Users' Mathboxes Mathbox for Paul Chapman < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climuzcnv Structured version   Unicode version

Theorem climuzcnv 25108
Description: Utility lemma to convert between  m  <_  k and  k  e.  ( ZZ>= `  m ) in limit theorems. (Contributed by Paul Chapman, 10-Nov-2012.)
Assertion
Ref Expression
climuzcnv  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( k  e.  (
ZZ>= `  m )  ->  ph )  <->  ( k  e.  NN  ->  ( m  <_  k  ->  ph ) ) ) )
Distinct variable group:    k, m
Allowed substitution hints:    ph( k, m)

Proof of Theorem climuzcnv
StepHypRef Expression
1 elnnuz 10522 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN  <->  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2 uztrn 10502 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
31, 2sylan2b 462 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  m  e.  NN )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
4 elnnuz 10522 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  <->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
53, 4sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  m  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
65expcom 425 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN  ->  (
k  e.  ( ZZ>= `  m )  ->  k  e.  NN ) )
7 eluzle 10498 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  m
)  ->  m  <_  k )
87a1i 11 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN  ->  (
k  e.  ( ZZ>= `  m )  ->  m  <_  k ) )
96, 8jcad 520 . . . 4  |-  ( m  e.  NN  ->  (
k  e.  ( ZZ>= `  m )  ->  (
k  e.  NN  /\  m  <_  k ) ) )
10 nnz 10303 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
11 nnz 10303 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  ZZ )
12 eluz2 10494 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  m
)  <->  ( m  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ  /\  m  <_ 
k ) )
1312biimpri 198 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ  /\  m  <_  k )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  m )
)
1411, 13syl3an1 1217 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  NN  /\  k  e.  ZZ  /\  m  <_  k )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  m )
)
1510, 14syl3an2 1218 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  NN  /\  k  e.  NN  /\  m  <_  k )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  m )
)
16153expib 1156 . . . 4  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( k  e.  NN  /\  m  <_  k )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  m ) ) )
179, 16impbid 184 . . 3  |-  ( m  e.  NN  ->  (
k  e.  ( ZZ>= `  m )  <->  ( k  e.  NN  /\  m  <_ 
k ) ) )
1817imbi1d 309 . 2  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( k  e.  (
ZZ>= `  m )  ->  ph )  <->  ( ( k  e.  NN  /\  m  <_  k )  ->  ph )
) )
19 impexp 434 . 2  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\  m  <_  k )  ->  ph )  <->  ( k  e.  NN  ->  ( m  <_  k  ->  ph ) ) )
2018, 19syl6bb 253 1  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( k  e.  (
ZZ>= `  m )  ->  ph )  <->  ( k  e.  NN  ->  ( m  <_  k  ->  ph ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    e. wcel 1725   class class class wbr 4212   ` cfv 5454   1c1 8991    <_ cle 9121   NNcn 10000   ZZcz 10282   ZZ>=cuz 10488
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-z 10283  df-uz 10489
  Copyright terms: Public domain W3C validator