-rp 10597  df-fz 11028  df-seq 11307  df-exp 11366  df-cj 11887  df-re 11888  df-im 11889  df-sqr 12023  df-abs 12024  df-clim 12265
 Copyright terms: Public domain W3C validator