MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clsss3 Unicode version

Theorem clsss3 16812
Description: The closure of a subset of a topological space is included in the space. (Contributed by NM, 26-Feb-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
clsss3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  S )  C_  X )

Proof of Theorem clsss3
StepHypRef Expression
1 clscld.1 . . 3  |-  X  = 
U. J
21clscld 16800 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  S )  e.  ( Clsd `  J
) )
31cldss 16782 . 2  |-  ( ( ( cls `  J
) `  S )  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( ( cls `  J ) `  S )  C_  X
)
42, 3syl 15 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  S )  C_  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    C_ wss 3165   U.cuni 3843   ` cfv 5271   Topctop 16647   Clsdccld 16769   clsccl 16771
This theorem is referenced by:  cmntrcld  16816  clsidm  16820  elcls2  16827  clsndisj  16828  ntrcls0  16829  neindisj  16870  lpval  16887  lpss  16890  clslp  16895  cnclsi  17017  cncls  17019  isnrm2  17102  lpcls  17108  perfcls  17109  regsep2  17120  clscon  17172  concompcld  17176  2ndcsep  17201  1stcelcls  17203  hausllycmp  17236  txcls  17315  ptclsg  17325  kqnrmlem1  17450  reghmph  17500  nrmhmph  17501  flimclslem  17695  flimsncls  17697  hauspwpwf1  17698  fclsopn  17725  fclscmpi  17740  clssubg  17807  clsnsg  17808  snclseqg  17814  qdensere  18295  clsocv  18693  relcmpcmet  18758  cncmet  18760  kur14lem3  23754  islimrs3  25684  islimrs4  25685  topbnd  26345  clsun  26349  opnregcld  26351  cldregopn  26352  heibor1lem  26636
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-top 16652  df-cld 16772  df-cls 16774
  Copyright terms: Public domain W3C validator