MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clscld Structured version   Unicode version

Theorem clscld 17113
Description: The closure of a subset of a topology's underlying set is closed. (Contributed by NM, 4-Oct-2006.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
clscld  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  S )  e.  ( Clsd `  J
) )

Proof of Theorem clscld
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clscld.1 . . 3  |-  X  = 
U. J
21clsval 17103 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  S )  =  |^| { x  e.  ( Clsd `  J
)  |  S  C_  x } )
31topcld 17101 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  X  e.  ( Clsd `  J
) )
43anim1i 553 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  S  C_  X ) )
5 sseq2 3372 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  ( S  C_  x  <->  S  C_  X
) )
65elrab 3094 . . . . 5  |-  ( X  e.  { x  e.  ( Clsd `  J
)  |  S  C_  x }  <->  ( X  e.  ( Clsd `  J
)  /\  S  C_  X
) )
74, 6sylibr 205 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  X  e.  { x  e.  ( Clsd `  J
)  |  S  C_  x } )
8 ne0i 3636 . . . 4  |-  ( X  e.  { x  e.  ( Clsd `  J
)  |  S  C_  x }  ->  { x  e.  ( Clsd `  J
)  |  S  C_  x }  =/=  (/) )
97, 8syl 16 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  { x  e.  ( Clsd `  J )  |  S  C_  x }  =/=  (/) )
10 ssrab2 3430 . . 3  |-  { x  e.  ( Clsd `  J
)  |  S  C_  x }  C_  ( Clsd `  J )
11 intcld 17106 . . 3  |-  ( ( { x  e.  (
Clsd `  J )  |  S  C_  x }  =/=  (/)  /\  { x  e.  ( Clsd `  J
)  |  S  C_  x }  C_  ( Clsd `  J ) )  ->  |^| { x  e.  (
Clsd `  J )  |  S  C_  x }  e.  ( Clsd `  J
) )
129, 10, 11sylancl 645 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  |^| { x  e.  (
Clsd `  J )  |  S  C_  x }  e.  ( Clsd `  J
) )
132, 12eqeltrd 2512 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  S )  e.  ( Clsd `  J
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   {crab 2711    C_ wss 3322   (/)c0 3630   U.cuni 4017   |^|cint 4052   ` cfv 5456   Topctop 16960   Clsdccld 17082   clsccl 17084
This theorem is referenced by:  clsf  17114  clsss3  17125  cmntrcld  17129  iscld3  17130  clsidm  17133  restcls  17247  cncls2i  17336  nrmsep  17423  lpcls  17430  regsep2  17442  hauscmplem  17471  hausllycmp  17559  txcls  17638  ptclsg  17649  regr1lem  17773  kqreglem1  17775  kqreglem2  17776  kqnrmlem1  17777  kqnrmlem2  17778  fclscmpi  18063  tgptsmscld  18182  cnllycmp  18983  clsocv  19206  cmpcmet  19272  cncmet  19277  limcnlp  19767  clsun  26333  cldregopn  26336  heibor1lem  26520
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-top 16965  df-cld 17085  df-cls 17087
  Copyright terms: Public domain W3C validator