HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem climunii 7301
Description: An infinite sequence of complex numbers converges to at most one limit.
Hypotheses
Ref Expression
climuni.1 |- A e. V
climuni.2 |- B e. V
climunii.3 |- (F ~~> A /\ F ~~> B)
Assertion
Ref Expression
climunii |- A = B
Proof of Theorem climunii
StepHypRef Expression
1 z2ge 6359 . . . . 5 |- ((k e. ZZ /\ m e. ZZ) -> E.j e. ZZ (k <_ j /\ m <_ j))
21rgen2a 1745 . . . 4 |- A.k e. ZZ A.m e. ZZ E.j e. ZZ (k <_ j /\ m <_ j)
3 climuni.1 . . . . . . . . 9 |- A e. V
4 climunii.3 . . . . . . . . . 10 |- (F ~~> A /\ F ~~> B)
54pm3.26i 318 . . . . . . . . 9 |- F ~~> A
6 climcl 7181 . . . . . . . . 9 |- ((A e. V /\ F ~~> A) -> A e. CC)
73, 5, 6mp2an 701 . . . . . . . 8 |- A e. CC
8 climuni.2 . . . . . . . . 9 |- B e. V
94pm3.27i 322 . . . . . . . . 9 |- F ~~> B
10 climcl 7181 . . . . . . . . 9 |- ((B e. V /\ F ~~> B) -> B e. CC)
118, 9, 10mp2an 701 . . . . . . . 8 |- B e. CC
127, 11subcli 5520 . . . . . . 7 |- (A - B) e. CC
1312abscli 7041 . . . . . 6 |- (abs` (A - B)) e. RR
14 2re 6125 . . . . . 6 |- 2 e. RR
15 2pos 6135 . . . . . 6 |- 0 < 2
1613, 14, 15divgt0i2i 6003 . . . . 5 |- (0 < (abs` (A - B)) -> 0 < ((abs` (A - B)) / 2))
17 2ne0 6136 . . . . . . . 8 |- 2 =/= 0
1813, 14, 17redivcli 5938 . . . . . . 7 |- ((abs` (A - B)) / 2) e. RR
19 0z 6314 . . . . . . . . 9 |- 0 e. ZZ
20 uzssz 6557 . . . . . . . . 9 |- (ZZ>=` 0) (_ ZZ
21 ssid 2132 . . . . . . . . 9 |- ZZ (_ ZZ
2219, 20, 21clmi1i 7289 . . . . . . . 8 |- (((A e. V /\ F ~~> A) /\ (((abs` (A - B)) / 2) e. RR /\ 0 < ((abs` (A - B)) / 2))) -> E.k e. ZZ A.j e. ZZ (k <_ j -> ((F` j) e. CC /\ (abs` ((F` j) - A)) < ((abs` (A - B)) / 2))))
233, 5, 22mpanl12 712 . . . . . . 7 |- ((((abs` (A - B)) / 2) e. RR /\ 0 < ((abs` (A - B)) / 2)) -> E.k e. ZZ A.j e. ZZ (k <_ j -> ((F` j) e. CC /\ (abs` ((F` j) - A)) < ((abs` (A - B)) / 2))))
2418, 23mpan 699 . . . . . 6 |- (0 < ((abs` (A - B)) / 2) -> E.k e. ZZ A.j e. ZZ (k <_ j -> ((F` j) e. CC /\ (abs` ((F` j) - A)) < ((abs` (A - B)) / 2))))
2519, 20, 21clmi1i 7289 . . . . . . . 8 |- (((B e. V /\ F ~~> B) /\ (((abs` (A - B)) / 2) e. RR /\ 0 < ((abs` (A - B)) / 2))) -> E.m e. ZZ A.j e. ZZ (m <_ j -> ((F` j) e. CC /\ (abs` ((F` j) - B)) < ((abs` (A - B)) / 2))))
268, 9, 25mpanl12 712 . . . . . . 7 |- ((((abs` (A - B)) / 2) e. RR /\ 0 < ((abs` (A - B)) / 2)) -> E.m e. ZZ A.j e. ZZ (m <_ j -> ((F` j) e. CC /\ (abs` ((F` j) - B)) < ((abs` (A - B)) / 2))))
2718, 26mpan 699 . . . . . 6 |- (0 < ((abs` (A - B)) / 2) -> E.m e. ZZ A.j e. ZZ (m <_ j -> ((F` j) e. CC /\ (abs` ((F` j) - B)) < ((abs` (A - B)) / 2))))
2824, 27jca 286 . . . . 5 |- (0 < ((abs` (A - B)) / 2) -> (E.k e. ZZ A.j e. ZZ (k <_ j -> ((F` j) e. CC /\ (abs` ((F` j) - A)) < ((abs` (A - B)) / 2))) /\ E.m e. ZZ A.j e. ZZ (m <_ j -> ((F` j) e. CC /\ (abs` ((F` j) - B)) < ((abs` (A - B)) / 2)))))
29 r19.26 1796 . . . . . . . . 9 |- (A.j e. ZZ ((k <_ j -> ((F` j) e. CC /\ (abs` ((F` j) - A)) < ((abs` (A - B)) / 2))) /\ (m <_ j -> ((F` j) e. CC /\ (abs` ((F` j) - B)) < ((abs` (A - B)) / 2)))) <-> (A.j e. ZZ (k <_ j -> ((F` j) e. CC /\ (abs` ((F` j) - A)) < ((abs` (A - B)) / 2))) /\ A.j e. ZZ (m <_ j -> ((F` j) e. CC /\ (abs` ((F` j) - B)) < ((abs` (A - B)) / 2)))))
3013ltnri 5763 . . . . . . . . . . . 12 |- -. (abs` (A - B)) < (abs` (A - B))
31 anandi 513 . . . . . . . . . . . . 13 |- (((F` j) e. CC /\ ((abs` ((F` j) - A)) < ((abs` (A - B)) / 2) /\ (abs` ((F` j) - B)) < ((abs` (A - B)) / 2))) <-> (((F` j) e. CC /\ (abs` ((F` j) - A)) < ((abs` (A - B)) / 2)) /\ ((F` j) e. CC /\ (abs` ((F` j) - B)) < ((abs` (A - B)) / 2))))
32 abssub 7097 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((F` j) e. CC /\ A e. CC) -> (abs` ((F` j) - A)) = (abs` (A - (F` j))))
337, 32mpan2 700 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((F` j) e. CC -> (abs` ((F` j) - A)) = (abs` (A - (F` j))))
3433breq1d 2702 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((F` j) e. CC -> ((abs` ((F` j) - A)) < ((abs` (A - B)) / 2) <-> (abs` (A - (F` j))) < ((abs` (A - B)) / 2)))
3534anbi1d 620 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((F` j) e. CC -> (((abs` ((F` j) - A)) < ((abs` (A - B)) / 2) /\ (abs` ((F` j) - B)) < ((abs` (A - B)) / 2)) <-> ((abs` (A - (F` j))) < ((abs` (A - B)) / 2) /\ (abs` ((F` j) - B)) < ((abs` (A - B)) / 2))))
36 abs3lem 7110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((A e. CC /\ B e. CC) /\ ((F` j) e. CC /\ (abs` (A - B)) e. RR)) -> (((abs` (A - (F` j))) < ((abs` (A - B)) / 2) /\ (abs` ((F` j) - B)) < ((abs` (A - B)) / 2)) -> (abs` (A - B)) < (abs` (A - B))))
377, 11, 36mpanl12 712 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((F` j) e. CC /\ (abs` (A - B)) e. RR) -> (((abs` (A - (F` j))) < ((abs` (A - B)) / 2) /\ (abs` ((F` j) - B)) < ((abs` (A - B)) / 2)) -> (abs` (A - B)) < (abs` (A - B))))
3813, 37mpan2 700 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((F` j) e. CC -> (((abs` (A - (F` j))) < ((abs` (A - B)) / 2) /\ (abs` ((F` j) - B)) < ((abs` (A - B)) / 2)) -> (abs` (A - B)) < (abs` (A - B))))
3935, 38sylbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ((F` j) e. CC -> (((abs` ((F` j) - A)) < ((abs` (A - B)) / 2) /\ (abs` ((F` j) - B)) < ((abs` (A - B)) / 2)) -> (abs` (A - B)) < (abs` (A - B))))
4039imp 348 . . . . . . . . . . . . 13 |- (((F` j) e. CC /\ ((abs` ((F` j) - A)) < ((abs` (A - B)) / 2) /\ (abs` ((F` j) - B)) < ((abs` (A - B)) / 2))) -> (abs` (A - B)) < (abs` (A - B)))
4131, 40sylbir 199 . . . . . . . . . . . 12 |- ((((F` j) e. CC /\ (abs` ((F` j) - A)) < ((abs` (A - B)) / 2)) /\ ((F` j) e. CC /\ (abs` ((F` j) - B)) < ((abs` (A - B)) / 2))) -> (abs` (A - B)) < (abs` (A - B)))
4230, 41mto 105 . . . . . . . . . . 11 |- -. (((F` j) e. CC /\ (abs` ((F` j) - A)) < ((abs` (A - B)) / 2)) /\ ((F` j) e. CC /\ (abs` ((F` j) - B)) < ((abs` (A - B)) / 2)))
43 prth 559 . . . . . . . . . . 11 |- (((k <_ j -> ((F` j) e. CC /\ (abs` ((F` j) - A)) < ((abs` (A - B)) / 2))) /\ (m <_ j -> ((F` j) e. CC /\ (abs` ((F` j) - B)) < ((abs` (A - B)) / 2)))) -> ((k <_ j /\ m <_ j) -> (((F` j) e. CC /\ (abs` ((F` j) - A)) < ((abs` (A - B)) / 2)) /\ ((F` j) e. CC /\ (abs` ((F` j) - B)) < ((abs` (A - B)) / 2)))))
4442, 43mtoi 106 . . . . . . . . . 10 |- (((k <_ j -> ((F` j) e. CC /\ (abs` ((F` j) - A)) < ((abs` (A - B)) / 2))) /\ (m <_ j -> ((F` j) e. CC /\ (abs` ((F` j) - B)) < ((abs` (A - B)) / 2)))) -> -. (k <_ j /\ m <_ j))
4544r19.20si 1752 . . . . . . . . 9 |- (A.j e. ZZ ((k <_ j -> ((F` j) e. CC /\ (abs` ((F` j) - A)) < ((abs` (A - B)) / 2))) /\ (m <_ j -> ((F` j) e. CC /\ (abs` ((F` j) - B)) < ((abs` (A - B)) / 2)))) -> A.j e. ZZ -. (k <_ j /\ m <_ j))
4629, 45sylbir 199 . . . . . . . 8 |- ((A.j e. ZZ (k <_ j -> ((F` j) e. CC /\ (abs` ((F` j) - A)) < ((abs` (A - B)) / 2))) /\ A.j e. ZZ (m <_ j -> ((F` j) e. CC /\ (abs` ((F` j) - B)) < ((abs` (A - B)) / 2)))) -> A.j e. ZZ -. (k <_ j /\ m <_ j))
4746r19.22si 1780 . . . . . . 7 |- (E.m e. ZZ (A.j e. ZZ (k <_ j -> ((F` j) e. CC /\ (abs` ((F` j) - A)) < ((abs` (A - B)) / 2))) /\ A.j e. ZZ (m <_ j -> ((F` j) e. CC /\ (abs` ((F` j) - B)) < ((abs` (A - B)) / 2)))) -> E.m e. ZZ A.j e. ZZ -. (k <_ j /\ m <_ j))
4847r19.22si 1780 . . . . . 6 |- (E.k e. ZZ E.m e. ZZ (A.j e. ZZ (k <_ j -> ((F` j) e. CC /\ (abs` ((F` j) - A)) < ((abs` (A - B)) / 2))) /\ A.j e. ZZ (m <_ j -> ((F` j) e. CC /\ (abs` ((F` j) - B)) < ((abs` (A - B)) / 2)))) -> E.k e. ZZ E.m e. ZZ A.j e. ZZ -. (k <_ j /\ m <_ j))
49 reeanv 1824 . . . . . 6 |- (E.k e. ZZ E.m e. ZZ (A.j e. ZZ (k <_ j -> ((F` j) e. CC /\ (abs` ((F` j) - A)) < ((abs` (A - B)) / 2))) /\ A.j e. ZZ (m <_ j -> ((F` j) e. CC /\ (abs` ((F` j) - B)) < ((abs` (A - B)) / 2)))) <-> (E.k e. ZZ A.j e. ZZ (k <_ j -> ((F` j) e. CC /\ (abs` ((F` j) - A)) < ((abs` (A - B)) / 2))) /\ E.m e. ZZ A.j e. ZZ (m <_ j -> ((F` j) e. CC /\ (abs` ((F` j) - B)) < ((abs` (A - B)) / 2)))))
50 ralnex 1699 . . . . . . . . . 10 |- (A.j e. ZZ -. (k <_ j /\ m <_ j) <-> -. E.j e. ZZ (k <_ j /\ m <_ j))
5150rexbii 1714 . . . . . . . . 9 |- (E.m e. ZZ A.j e. ZZ -. (k <_ j /\ m <_ j) <-> E.m e. ZZ -. E.j e. ZZ (k <_ j /\ m <_ j))
52 rexnal 1700 . . . . . . . . 9 |- (E.m e. ZZ -. E.j e. ZZ (k <_ j /\ m <_ j) <-> -. A.m e. ZZ E.j e. ZZ (k <_ j /\ m <_ j))
5351, 52bitri 171 . . . . . . . 8 |- (E.m e. ZZ A.j e. ZZ -. (k <_ j /\ m <_ j) <-> -. A.m e. ZZ E.j e. ZZ (k <_ j /\ m <_ j))
5453rexbii 1714 . . . . . . 7 |- (E.k e. ZZ E.m e. ZZ A.j e. ZZ -. (k <_ j /\ m <_ j) <-> E.k e. ZZ -. A.m e. ZZ E.j e. ZZ (k <_ j /\ m <_ j))
55 rexnal 1700 . . . . . . 7 |- (E.k e. ZZ -. A.m e. ZZ E.j e. ZZ (k <_ j /\ m <_ j) <-> -. A.k e. ZZ A.m e. ZZ E.j e. ZZ (k <_ j /\ m <_ j))
5654, 55bitri 171 . . . . . 6 |- (E.k e. ZZ E.m e. ZZ A.j e. ZZ -. (k <_ j /\ m <_ j) <-> -. A.k e. ZZ A.m e. ZZ E.j e. ZZ (k <_ j /\ m <_ j))
5748, 49, 563imtr3i 216 . . . . 5 |- ((E.k e. ZZ A.j e. ZZ (k <_ j -> ((F` j) e. CC /\ (abs` ((F` j) - A)) < ((abs` (A - B)) / 2))) /\ E.m e. ZZ A.j e. ZZ (m <_ j -> ((F` j) e. CC /\ (abs` ((F` j) - B)) < ((abs` (A - B)) / 2)))) -> -. A.k e. ZZ A.m e. ZZ E.j e. ZZ (k <_ j /\ m <_ j))
5816, 28, 573syl 20 . . . 4 |- (0 < (abs` (A - B)) -> -. A.k e. ZZ A.m e. ZZ E.j e. ZZ (k <_ j /\ m <_ j))
592, 58mt2 108 . . 3 |- -. 0 < (abs` (A - B))
6012absgt0i 7045 . . . 4 |- ((A - B) =/= 0 <-> 0 < (abs` (A - B)))
6160necon1bbii 1661 . . 3 |- (-. 0 < (abs` (A - B)) <-> (A - B) = 0)
6259, 61mpbi 187 . 2 |- (A - B) = 0
637, 11subeq0i 5559 . 2 |- ((A - B) = 0 <-> A = B)
6462, 63mpbi 187 1 |- A = B
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 221   = wceq 992   e. wcel 994  A.wral 1691  E.wrex 1692  Vcvv 1857   class class class wbr 2692  ` cfv 3263  (class class class)co 4021  CCcc 5386  RRcr 5387  0cc0 5388   - cmin 5446   / cdiv 5448   <_ cle 5449  ZZcz 5452   < clt 5640  2c2 6107  abscabs 6951   ~~> cli 7177
This theorem is referenced by:  climuni 7302  cvgcmpubi 7389  ef0 7540  efaddlem28 7570
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089  ax-inf2 4770
This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-nel 1631  df-ral 1695  df-rex 1696  df-reu 1697  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-pss 2107  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-fv 3279  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4140  df-2nd 4141  df-rdg 4233  df-1o 4269  df-oadd 4271  df-omul 4272  df-er 4401  df-ec 4403  df-qs 4406  df-en 4509  df-dom 4510  df-sdom 4511  df-sup 4717  df-ni 5154  df-pli 5155  df-mi 5156  df-lti 5157  df-plpq 5189  df-mpq 5190  df-enq 5191  df-nq 5192  df-plq 5193  df-mq 5194  df-rq 5195  df-ltq 5196  df-1q 5197  df-np 5240  df-1p 5241  df-plp 5242  df-mp 5243  df-ltp 5244  df-plpr 5318  df-mpr 5319  df-enr 5320  df-nr 5321  df-plr 5322  df-mr 5323  df-ltr 5324  df-0r 5325  df-1r 5326  df-m1r 5327  df-c 5394  df-0 5395  df-1 5396  df-i 5397  df-r 5398  df-plus 5399  df-mul 5400  df-lt 5401  df-sub 5510  df-neg 5512  df-pnf 5641  df-mnf 5642  df-xr 5643  df-ltxr 5644  df-le 5645  df-div 5855  df-n 6070  df-2 6116  df-n0 6268  df-z 6304  df-uz 6545  df-seq1 6673  df-exp 6764  df-sqr 6871  df-re 6952  df-im 6953  df-cj 6954  df-abs 6955  df-clim 7178
Copyright terms: Public domain