Theorem clm3i 7282

Description: A sufficient existence condition for convergence of a complex number sequence F.

Hypotheses

Ref	Expression
clm1.1	|- M e. ZZ
clm1.2	|- (ZZ>=` M) (_ Z
clm1.3	|- Z (_ ZZ
clm1.4	|- N e. ZZ
clm1.5	|- (ZZ>=` N) (_ W
clm1.6	|- W (_ ZZ
clm2.7	|- F e. V

Assertion

Ref	Expression
clm3i	|- ((A e. CC /\ E.m e. Z A.k e. W (m <_ k -> (F` k) e. CC)) -> (F ~~> A <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.k e. W (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x))))

Distinct variable groups:   j,k,m,x,A   j,F,k,m,x   j,M,k,m   k,N   j,W,k,m,x   j,Z,k,m,x

Proof of Theorem clm3i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clm1.1	. . 3 |- M e. ZZ
2		clm1.2	. . 3 |- (ZZ>=` M) (_ Z
3		clm1.3	. . 3 |- Z (_ ZZ
4		clm1.4	. . 3 |- N e. ZZ
5		clm1.5	. . 3 |- (ZZ>=` N) (_ W
6		clm1.6	. . 3 |- W (_ ZZ
7		clm2.7	. . 3 |- F e. V
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	clm2i 7281	. 2 |- (A e. CC -> (F ~~> A <-> A.x e. RR (0 < x -> E.n e. Z A.k e. W (n <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < x)))))
9		pm3.27 321	. . . . . . . . 9 |- (((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < x) -> (abs` ((F` k) - A)) < x)
10	9	imim2i 17	. . . . . . . 8 |- ((n <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < x)) -> (n <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x))
11	10	r19.20si 1752	. . . . . . 7 |- (A.k e. W (n <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < x)) -> A.k e. W (n <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x))
12	11	r19.22si 1780	. . . . . 6 |- (E.n e. Z A.k e. W (n <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < x)) -> E.n e. Z A.k e. W (n <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x))
13		breq1 2695	. . . . . . . . 9 |- (n = j -> (n <_ k <-> j <_ k))
14	13	imbi1d 616	. . . . . . . 8 |- (n = j -> ((n <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x) <-> (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x)))
15	14	ralbidv 1709	. . . . . . 7 |- (n = j -> (A.k e. W (n <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x) <-> A.k e. W (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x)))
16	15	cbvrexv 1847	. . . . . 6 |- (E.n e. Z A.k e. W (n <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x) <-> E.j e. Z A.k e. W (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x))
17	12, 16	sylib 196	. . . . 5 |- (E.n e. Z A.k e. W (n <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < x)) -> E.j e. Z A.k e. W (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x))
18		ifcl 2434	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((j e. Z /\ m e. Z) -> if(m <_ j, j, m) e. Z)
19	18	expcom 372	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (m e. Z -> (j e. Z -> if(m <_ j, j, m) e. Z))
20	19	adantr 389	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((m e. Z /\ A.k e. W ((m <_ k -> (F` k) e. CC) /\ (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x))) -> (j e. Z -> if(m <_ j, j, m) e. Z))
21		max1 6060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((m e. RR /\ j e. RR) -> m <_ if(m <_ j, j, m))
22	21	adantr 389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((m e. RR /\ j e. RR) /\ k e. RR) -> m <_ if(m <_ j, j, m))
23		letr 5679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((m e. RR /\ if(m <_ j, j, m) e. RR /\ k e. RR) -> ((m <_ if(m <_ j, j, m) /\ if(m <_ j, j, m) <_ k) -> m <_ k))
24	23	3expa 839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((m e. RR /\ if(m <_ j, j, m) e. RR) /\ k e. RR) -> ((m <_ if(m <_ j, j, m) /\ if(m <_ j, j, m) <_ k) -> m <_ k))
25		pm3.26 317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((m e. RR /\ j e. RR) -> m e. RR)
26		ifcl 2434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((j e. RR /\ m e. RR) -> if(m <_ j, j, m) e. RR)
27	26	ancoms 438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((m e. RR /\ j e. RR) -> if(m <_ j, j, m) e. RR)
28	25, 27	jca 286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((m e. RR /\ j e. RR) -> (m e. RR /\ if(m <_ j, j, m) e. RR))
29	24, 28	sylan 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((m e. RR /\ j e. RR) /\ k e. RR) -> ((m <_ if(m <_ j, j, m) /\ if(m <_ j, j, m) <_ k) -> m <_ k))
30	22, 29	mpand 705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((m e. RR /\ j e. RR) /\ k e. RR) -> (if(m <_ j, j, m) <_ k -> m <_ k))
31		max2 6062	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((m e. RR /\ j e. RR) -> j <_ if(m <_ j, j, m))
32	31	adantr 389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((m e. RR /\ j e. RR) /\ k e. RR) -> j <_ if(m <_ j, j, m))
33		letr 5679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((j e. RR /\ if(m <_ j, j, m) e. RR /\ k e. RR) -> ((j <_ if(m <_ j, j, m) /\ if(m <_ j, j, m) <_ k) -> j <_ k))
34	33	3expa 839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((j e. RR /\ if(m <_ j, j, m) e. RR) /\ k e. RR) -> ((j <_ if(m <_ j, j, m) /\ if(m <_ j, j, m) <_ k) -> j <_ k))
35		pm3.27 321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((m e. RR /\ j e. RR) -> j e. RR)
36	35, 27	jca 286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((m e. RR /\ j e. RR) -> (j e. RR /\ if(m <_ j, j, m) e. RR))
37	34, 36	sylan 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((m e. RR /\ j e. RR) /\ k e. RR) -> ((j <_ if(m <_ j, j, m) /\ if(m <_ j, j, m) <_ k) -> j <_ k))
38	32, 37	mpand 705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((m e. RR /\ j e. RR) /\ k e. RR) -> (if(m <_ j, j, m) <_ k -> j <_ k))
39	30, 38	jcad 603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((m e. RR /\ j e. RR) /\ k e. RR) -> (if(m <_ j, j, m) <_ k -> (m <_ k /\ j <_ k)))
40		zssre 6310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ZZ (_ RR
41	3, 40	sstri 2125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- Z (_ RR
42	41	sseli 2117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (m e. Z -> m e. RR)
43	41	sseli 2117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (j e. Z -> j e. RR)
44	42, 43	anim12i 331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((m e. Z /\ j e. Z) -> (m e. RR /\ j e. RR))
45	6, 40	sstri 2125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- W (_ RR
46	45	sseli 2117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (k e. W -> k e. RR)
47	39, 44, 46	syl2an 456	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((m e. Z /\ j e. Z) /\ k e. W) -> (if(m <_ j, j, m) <_ k -> (m <_ k /\ j <_ k)))
48		prth 559	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((m <_ k -> (F` k) e. CC) /\ (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x)) -> ((m <_ k /\ j <_ k) -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < x)))
49	47, 48	syl9 57	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((m e. Z /\ j e. Z) /\ k e. W) -> (((m <_ k -> (F` k) e. CC) /\ (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x)) -> (if(m <_ j, j, m) <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < x))))
50	49	r19.20dva 1755	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((m e. Z /\ j e. Z) -> (A.k e. W ((m <_ k -> (F` k) e. CC) /\ (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x)) -> A.k e. W (if(m <_ j, j, m) <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < x))))
51	50	ex 371	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (m e. Z -> (j e. Z -> (A.k e. W ((m <_ k -> (F` k) e. CC) /\ (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x)) -> A.k e. W (if(m <_ j, j, m) <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < x)))))
52	51	com23 32	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (m e. Z -> (A.k e. W ((m <_ k -> (F` k) e. CC) /\ (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x)) -> (j e. Z -> A.k e. W (if(m <_ j, j, m) <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < x)))))
53	52	imp 348	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((m e. Z /\ A.k e. W ((m <_ k -> (F` k) e. CC) /\ (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x))) -> (j e. Z -> A.k e. W (if(m <_ j, j, m) <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < x))))
54	20, 53	jcad 603	. . . . . . . . . . . 12 |- ((m e. Z /\ A.k e. W ((m <_ k -> (F` k) e. CC) /\ (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x))) -> (j e. Z -> (if(m <_ j, j, m) e. Z /\ A.k e. W (if(m <_ j, j, m) <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < x)))))
55		breq1 2695	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (n = if(m <_ j, j, m) -> (n <_ k <-> if(m <_ j, j, m) <_ k))
56	55	imbi1d 616	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (n = if(m <_ j, j, m) -> ((n <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < x)) <-> (if(m <_ j, j, m) <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < x))))
57	56	ralbidv 1709	. . . . . . . . . . . . 13 |- (n = if(m <_ j, j, m) -> (A.k e. W (n <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < x)) <-> A.k e. W (if(m <_ j, j, m) <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < x))))
58	57	rcla4ev 1923	. . . . . . . . . . . 12 |- ((if(m <_ j, j, m) e. Z /\ A.k e. W (if(m <_ j, j, m) <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < x))) -> E.n e. Z A.k e. W (n <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < x)))
59	54, 58	syl6 22	. . . . . . . . . . 11 |- ((m e. Z /\ A.k e. W ((m <_ k -> (F` k) e. CC) /\ (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x))) -> (j e. Z -> E.n e. Z A.k e. W (n <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < x))))
60		r19.26 1796	. . . . . . . . . . 11 |- (A.k e. W ((m <_ k -> (F` k) e. CC) /\ (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x)) <-> (A.k e. W (m <_ k -> (F` k) e. CC) /\ A.k e. W (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x)))
61	59, 60	sylan2br 455	. . . . . . . . . 10 |- ((m e. Z /\ (A.k e. W (m <_ k -> (F` k) e. CC) /\ A.k e. W (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x))) -> (j e. Z -> E.n e. Z A.k e. W (n <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < x))))
62	61	exp32 377	. . . . . . . . 9 |- (m e. Z -> (A.k e. W (m <_ k -> (F` k) e. CC) -> (A.k e. W (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x) -> (j e. Z -> E.n e. Z A.k e. W (n <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < x))))))
63	62	imp 348	. . . . . . . 8 |- ((m e. Z /\ A.k e. W (m <_ k -> (F` k) e. CC)) -> (A.k e. W (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x) -> (j e. Z -> E.n e. Z A.k e. W (n <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < x)))))
64	63	com23 32	. . . . . . 7 |- ((m e. Z /\ A.k e. W (m <_ k -> (F` k) e. CC)) -> (j e. Z -> (A.k e. W (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x) -> E.n e. Z A.k e. W (n <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < x)))))
65	64	r19.23adv 1792	. . . . . 6 |- ((m e. Z /\ A.k e. W (m <_ k -> (F` k) e. CC)) -> (E.j e. Z A.k e. W (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x) -> E.n e. Z A.k e. W (n <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < x))))
66	65	r19.23aiva 1790	. . . . 5 |- (E.m e. Z A.k e. W (m <_ k -> (F` k) e. CC) -> (E.j e. Z A.k e. W (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x) -> E.n e. Z A.k e. W (n <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < x))))
67	17, 66	impbid2 521	. . . 4 |- (E.m e. Z A.k e. W (m <_ k -> (F` k) e. CC) -> (E.n e. Z A.k e. W (n <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < x)) <-> E.j e. Z A.k e. W (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x)))
68	67	imbi2d 615	. . 3 |- (E.m e. Z A.k e. W (m <_ k -> (F` k) e. CC) -> ((0 < x -> E.n e. Z A.k e. W (n <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < x))) <-> (0 < x -> E.j e. Z A.k e. W (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x))))
69	68	ralbidv 1709	. 2 |- (E.m e. Z A.k e. W (m <_ k -> (F` k) e. CC) -> (A.x e. RR (0 < x -> E.n e. Z A.k e. W (n <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < x))) <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.k e. W (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x))))
70	8, 69	sylan9bb 543	1 |- ((A e. CC /\ E.m e. Z A.k e. W (m <_ k -> (F` k) e. CC)) -> (F ~~> A <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.k e. W (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 144   /\ wa 221   = wceq 992   e. wcel 994  A.wral 1691  E.wrex 1692  Vcvv 1857   (_ wss 2099  ifcif 2415   class class class wbr 2692  ` cfv 3263  (class class class)co 4021  CCcc 5386  RRcr 5387  0cc0 5388   - cmin 5446   <_ cle 5449  ZZcz 5452   < clt 5640  ZZ>=cuz 6544  abscabs 6951   ~~> cli 7177

This theorem is referenced by:  clm4i 7283

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089  ax-inf2 4770

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-nel 1631  df-ral 1695  df-rex 1696  df-reu 1697  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-pss 2107  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-fv 3279  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4140  df-2nd 4141  df-rdg 4233  df-1o 4269  df-oadd 4271  df-omul 4272  df-er 4401  df-ec 4403  df-qs 4406  df-en 4509  df-dom 4510  df-sdom 4511  df-ni 5154  df-pli 5155  df-mi 5156  df-lti 5157  df-plpq 5189  df-mpq 5190  df-enq 5191  df-nq 5192  df-plq 5193  df-mq 5194  df-rq 5195  df-ltq 5196  df-1q 5197  df-np 5240  df-1p 5241  df-plp 5242  df-ltp 5244  df-enr 5320  df-nr 5321  df-ltr 5324  df-0r 5325  df-c 5394  df-r 5398  df-lt 5401  df-neg 5512  df-pnf 5641  df-mnf 5642  df-xr 5643  df-ltxr 5644  df-le 5645  df-z 6304  df-uz 6545  df-clim 7178

Copyright terms: Public domain