MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clmvneg1 Unicode version

Theorem clmvneg1 18516
Description: Minus 1 times a vector is the negative of the vector. Equation 2 of [Kreyszig] p. 51. (lmodvneg1 15594 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
clmvneg1.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
clmvneg1.n  |-  N  =  ( inv g `  W )
clmvneg1.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
clmvneg1.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
Assertion
Ref Expression
clmvneg1  |-  ( ( W  e. CMod  /\  X  e.  V )  ->  ( -u 1  .x.  X )  =  ( N `  X ) )

Proof of Theorem clmvneg1
StepHypRef Expression
1 clmvneg1.f . . . . . . . 8  |-  F  =  (Scalar `  W )
2 eqid 2256 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  F )  =  (
Base `  F )
31, 2clmzss 18503 . . . . . . 7  |-  ( W  e. CMod  ->  ZZ  C_  ( Base `  F ) )
4 1z 9985 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ZZ
54a1i 12 . . . . . . 7  |-  ( W  e. CMod  ->  1  e.  ZZ )
63, 5sseldd 3123 . . . . . 6  |-  ( W  e. CMod  ->  1  e.  (
Base `  F )
)
71, 2clmneg 18506 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. CMod  /\  1  e.  ( Base `  F
) )  ->  -u 1  =  ( ( inv g `  F ) `
 1 ) )
86, 7mpdan 652 . . . . 5  |-  ( W  e. CMod  ->  -u 1  =  ( ( inv g `  F ) `  1
) )
91clm1 18498 . . . . . 6  |-  ( W  e. CMod  ->  1  =  ( 1r `  F ) )
109fveq2d 5427 . . . . 5  |-  ( W  e. CMod  ->  ( ( inv g `  F ) `
 1 )  =  ( ( inv g `  F ) `  ( 1r `  F ) ) )
118, 10eqtrd 2288 . . . 4  |-  ( W  e. CMod  ->  -u 1  =  ( ( inv g `  F ) `  ( 1r `  F ) ) )
1211adantr 453 . . 3  |-  ( ( W  e. CMod  /\  X  e.  V )  ->  -u 1  =  ( ( inv g `  F ) `
 ( 1r `  F ) ) )
1312oveq1d 5772 . 2  |-  ( ( W  e. CMod  /\  X  e.  V )  ->  ( -u 1  .x.  X )  =  ( ( ( inv g `  F
) `  ( 1r `  F ) )  .x.  X ) )
14 clmlmod 18492 . . 3  |-  ( W  e. CMod  ->  W  e.  LMod )
15 clmvneg1.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
16 clmvneg1.n . . . 4  |-  N  =  ( inv g `  W )
17 clmvneg1.s . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  W )
18 eqid 2256 . . . 4  |-  ( 1r
`  F )  =  ( 1r `  F
)
19 eqid 2256 . . . 4  |-  ( inv g `  F )  =  ( inv g `  F )
2015, 16, 1, 17, 18, 19lmodvneg1 15594 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  (
( ( inv g `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  X )  =  ( N `  X
) )
2114, 20sylan 459 . 2  |-  ( ( W  e. CMod  /\  X  e.  V )  ->  (
( ( inv g `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  X )  =  ( N `  X
) )
2213, 21eqtrd 2288 1  |-  ( ( W  e. CMod  /\  X  e.  V )  ->  ( -u 1  .x.  X )  =  ( N `  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   ` cfv 4638  (class class class)co 5757   1c1 8671   -ucneg 8971   ZZcz 9956   Basecbs 13075  Scalarcsca 13138   .scvsca 13139   inv gcminusg 14290   1rcur 15266   LModclmod 15554  CModcclm 18487
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-inf2 7275  ax-cnex 8726  ax-resscn 8727  ax-1cn 8728  ax-icn 8729  ax-addcl 8730  ax-addrcl 8731  ax-mulcl 8732  ax-mulrcl 8733  ax-mulcom 8734  ax-addass 8735  ax-mulass 8736  ax-distr 8737  ax-i2m1 8738  ax-1ne0 8739  ax-1rid 8740  ax-rnegex 8741  ax-rrecex 8742  ax-cnre 8743  ax-pre-lttri 8744  ax-pre-lttrn 8745  ax-pre-ltadd 8746  ax-pre-mulgt0 8747  ax-addf 8749  ax-mulf 8750
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-iota 6190  df-riota 6237  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-1o 6412  df-oadd 6416  df-er 6593  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-fin 6800  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-xr 8804  df-ltxr 8805  df-le 8806  df-sub 8972  df-neg 8973  df-n 9680  df-2 9737  df-3 9738  df-4 9739  df-5 9740  df-6 9741  df-7 9742  df-8 9743  df-9 9744  df-10 9745  df-n0 9898  df-z 9957  df-dec 10057  df-uz 10163  df-fz 10714  df-seq 10978  df-struct 13077  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13080  df-sets 13081  df-ress 13082  df-plusg 13148  df-mulr 13149  df-starv 13150  df-tset 13154  df-ple 13155  df-ds 13157  df-0g 13331  df-mnd 14294  df-grp 14416  df-minusg 14417  df-mulg 14419  df-subg 14545  df-cmn 15018  df-mgp 15253  df-ring 15267  df-cring 15268  df-ur 15269  df-subrg 15470  df-lmod 15556  df-cnfld 16305  df-clm 18488
  Copyright terms: Public domain W3C validator