Theorem cmclsopn 7643

Description: The complement of a closure is open.

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	|- X = U.J

Assertion

Ref	Expression
cmclsopn	|- ((J e. Top /\ S (_ X) -> (X \ ((cls` J)` S)) e. J)

Proof of Theorem cmclsopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clscld.1	. . . 4 |- X = U.J
2	1	clsval2 7635	. . 3 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> ((cls` J)` S) = (X \ ((int` J)` (X \ S))))
3	2	difeq2d 2155	. 2 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> (X \ ((cls` J)` S)) = (X \ (X \ ((int` J)` (X \ S)))))
4		difss 2163	. . . . . . 7 |- (X \ S) (_ X
5	1	ntropn 7634	. . . . . . 7 |- ((J e. Top /\ (X \ S) (_ X) -> ((int` J)` (X \ S)) e. J)
6	4, 5	mpan2 695	. . . . . 6 |- (J e. Top -> ((int` J)` (X \ S)) e. J)
7	1	eltopss 7553	. . . . . 6 |- ((J e. Top /\ ((int` J)` (X \ S)) e. J) -> ((int` J)` (X \ S)) (_ X)
8	6, 7	mpdan 703	. . . . 5 |- (J e. Top -> ((int` J)` (X \ S)) (_ X)
9		dfss4 2238	. . . . 5 |- (((int` J)` (X \ S)) (_ X <-> (X \ (X \ ((int` J)` (X \ S)))) = ((int` J)` (X \ S)))
10	8, 9	sylib 198	. . . 4 |- (J e. Top -> (X \ (X \ ((int` J)` (X \ S)))) = ((int` J)` (X \ S)))
11	10, 6	eqeltrd 1545	. . 3 |- (J e. Top -> (X \ (X \ ((int` J)` (X \ S)))) e. J)
12	11	adantr 389	. 2 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> (X \ (X \ ((int` J)` (X \ S)))) e. J)
13	3, 12	eqeltrd 1545	1 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> (X \ ((cls` J)` S)) e. J)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956   \ cdif 2040   (_ wss 2043  U.cuni 2498  ` cfv 3177  Topctop 7538  intcnt 7611  clsccl 7612

This theorem is referenced by:  elcls 7654  bcthlem9 7957  bcthlem10 7958

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-rab 1649  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-fv 3193  df-top 7542  df-cld 7613  df-ntr 7614  df-cls 7615

Copyright terms: Public domain