Theorem clslp 7698

Description: The closure of a subset of a topological space is the subset together with its limit points. Theorem 6.6 of [Munkres] p. 97.

Hypothesis

Ref	Expression
lpfval.1	|- X = U.J

Assertion

Ref	Expression
clslp	|- ((J e. Top /\ S (_ X) -> ((cls` J)` S) = (S u. ((limPt` J)` S)))

Proof of Theorem clslp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lpfval.1	. . . . . . . . . . . . . 14 |- X = U.J
2	1	neindisj 7681	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((J e. Top /\ S (_ X) /\ (x e. ((cls` J)` S) /\ n e. ((nei` J)` {x}))) -> (n i^i S) =/= (/))
3	2	anassrs 441	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((J e. Top /\ S (_ X) /\ x e. ((cls` J)` S)) /\ n e. ((nei` J)` {x})) -> (n i^i S) =/= (/))
4	3	ex 373	. . . . . . . . . . 11 |- (((J e. Top /\ S (_ X) /\ x e. ((cls` J)` S)) -> (n e. ((nei` J)` {x}) -> (n i^i S) =/= (/)))
5	4	adantr 389	. . . . . . . . . 10 |- ((((J e. Top /\ S (_ X) /\ x e. ((cls` J)` S)) /\ -. x e. S) -> (n e. ((nei` J)` {x}) -> (n i^i S) =/= (/)))
6		difsn 2460	. . . . . . . . . . . . 13 |- (-. x e. S -> (S \ {x}) = S)
7	6	ineq2d 2213	. . . . . . . . . . . 12 |- (-. x e. S -> (n i^i (S \ {x})) = (n i^i S))
8	7	neeq1d 1591	. . . . . . . . . . 11 |- (-. x e. S -> ((n i^i (S \ {x})) =/= (/) <-> (n i^i S) =/= (/)))
9	8	adantl 388	. . . . . . . . . 10 |- ((((J e. Top /\ S (_ X) /\ x e. ((cls` J)` S)) /\ -. x e. S) -> ((n i^i (S \ {x})) =/= (/) <-> (n i^i S) =/= (/)))
10	5, 9	sylibrd 204	. . . . . . . . 9 |- ((((J e. Top /\ S (_ X) /\ x e. ((cls` J)` S)) /\ -. x e. S) -> (n e. ((nei` J)` {x}) -> (n i^i (S \ {x})) =/= (/)))
11	10	ex 373	. . . . . . . 8 |- (((J e. Top /\ S (_ X) /\ x e. ((cls` J)` S)) -> (-. x e. S -> (n e. ((nei` J)` {x}) -> (n i^i (S \ {x})) =/= (/))))
12	11	r19.21adv 1715	. . . . . . 7 |- (((J e. Top /\ S (_ X) /\ x e. ((cls` J)` S)) -> (-. x e. S -> A.n e. ((nei` J)` {x})(n i^i (S \ {x})) =/= (/)))
13	1	islp2 7697	. . . . . . . 8 |- ((J e. Top /\ S (_ X /\ x e. X) -> (x e. ((limPt` J)` S) <-> A.n e. ((nei` J)` {x})(n i^i (S \ {x})) =/= (/)))
14		simpll 412	. . . . . . . 8 |- (((J e. Top /\ S (_ X) /\ x e. ((cls` J)` S)) -> J e. Top)
15		simplr 413	. . . . . . . 8 |- (((J e. Top /\ S (_ X) /\ x e. ((cls` J)` S)) -> S (_ X)
16	1	clsss3 7641	. . . . . . . . . 10 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> ((cls` J)` S) (_ X)
17	16	sseld 2063	. . . . . . . . 9 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> (x e. ((cls` J)` S) -> x e. X))
18	17	imp 350	. . . . . . . 8 |- (((J e. Top /\ S (_ X) /\ x e. ((cls` J)` S)) -> x e. X)
19	13, 14, 15, 18	syl3anc 857	. . . . . . 7 |- (((J e. Top /\ S (_ X) /\ x e. ((cls` J)` S)) -> (x e. ((limPt` J)` S) <-> A.n e. ((nei` J)` {x})(n i^i (S \ {x})) =/= (/)))
20	12, 19	sylibrd 204	. . . . . 6 |- (((J e. Top /\ S (_ X) /\ x e. ((cls` J)` S)) -> (-. x e. S -> x e. ((limPt` J)` S)))
21	20	orrd 233	. . . . 5 |- (((J e. Top /\ S (_ X) /\ x e. ((cls` J)` S)) -> (x e. S \/ x e. ((limPt` J)` S)))
22		elun 2169	. . . . 5 |- (x e. (S u. ((limPt` J)` S)) <-> (x e. S \/ x e. ((limPt` J)` S)))
23	21, 22	sylibr 200	. . . 4 |- (((J e. Top /\ S (_ X) /\ x e. ((cls` J)` S)) -> x e. (S u. ((limPt` J)` S)))
24	23	ex 373	. . 3 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> (x e. ((cls` J)` S) -> x e. (S u. ((limPt` J)` S))))
25	24	ssrdv 2066	. 2 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> ((cls` J)` S) (_ (S u. ((limPt` J)` S)))
26	1	sscls 7639	. . . 4 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> S (_ ((cls` J)` S))
27	1	lpsscls 7695	. . . 4 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> ((limPt` J)` S) (_ ((cls` J)` S))
28	26, 27	jca 288	. . 3 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> (S (_ ((cls` J)` S) /\ ((limPt` J)` S) (_ ((cls` J)` S)))
29		unss 2200	. . 3 |- ((S (_ ((cls` J)` S) /\ ((limPt` J)` S) (_ ((cls` J)` S)) <-> (S u. ((limPt` J)` S)) (_ ((cls` J)` S))
30	28, 29	sylib 198	. 2 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> (S u. ((limPt` J)` S)) (_ ((cls` J)` S))
31	25, 30	eqssd 2075	1 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> ((cls` J)` S) = (S u. ((limPt` J)` S)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956   =/= wne 1582  A.wral 1642   \ cdif 2040   u. cun 2041   i^i cin 2042   (_ wss 2043  (/)c0 2276  {csn 2405  U.cuni 2498  ` cfv 3177  Topctop 7538  clsccl 7612  neicnei 7662  limPtclp 7690

This theorem is referenced by:  islpi 7699  cldlp 7700  metelcls 7916

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-iin 2564  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-fv 3193  df-top 7542  df-cld 7613  df-ntr 7614  df-cls 7615  df-nei 7663  df-lp 7691

Copyright terms: Public domain