Users' Mathboxes Mathbox for Paul Chapman < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climuzcnv Unicode version

Theorem climuzcnv 23376
Description: Utility lemma to convert between  m  <_  k and  k  e.  ( ZZ>= `  m ) in limit theorems. (Contributed by Paul Chapman, 10-Nov-2012.)
Assertion
Ref Expression
climuzcnv  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( k  e.  (
ZZ>= `  m )  ->  ph )  <->  ( k  e.  NN  ->  ( m  <_  k  ->  ph ) ) ) )
Distinct variable group:    k, m
Allowed substitution hints:    ph( k, m)

Proof of Theorem climuzcnv
StepHypRef Expression
1 elnnuz 10231 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN  <->  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2 uztrn 10211 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
31, 2sylan2b 463 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  m  e.  NN )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
4 elnnuz 10231 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  <->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
53, 4sylibr 205 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  m  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
65expcom 426 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN  ->  (
k  e.  ( ZZ>= `  m )  ->  k  e.  NN ) )
7 eluzle 10207 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  m
)  ->  m  <_  k )
87a1i 12 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN  ->  (
k  e.  ( ZZ>= `  m )  ->  m  <_  k ) )
96, 8jcad 521 . . . 4  |-  ( m  e.  NN  ->  (
k  e.  ( ZZ>= `  m )  ->  (
k  e.  NN  /\  m  <_  k ) ) )
10 nnz 10012 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
11 nnz 10012 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  ZZ )
12 eluz2 10203 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  m
)  <->  ( m  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ  /\  m  <_ 
k ) )
1312biimpri 199 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ  /\  m  <_  k )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  m )
)
1411, 13syl3an1 1220 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  NN  /\  k  e.  ZZ  /\  m  <_  k )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  m )
)
1510, 14syl3an2 1221 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  NN  /\  k  e.  NN  /\  m  <_  k )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  m )
)
16153expib 1159 . . . 4  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( k  e.  NN  /\  m  <_  k )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  m ) ) )
179, 16impbid 185 . . 3  |-  ( m  e.  NN  ->  (
k  e.  ( ZZ>= `  m )  <->  ( k  e.  NN  /\  m  <_ 
k ) ) )
1817imbi1d 310 . 2  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( k  e.  (
ZZ>= `  m )  ->  ph )  <->  ( ( k  e.  NN  /\  m  <_  k )  ->  ph )
) )
19 impexp 435 . 2  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\  m  <_  k )  ->  ph )  <->  ( k  e.  NN  ->  ( m  <_  k  ->  ph ) ) )
2018, 19syl6bb 254 1  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( k  e.  (
ZZ>= `  m )  ->  ph )  <->  ( k  e.  NN  ->  ( m  <_  k  ->  ph ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    e. wcel 1621   class class class wbr 3997   ` cfv 4673   1c1 8706    <_ cle 8836   NNcn 9714   ZZcz 9991   ZZ>=cuz 10197
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-iota 6225  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-er 6628  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-n 9715  df-z 9992  df-uz 10198
  Copyright terms: Public domain W3C validator