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Theorem climuni 12022
Description: An infinite sequence of complex numbers converges to at most one limit. (Contributed by NM, 2-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
climuni  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  B )  ->  A  =  B )

Proof of Theorem climuni
Dummy variables  j 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1z 10049 . 2  |-  1  e.  ZZ
2 nnuz 10259 . . . . . . 7  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
31a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  B  /\  A  =/=  B
)  ->  1  e.  ZZ )
4 climcl 11969 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  ~~>  A  ->  A  e.  CC )
543ad2ant1 976 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  B  /\  A  =/=  B
)  ->  A  e.  CC )
6 climcl 11969 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  ~~>  B  ->  B  e.  CC )
763ad2ant2 977 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  B  /\  A  =/=  B
)  ->  B  e.  CC )
85, 7subcld 9153 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  B  /\  A  =/=  B
)  ->  ( A  -  B )  e.  CC )
9 simp3 957 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  B  /\  A  =/=  B
)  ->  A  =/=  B )
10 subeq0 9069 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  -  B )  =  0  <-> 
A  =  B ) )
115, 7, 10syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  B  /\  A  =/=  B
)  ->  ( ( A  -  B )  =  0  <->  A  =  B ) )
1211necon3bid 2482 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  B  /\  A  =/=  B
)  ->  ( ( A  -  B )  =/=  0  <->  A  =/=  B
) )
139, 12mpbird 223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  B  /\  A  =/=  B
)  ->  ( A  -  B )  =/=  0
)
148, 13absrpcld 11926 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  B  /\  A  =/=  B
)  ->  ( abs `  ( A  -  B
) )  e.  RR+ )
1514rphalfcld 10398 . . . . . . 7  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  B  /\  A  =/=  B
)  ->  ( ( abs `  ( A  -  B ) )  / 
2 )  e.  RR+ )
16 eqidd 2285 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  ~~>  A  /\  F 
~~>  B  /\  A  =/= 
B )  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
17 simp1 955 . . . . . . 7  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  B  /\  A  =/=  B
)  ->  F  ~~>  A )
182, 3, 15, 16, 17climi 11980 . . . . . 6  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  B  /\  A  =/=  B
)  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  ( ( abs `  ( A  -  B ) )  /  2 ) ) )
19 simp2 956 . . . . . . 7  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  B  /\  A  =/=  B
)  ->  F  ~~>  B )
202, 3, 15, 16, 19climi 11980 . . . . . 6  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  B  /\  A  =/=  B
)  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( A  -  B ) )  /  2 ) ) )
212rexanuz2 11829 . . . . . 6  |-  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A ) )  <  ( ( abs `  ( A  -  B
) )  /  2
) )  /\  (
( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( A  -  B
) )  /  2
) ) )  <->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  ( ( abs `  ( A  -  B ) )  /  2 ) )  /\  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( A  -  B ) )  /  2 ) ) ) )
2218, 20, 21sylanbrc 645 . . . . 5  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  B  /\  A  =/=  B
)  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) )  /\  ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) ) ) )
23 nnz 10041 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  ZZ )
24 uzid 10238 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ZZ  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
25 ne0i 3462 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( ZZ>= `  j )  =/=  (/) )
2623, 24, 253syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  ( ZZ>=
`  j )  =/=  (/) )
27 r19.2z 3544 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ZZ>= `  j )  =/=  (/)  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) )  /\  ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) ) ) )  ->  E. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  ( ( abs `  ( A  -  B ) )  /  2 ) )  /\  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  B
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) ) ) )
2827ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ZZ>= `  j )  =/=  (/)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) )  /\  ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) ) )  ->  E. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) )  /\  ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) ) ) ) )
2926, 28syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  ( ( abs `  ( A  -  B ) )  /  2 ) )  /\  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  B
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) ) )  ->  E. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) )  /\  ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) ) ) ) )
30 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
31 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
3230, 31abssubd 11931 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  =  ( abs `  ( A  -  ( F `  k )
) ) )
3332breq1d 4034 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  k )  -  A
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 )  <-> 
( abs `  ( A  -  ( F `  k ) ) )  <  ( ( abs `  ( A  -  B
) )  /  2
) ) )
34 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
35 subcl 9047 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  -  B
)  e.  CC )
3635adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( A  -  B )  e.  CC )
3736abscld 11914 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  e.  RR )
38 abs3lem 11818 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( A  -  B
) )  e.  RR ) )  ->  (
( ( abs `  ( A  -  ( F `  k ) ) )  <  ( ( abs `  ( A  -  B
) )  /  2
)  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  B
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) )  ->  ( abs `  ( A  -  B
) )  <  ( abs `  ( A  -  B ) ) ) )
3931, 34, 30, 37, 38syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( ( ( abs `  ( A  -  ( F `  k ) ) )  <  ( ( abs `  ( A  -  B
) )  /  2
)  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  B
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) )  ->  ( abs `  ( A  -  B
) )  <  ( abs `  ( A  -  B ) ) ) )
4037ltnrd 8949 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  -.  ( abs `  ( A  -  B
) )  <  ( abs `  ( A  -  B ) ) )
4140pm2.21d 98 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( ( abs `  ( A  -  B
) )  <  ( abs `  ( A  -  B ) )  ->  -.  1  e.  ZZ ) )
4239, 41syld 40 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( ( ( abs `  ( A  -  ( F `  k ) ) )  <  ( ( abs `  ( A  -  B
) )  /  2
)  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  B
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) )  ->  -.  1  e.  ZZ ) )
4342exp3a 425 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( ( abs `  ( A  -  ( F `  k )
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  k )  -  B
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 )  ->  -.  1  e.  ZZ ) ) )
4433, 43sylbid 206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  k )  -  A
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  k )  -  B
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 )  ->  -.  1  e.  ZZ ) ) )
4544impr 602 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) ) )  ->  (
( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( A  -  B ) )  /  2 )  ->  -.  1  e.  ZZ ) )
4645adantld 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) ) )  ->  (
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( A  -  B ) )  /  2 ) )  ->  -.  1  e.  ZZ ) )
4746expimpd 586 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  A ) )  < 
( ( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) )  /\  ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) ) )  ->  -.  1  e.  ZZ )
)
4847rexlimdvw 2671 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( E. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) )  /\  ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) ) )  ->  -.  1  e.  ZZ )
)
4929, 48sylan9r 639 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  j  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) )  /\  ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) ) )  ->  -.  1  e.  ZZ )
)
5049rexlimdva 2668 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) )  /\  ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) ) )  ->  -.  1  e.  ZZ )
)
515, 7, 50syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  B  /\  A  =/=  B
)  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) )  /\  ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) ) )  ->  -.  1  e.  ZZ )
)
5222, 51mpd 14 . . . 4  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  B  /\  A  =/=  B
)  ->  -.  1  e.  ZZ )
53523expia 1153 . . 3  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  B )  ->  ( A  =/=  B  ->  -.  1  e.  ZZ )
)
5453necon4ad 2508 . 2  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  B )  ->  (
1  e.  ZZ  ->  A  =  B ) )
551, 54mpi 16 1  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  B )  ->  A  =  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1685    =/= wne 2447   A.wral 2544   E.wrex 2545   (/)c0 3456   class class class wbr 4024   ` cfv 5221  (class class class)co 5820   CCcc 8731   RRcr 8732   0cc0 8733   1c1 8734    < clt 8863    - cmin 9033    / cdiv 9419   NNcn 9742   2c2 9791   ZZcz 10020   ZZ>=cuz 10226   abscabs 11715    ~~> cli 11954
This theorem is referenced by:  fclim  12023  climeu  12025  summolem2  12185  summo  12186  ef0  12368  efcj  12369  efaddlem  12370  ioombl1lem4  18914  mbflimlem  19018  itg2i1fseq  19106  itg2addlem  19109  plyeq0lem  19588  leibpi  20234  stirlinglem15  27248
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810  ax-pre-sup 8811
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-2nd 6085  df-iota 6253  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-er 6656  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-sup 7190  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-div 9420  df-nn 9743  df-2 9800  df-3 9801  df-n0 9962  df-z 10021  df-uz 10227  df-rp 10351  df-seq 11043  df-exp 11101  df-cj 11580  df-re 11581  df-im 11582  df-sqr 11716  df-abs 11717  df-clim 11958
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