MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clm0vs Unicode version

Theorem clm0vs 18583
Description: Zero times a vector is the zero vector. Equation 1a of [Kreyszig] p. 51. (lmod0vs 15658 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
clm0vs.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
clm0vs.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
clm0vs.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
clm0vs.z  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
Assertion
Ref Expression
clm0vs  |-  ( ( W  e. CMod  /\  X  e.  V )  ->  (
0  .x.  X )  =  .0.  )

Proof of Theorem clm0vs
StepHypRef Expression
1 clm0vs.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  W )
21clm0 18565 . . . 4  |-  ( W  e. CMod  ->  0  =  ( 0g `  F ) )
32adantr 453 . . 3  |-  ( ( W  e. CMod  /\  X  e.  V )  ->  0  =  ( 0g `  F ) )
43oveq1d 5835 . 2  |-  ( ( W  e. CMod  /\  X  e.  V )  ->  (
0  .x.  X )  =  ( ( 0g
`  F )  .x.  X ) )
5 clmlmod 18560 . . 3  |-  ( W  e. CMod  ->  W  e.  LMod )
6 clm0vs.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
7 clm0vs.s . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  W )
8 eqid 2285 . . . 4  |-  ( 0g
`  F )  =  ( 0g `  F
)
9 clm0vs.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
106, 1, 7, 8, 9lmod0vs 15658 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  (
( 0g `  F
)  .x.  X )  =  .0.  )
115, 10sylan 459 . 2  |-  ( ( W  e. CMod  /\  X  e.  V )  ->  (
( 0g `  F
)  .x.  X )  =  .0.  )
124, 11eqtrd 2317 1  |-  ( ( W  e. CMod  /\  X  e.  V )  ->  (
0  .x.  X )  =  .0.  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1624    e. wcel 1685   ` cfv 5222  (class class class)co 5820   0cc0 8733   Basecbs 13143  Scalarcsca 13206   .scvsca 13207   0gc0g 13395   LModclmod 15622  CModcclm 18555
This theorem is referenced by:  clmmulg  18586
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810  ax-addf 8812  ax-mulf 8813
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5224  df-fn 5225  df-f 5226  df-f1 5227  df-fo 5228  df-f1o 5229  df-fv 5230  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-iota 6253  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-1o 6475  df-oadd 6479  df-er 6656  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-fin 6863  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-nn 9743  df-2 9800  df-3 9801  df-4 9802  df-5 9803  df-6 9804  df-7 9805  df-8 9806  df-9 9807  df-10 9808  df-n0 9962  df-z 10021  df-dec 10121  df-uz 10227  df-fz 10778  df-struct 13145  df-ndx 13146  df-slot 13147  df-base 13148  df-sets 13149  df-ress 13150  df-plusg 13216  df-mulr 13217  df-starv 13218  df-tset 13222  df-ple 13223  df-ds 13225  df-0g 13399  df-mnd 14362  df-grp 14484  df-subg 14613  df-cmn 15086  df-mgp 15321  df-rng 15335  df-cring 15336  df-subrg 15538  df-lmod 15624  df-cnfld 16373  df-clm 18556
  Copyright terms: Public domain W3C validator