Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clsval Structured version   Unicode version

Theorem clsval 17139
 Description: The closure of a subset of a topology's base set is the intersection of all the closed sets that include it. Definition of closure of [Munkres] p. 94. (Contributed by NM, 10-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
iscld.1
Assertion
Ref Expression
clsval
Distinct variable groups:   ,   ,   ,

Proof of Theorem clsval
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscld.1 . . . . 5
21clsfval 17127 . . . 4
32fveq1d 5765 . . 3
51topopn 17017 . . . . 5
6 elpw2g 4398 . . . . 5
75, 6syl 16 . . . 4
87biimpar 473 . . 3
91topcld 17137 . . . . 5
10 sseq2 3359 . . . . . 6
1110rspcev 3061 . . . . 5
129, 11sylan 459 . . . 4
13 intexrab 4394 . . . 4
1412, 13sylib 190 . . 3
15 sseq1 3358 . . . . . 6
1615rabbidv 2957 . . . . 5
1716inteqd 4084 . . . 4
18 eqid 2443 . . . 4
1917, 18fvmptg 5840 . . 3
208, 14, 19syl2anc 644 . 2
214, 20eqtrd 2475 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1654   wcel 1728  wrex 2713  crab 2716  cvv 2965   wss 3309  cpw 3828  cuni 4044  cint 4079   cmpt 4297  cfv 5489  ctop 16996  ccld 17118  ccl 17120 This theorem is referenced by:  cldcls  17144  clscld  17149  clsf  17150  clsval2  17152  clsss  17156  sscls  17158 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-rep 4351  ax-sep 4361  ax-nul 4369  ax-pow 4412  ax-pr 4438 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-nul 3617  df-if 3768  df-pw 3830  df-sn 3849  df-pr 3850  df-op 3852  df-uni 4045  df-int 4080  df-iun 4124  df-br 4244  df-opab 4298  df-mpt 4299  df-id 4533  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5453  df-fun 5491  df-fn 5492  df-f 5493  df-f1 5494  df-fo 5495  df-f1o 5496  df-fv 5497  df-top 17001  df-cld 17121  df-cls 17123
 Copyright terms: Public domain W3C validator