MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clmvneg1 Unicode version

Theorem clmvneg1 19069
Description: Minus 1 times a vector is the negative of the vector. Equation 2 of [Kreyszig] p. 51. (lmodvneg1 15942 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
clmvneg1.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
clmvneg1.n  |-  N  =  ( inv g `  W )
clmvneg1.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
clmvneg1.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
Assertion
Ref Expression
clmvneg1  |-  ( ( W  e. CMod  /\  X  e.  V )  ->  ( -u 1  .x.  X )  =  ( N `  X ) )

Proof of Theorem clmvneg1
StepHypRef Expression
1 clmvneg1.f . . . . . . . 8  |-  F  =  (Scalar `  W )
2 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  F )  =  (
Base `  F )
31, 2clmzss 19056 . . . . . . 7  |-  ( W  e. CMod  ->  ZZ  C_  ( Base `  F ) )
4 1z 10267 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ZZ
54a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( W  e. CMod  ->  1  e.  ZZ )
63, 5sseldd 3309 . . . . . 6  |-  ( W  e. CMod  ->  1  e.  (
Base `  F )
)
71, 2clmneg 19059 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. CMod  /\  1  e.  ( Base `  F
) )  ->  -u 1  =  ( ( inv g `  F ) `
 1 ) )
86, 7mpdan 650 . . . . 5  |-  ( W  e. CMod  ->  -u 1  =  ( ( inv g `  F ) `  1
) )
91clm1 19051 . . . . . 6  |-  ( W  e. CMod  ->  1  =  ( 1r `  F ) )
109fveq2d 5691 . . . . 5  |-  ( W  e. CMod  ->  ( ( inv g `  F ) `
 1 )  =  ( ( inv g `  F ) `  ( 1r `  F ) ) )
118, 10eqtrd 2436 . . . 4  |-  ( W  e. CMod  ->  -u 1  =  ( ( inv g `  F ) `  ( 1r `  F ) ) )
1211adantr 452 . . 3  |-  ( ( W  e. CMod  /\  X  e.  V )  ->  -u 1  =  ( ( inv g `  F ) `
 ( 1r `  F ) ) )
1312oveq1d 6055 . 2  |-  ( ( W  e. CMod  /\  X  e.  V )  ->  ( -u 1  .x.  X )  =  ( ( ( inv g `  F
) `  ( 1r `  F ) )  .x.  X ) )
14 clmlmod 19045 . . 3  |-  ( W  e. CMod  ->  W  e.  LMod )
15 clmvneg1.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
16 clmvneg1.n . . . 4  |-  N  =  ( inv g `  W )
17 clmvneg1.s . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  W )
18 eqid 2404 . . . 4  |-  ( 1r
`  F )  =  ( 1r `  F
)
19 eqid 2404 . . . 4  |-  ( inv g `  F )  =  ( inv g `  F )
2015, 16, 1, 17, 18, 19lmodvneg1 15942 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  (
( ( inv g `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  X )  =  ( N `  X
) )
2114, 20sylan 458 . 2  |-  ( ( W  e. CMod  /\  X  e.  V )  ->  (
( ( inv g `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  X )  =  ( N `  X
) )
2213, 21eqtrd 2436 1  |-  ( ( W  e. CMod  /\  X  e.  V )  ->  ( -u 1  .x.  X )  =  ( N `  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   1c1 8947   -ucneg 9248   ZZcz 10238   Basecbs 13424  Scalarcsca 13487   .scvsca 13488   inv gcminusg 14641   1rcur 15617   LModclmod 15905  CModcclm 19040
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-fz 11000  df-seq 11279  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-0g 13682  df-mnd 14645  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-mulg 14770  df-subg 14896  df-cmn 15369  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-cring 15619  df-ur 15620  df-subrg 15821  df-lmod 15907  df-cnfld 16659  df-clm 19041
  Copyright terms: Public domain W3C validator