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Theorem climuni 12273
Description: An infinite sequence of complex numbers converges to at most one limit. (Contributed by NM, 2-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
climuni  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  B )  ->  A  =  B )

Proof of Theorem climuni
Dummy variables  j 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1z 10243 . 2  |-  1  e.  ZZ
2 nnuz 10453 . . . . . . 7  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
31a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  B  /\  A  =/=  B
)  ->  1  e.  ZZ )
4 climcl 12220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  ~~>  A  ->  A  e.  CC )
543ad2ant1 978 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  B  /\  A  =/=  B
)  ->  A  e.  CC )
6 climcl 12220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  ~~>  B  ->  B  e.  CC )
763ad2ant2 979 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  B  /\  A  =/=  B
)  ->  B  e.  CC )
85, 7subcld 9343 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  B  /\  A  =/=  B
)  ->  ( A  -  B )  e.  CC )
9 simp3 959 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  B  /\  A  =/=  B
)  ->  A  =/=  B )
105, 7, 9subne0d 9352 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  B  /\  A  =/=  B
)  ->  ( A  -  B )  =/=  0
)
118, 10absrpcld 12177 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  B  /\  A  =/=  B
)  ->  ( abs `  ( A  -  B
) )  e.  RR+ )
1211rphalfcld 10592 . . . . . . 7  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  B  /\  A  =/=  B
)  ->  ( ( abs `  ( A  -  B ) )  / 
2 )  e.  RR+ )
13 eqidd 2388 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  ~~>  A  /\  F 
~~>  B  /\  A  =/= 
B )  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
14 simp1 957 . . . . . . 7  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  B  /\  A  =/=  B
)  ->  F  ~~>  A )
152, 3, 12, 13, 14climi 12231 . . . . . 6  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  B  /\  A  =/=  B
)  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  ( ( abs `  ( A  -  B ) )  /  2 ) ) )
16 simp2 958 . . . . . . 7  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  B  /\  A  =/=  B
)  ->  F  ~~>  B )
172, 3, 12, 13, 16climi 12231 . . . . . 6  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  B  /\  A  =/=  B
)  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( A  -  B ) )  /  2 ) ) )
182rexanuz2 12080 . . . . . 6  |-  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A ) )  <  ( ( abs `  ( A  -  B
) )  /  2
) )  /\  (
( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( A  -  B
) )  /  2
) ) )  <->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  ( ( abs `  ( A  -  B ) )  /  2 ) )  /\  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( A  -  B ) )  /  2 ) ) ) )
1915, 17, 18sylanbrc 646 . . . . 5  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  B  /\  A  =/=  B
)  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) )  /\  ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) ) ) )
20 nnz 10235 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  ZZ )
21 uzid 10432 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ZZ  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
22 ne0i 3577 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( ZZ>= `  j )  =/=  (/) )
2320, 21, 223syl 19 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  ( ZZ>=
`  j )  =/=  (/) )
24 r19.2z 3660 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ZZ>= `  j )  =/=  (/)  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) )  /\  ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) ) ) )  ->  E. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  ( ( abs `  ( A  -  B ) )  /  2 ) )  /\  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  B
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) ) ) )
2524ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ZZ>= `  j )  =/=  (/)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) )  /\  ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) ) )  ->  E. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) )  /\  ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) ) ) ) )
2623, 25syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  ( ( abs `  ( A  -  B ) )  /  2 ) )  /\  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  B
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) ) )  ->  E. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) )  /\  ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) ) ) ) )
27 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
28 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
2927, 28abssubd 12182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  =  ( abs `  ( A  -  ( F `  k )
) ) )
3029breq1d 4163 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  k )  -  A
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 )  <-> 
( abs `  ( A  -  ( F `  k ) ) )  <  ( ( abs `  ( A  -  B
) )  /  2
) ) )
31 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
32 subcl 9237 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  -  B
)  e.  CC )
3332adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( A  -  B )  e.  CC )
3433abscld 12165 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  e.  RR )
35 abs3lem 12069 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( A  -  B
) )  e.  RR ) )  ->  (
( ( abs `  ( A  -  ( F `  k ) ) )  <  ( ( abs `  ( A  -  B
) )  /  2
)  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  B
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) )  ->  ( abs `  ( A  -  B
) )  <  ( abs `  ( A  -  B ) ) ) )
3628, 31, 27, 34, 35syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( ( ( abs `  ( A  -  ( F `  k ) ) )  <  ( ( abs `  ( A  -  B
) )  /  2
)  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  B
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) )  ->  ( abs `  ( A  -  B
) )  <  ( abs `  ( A  -  B ) ) ) )
3734ltnrd 9139 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  -.  ( abs `  ( A  -  B
) )  <  ( abs `  ( A  -  B ) ) )
3837pm2.21d 100 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( ( abs `  ( A  -  B
) )  <  ( abs `  ( A  -  B ) )  ->  -.  1  e.  ZZ ) )
3936, 38syld 42 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( ( ( abs `  ( A  -  ( F `  k ) ) )  <  ( ( abs `  ( A  -  B
) )  /  2
)  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  B
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) )  ->  -.  1  e.  ZZ ) )
4039exp3a 426 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( ( abs `  ( A  -  ( F `  k )
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  k )  -  B
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 )  ->  -.  1  e.  ZZ ) ) )
4130, 40sylbid 207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  k )  -  A
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  k )  -  B
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 )  ->  -.  1  e.  ZZ ) ) )
4241impr 603 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) ) )  ->  (
( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( A  -  B ) )  /  2 )  ->  -.  1  e.  ZZ ) )
4342adantld 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) ) )  ->  (
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( A  -  B ) )  /  2 ) )  ->  -.  1  e.  ZZ ) )
4443expimpd 587 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  A ) )  < 
( ( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) )  /\  ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) ) )  ->  -.  1  e.  ZZ )
)
4544rexlimdvw 2776 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( E. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) )  /\  ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) ) )  ->  -.  1  e.  ZZ )
)
4626, 45sylan9r 640 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  j  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) )  /\  ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) ) )  ->  -.  1  e.  ZZ )
)
4746rexlimdva 2773 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) )  /\  ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) ) )  ->  -.  1  e.  ZZ )
)
485, 7, 47syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  B  /\  A  =/=  B
)  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) )  /\  ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) ) )  ->  -.  1  e.  ZZ )
)
4919, 48mpd 15 . . . 4  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  B  /\  A  =/=  B
)  ->  -.  1  e.  ZZ )
50493expia 1155 . . 3  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  B )  ->  ( A  =/=  B  ->  -.  1  e.  ZZ )
)
5150necon4ad 2611 . 2  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  B )  ->  (
1  e.  ZZ  ->  A  =  B ) )
521, 51mpi 17 1  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  B )  ->  A  =  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2550   A.wral 2649   E.wrex 2650   (/)c0 3571   class class class wbr 4153   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   CCcc 8921   RRcr 8922   1c1 8924    < clt 9053    - cmin 9223    / cdiv 9609   NNcn 9932   2c2 9981   ZZcz 10214   ZZ>=cuz 10420   abscabs 11966    ~~> cli 12205
This theorem is referenced by:  fclim  12274  climeu  12276  summolem2  12437  summo  12438  ef0  12620  efcj  12621  efaddlem  12622  ioombl1lem4  19322  mbflimlem  19426  itg2i1fseq  19514  itg2addlem  19517  plyeq0lem  19996  ulmuni  20175  leibpi  20649  lgamp1  24620  lgam1  24627  prodmolem2  25040  prodmo  25041  stirlinglem15  27505
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-sup 7381  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-rp 10545  df-seq 11251  df-exp 11310  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-abs 11968  df-clim 12209
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