MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clmvneg1 Unicode version

Theorem clmvneg1 18591
Description: Minus 1 times a vector is the negative of the vector. Equation 2 of [Kreyszig] p. 51. (lmodvneg1 15669 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
clmvneg1.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
clmvneg1.n  |-  N  =  ( inv g `  W )
clmvneg1.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
clmvneg1.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
Assertion
Ref Expression
clmvneg1  |-  ( ( W  e. CMod  /\  X  e.  V )  ->  ( -u 1  .x.  X )  =  ( N `  X ) )

Proof of Theorem clmvneg1
StepHypRef Expression
1 clmvneg1.f . . . . . . . 8  |-  F  =  (Scalar `  W )
2 eqid 2285 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  F )  =  (
Base `  F )
31, 2clmzss 18578 . . . . . . 7  |-  ( W  e. CMod  ->  ZZ  C_  ( Base `  F ) )
4 1z 10055 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ZZ
54a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( W  e. CMod  ->  1  e.  ZZ )
63, 5sseldd 3183 . . . . . 6  |-  ( W  e. CMod  ->  1  e.  (
Base `  F )
)
71, 2clmneg 18581 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. CMod  /\  1  e.  ( Base `  F
) )  ->  -u 1  =  ( ( inv g `  F ) `
 1 ) )
86, 7mpdan 649 . . . . 5  |-  ( W  e. CMod  ->  -u 1  =  ( ( inv g `  F ) `  1
) )
91clm1 18573 . . . . . 6  |-  ( W  e. CMod  ->  1  =  ( 1r `  F ) )
109fveq2d 5531 . . . . 5  |-  ( W  e. CMod  ->  ( ( inv g `  F ) `
 1 )  =  ( ( inv g `  F ) `  ( 1r `  F ) ) )
118, 10eqtrd 2317 . . . 4  |-  ( W  e. CMod  ->  -u 1  =  ( ( inv g `  F ) `  ( 1r `  F ) ) )
1211adantr 451 . . 3  |-  ( ( W  e. CMod  /\  X  e.  V )  ->  -u 1  =  ( ( inv g `  F ) `
 ( 1r `  F ) ) )
1312oveq1d 5875 . 2  |-  ( ( W  e. CMod  /\  X  e.  V )  ->  ( -u 1  .x.  X )  =  ( ( ( inv g `  F
) `  ( 1r `  F ) )  .x.  X ) )
14 clmlmod 18567 . . 3  |-  ( W  e. CMod  ->  W  e.  LMod )
15 clmvneg1.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
16 clmvneg1.n . . . 4  |-  N  =  ( inv g `  W )
17 clmvneg1.s . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  W )
18 eqid 2285 . . . 4  |-  ( 1r
`  F )  =  ( 1r `  F
)
19 eqid 2285 . . . 4  |-  ( inv g `  F )  =  ( inv g `  F )
2015, 16, 1, 17, 18, 19lmodvneg1 15669 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  (
( ( inv g `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  X )  =  ( N `  X
) )
2114, 20sylan 457 . 2  |-  ( ( W  e. CMod  /\  X  e.  V )  ->  (
( ( inv g `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  X )  =  ( N `  X
) )
2213, 21eqtrd 2317 1  |-  ( ( W  e. CMod  /\  X  e.  V )  ->  ( -u 1  .x.  X )  =  ( N `  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1625    e. wcel 1686   ` cfv 5257  (class class class)co 5860   1c1 8740   -ucneg 9040   ZZcz 10026   Basecbs 13150  Scalarcsca 13213   .scvsca 13214   inv gcminusg 14365   1rcur 15341   LModclmod 15629  CModcclm 18562
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-inf2 7344  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-addf 8818  ax-mulf 8819
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-1o 6481  df-oadd 6485  df-er 6662  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-fin 6869  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-4 9808  df-5 9809  df-6 9810  df-7 9811  df-8 9812  df-9 9813  df-10 9814  df-n0 9968  df-z 10027  df-dec 10127  df-uz 10233  df-fz 10785  df-seq 11049  df-struct 13152  df-ndx 13153  df-slot 13154  df-base 13155  df-sets 13156  df-ress 13157  df-plusg 13223  df-mulr 13224  df-starv 13225  df-tset 13229  df-ple 13230  df-ds 13232  df-0g 13406  df-mnd 14369  df-grp 14491  df-minusg 14492  df-mulg 14494  df-subg 14620  df-cmn 15093  df-mgp 15328  df-rng 15342  df-cring 15343  df-ur 15344  df-subrg 15545  df-lmod 15631  df-cnfld 16380  df-clm 18563
  Copyright terms: Public domain W3C validator