Theorem clmi1 7086

Description: Convergence of a sequence of complex numbers.

Hypotheses

Ref	Expression
clmi1.1	|- M e. ZZ
clmi1.2	|- (ZZ>` M) (_ Z
clmi1.6	|- W (_ ZZ

Assertion

Ref	Expression
clmi1	|- (((A e. C /\ F ~~> A) /\ (B e. RR /\ 0 < B)) -> E.j e. Z A.k e. W (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < B)))

Distinct variable groups:   j,k,A   B,j,k   j,F,k   j,M,k   k,W   j,Z

Proof of Theorem clmi1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 2628	. . . . . . . 8 |- (y = B -> (0 < y <-> 0 < B))
2		breq2 2628	. . . . . . . . . . 11 |- (y = B -> ((abs` ((F` k) - A)) < y <-> (abs` ((F` k) - A)) < B))
3	2	anbi2d 618	. . . . . . . . . 10 |- (y = B -> (((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < y) <-> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < B)))
4	3	imbi2d 614	. . . . . . . . 9 |- (y = B -> ((j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < y)) <-> (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < B))))
5	4	rexralbidv 1685	. . . . . . . 8 |- (y = B -> (E.j e. (ZZ>` M)A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < y)) <-> E.j e. (ZZ>` M)A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < B))))
6	1, 5	imbi12d 628	. . . . . . 7 |- (y = B -> ((0 < y -> E.j e. (ZZ>` M)A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < y))) <-> (0 < B -> E.j e. (ZZ>` M)A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < B)))))
7	6	rcla4v 1876	. . . . . 6 |- (B e. RR -> (A.y e. RR (0 < y -> E.j e. (ZZ>` M)A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < y))) -> (0 < B -> E.j e. (ZZ>` M)A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < B)))))
8		clmi1.1	. . . . . . . 8 |- M e. ZZ
9		ssid 2083	. . . . . . . 8 |- (ZZ>` M) (_ (ZZ>` M)
10		uzssz 6431	. . . . . . . 8 |- (ZZ>` M) (_ ZZ
11		0z 6148	. . . . . . . 8 |- 0 e. ZZ
12		uzssz 6431	. . . . . . . 8 |- (ZZ>` 0) (_ ZZ
13		ssid 2083	. . . . . . . 8 |- ZZ (_ ZZ
14	8, 9, 10, 11, 12, 13	clm1 7077	. . . . . . 7 |- ((F e. V /\ A e. C) -> (F ~~> A <-> (A e. CC /\ A.y e. RR (0 < y -> E.j e. (ZZ>` M)A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < y))))))
15	14	pm3.27bda 423	. . . . . 6 |- (((F e. V /\ A e. C) /\ F ~~> A) -> A.y e. RR (0 < y -> E.j e. (ZZ>` M)A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < y))))
16	7, 15	syl5com 52	. . . . 5 |- (((F e. V /\ A e. C) /\ F ~~> A) -> (B e. RR -> (0 < B -> E.j e. (ZZ>` M)A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < B)))))
17	16	exp31 378	. . . 4 |- (F e. V -> (A e. C -> (F ~~> A -> (B e. RR -> (0 < B -> E.j e. (ZZ>` M)A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < B)))))))
18		climrel 6976	. . . . . . . 8 |- Rel ~~>
19	18	brrelexi 3214	. . . . . . 7 |- (F ~~> A -> F e. V)
20	19	con3i 98	. . . . . 6 |- (-. F e. V -> -. F ~~> A)
21	20	pm2.21d 78	. . . . 5 |- (-. F e. V -> (F ~~> A -> (B e. RR -> (0 < B -> E.j e. (ZZ>` M)A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < B))))))
22	21	a1d 12	. . . 4 |- (-. F e. V -> (A e. C -> (F ~~> A -> (B e. RR -> (0 < B -> E.j e. (ZZ>` M)A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < B)))))))
23	17, 22	pm2.61i 126	. . 3 |- (A e. C -> (F ~~> A -> (B e. RR -> (0 < B -> E.j e. (ZZ>` M)A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < B))))))
24	23	imp43 370	. 2 |- (((A e. C /\ F ~~> A) /\ (B e. RR /\ 0 < B)) -> E.j e. (ZZ>` M)A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < B)))
25		clmi1.2	. . . 4 |- (ZZ>` M) (_ Z
26		ssrexv 2118	. . . 4 |- ((ZZ>` M) (_ Z -> (E.j e. (ZZ>` M)A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < B)) -> E.j e. Z A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < B))))
27	25, 26	ax-mp 7	. . 3 |- (E.j e. (ZZ>` M)A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < B)) -> E.j e. Z A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < B)))
28		clmi1.6	. . . . 5 |- W (_ ZZ
29		ssralv 2117	. . . . 5 |- (W (_ ZZ -> (A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < B)) -> A.k e. W (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < B))))
30	28, 29	ax-mp 7	. . . 4 |- (A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < B)) -> A.k e. W (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < B)))
31	30	r19.22si 1737	. . 3 |- (E.j e. Z A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < B)) -> E.j e. Z A.k e. W (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < B)))
32	27, 31	syl 10	. 2 |- (E.j e. (ZZ>` M)A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < B)) -> E.j e. Z A.k e. W (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < B)))
33	24, 32	syl 10	1 |- (((A e. C /\ F ~~> A) /\ (B e. RR /\ 0 < B)) -> E.j e. Z A.k e. W (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < B)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  A.wral 1648  E.wrex 1649  Vcvv 1814   (_ wss 2050   class class class wbr 2624  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  CCcc 5244  RRcr 5245  0cc0 5246   - cmin 5304   <_ cle 5307  ZZcz 5310   < clt 5498  ZZ>cuz 6418  abscabs 6751   ~~> cli 6974

This theorem is referenced by:  clmi2 7087  clm0i 7089  climunii 7098

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258