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Theorem cmetss 18742
Description: A subspace of a complete metric space is complete iff it is closed in the parent space. Theorem 1.4-7 of [Kreyszig] p. 30. (Contributed by NM, 28-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cmetss.2  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
cmetss  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
)  <->  Y  e.  ( Clsd `  J ) ) )

Proof of Theorem cmetss
Dummy variables  x  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmetmet 18714 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
2 metxmet 17901 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
31, 2syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
43adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
5 cmetss.2 . . . . . . . 8  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
65mopntopon 17987 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
74, 6syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
8 resss 4981 . . . . . . . 8  |-  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) )  C_  D
9 dmss 4880 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  C_  D  ->  dom  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) )  C_  dom  D )
10 dmss 4880 . . . . . . . 8  |-  ( dom  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) 
C_  dom  D  ->  dom 
dom  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) )  C_  dom  dom 
D )
118, 9, 10mp2b 9 . . . . . . 7  |-  dom  dom  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) 
C_  dom  dom  D
12 cmetmet 18714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
)  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) )  e.  ( Met `  Y ) )
13 metdmdm 17903 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( Met `  Y
)  ->  Y  =  dom  dom  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )
1412, 13syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
)  ->  Y  =  dom  dom  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )
15 metdmdm 17903 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  X  =  dom  dom  D )
161, 15syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  X  =  dom  dom  D )
17 sseq12 3203 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  =  dom  dom  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  /\  X  =  dom  dom 
D )  ->  ( Y  C_  X  <->  dom  dom  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  C_  dom  dom  D ) )
1814, 16, 17syl2anr 464 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  ->  ( Y  C_  X  <->  dom  dom  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  C_  dom  dom  D ) )
1911, 18mpbiri 224 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  ->  Y  C_  X )
20 flimcls 17682 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 Y )  <->  E. f  e.  ( Fil `  X
) ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )
217, 19, 20syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  ->  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 Y )  <->  E. f  e.  ( Fil `  X
) ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )
22 simprrr 741 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )  ->  x  e.  ( J  fLim  f ) )
234adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
245methaus 18068 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  Haus )
25 hausflimi 17677 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  Haus  ->  E* x  x  e.  ( J  fLim  f ) )
2623, 24, 253syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )  ->  E* x  x  e.  ( J  fLim  f ) )
2723, 6syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
28 simprl 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )  ->  f  e.  ( Fil `  X ) )
29 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )  ->  Y  e.  f )
30 flimrest 17680 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  f  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  f )  ->  (
( Jt  Y )  fLim  (
ft 
Y ) )  =  ( ( J  fLim  f )  i^i  Y ) )
3127, 28, 29, 30syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )  ->  ( ( Jt  Y )  fLim  (
ft 
Y ) )  =  ( ( J  fLim  f )  i^i  Y ) )
3219adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )  ->  Y  C_  X
)
33 eqid 2285 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) )  =  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )
34 eqid 2285 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  =  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )
3533, 5, 34metrest 18072 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( Jt  Y
)  =  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )
3623, 32, 35syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )  ->  ( Jt  Y
)  =  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )
3736oveq1d 5875 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )  ->  ( ( Jt  Y )  fLim  (
ft 
Y ) )  =  ( ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) 
fLim  ( ft  Y ) ) )
3831, 37eqtr3d 2319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )  ->  ( ( J  fLim  f )  i^i 
Y )  =  ( ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  fLim  ( ft  Y ) ) )
39 simplr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) )  e.  (
CMet `  Y )
)
405flimcfil 18741 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  ( J  fLim  f )
)  ->  f  e.  (CauFil `  D ) )
4123, 22, 40syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )  ->  f  e.  (CauFil `  D ) )
42 cfilres 18724 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  f  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  f )  ->  ( f  e.  (CauFil `  D )  <->  ( ft  Y )  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) )
4323, 28, 29, 42syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )  ->  ( f  e.  (CauFil `  D )  <->  ( ft  Y )  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) )
4441, 43mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )  ->  ( ft  Y
)  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )
4534cmetcvg 18713 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
)  /\  ( ft  Y
)  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  (
( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  fLim  ( ft  Y ) )  =/=  (/) )
4639, 44, 45syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )  ->  ( ( MetOpen
`  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  fLim  ( ft  Y ) )  =/=  (/) )
4738, 46eqnetrd 2466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )  ->  ( ( J  fLim  f )  i^i 
Y )  =/=  (/) )
48 n0 3466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  fLim  f
)  i^i  Y )  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  ( ( J  fLim  f )  i^i  Y ) )
49 elin 3360 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ( J 
fLim  f )  i^i 
Y )  <->  ( x  e.  ( J  fLim  f
)  /\  x  e.  Y ) )
5049exbii 1571 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. x  x  e.  ( ( J  fLim  f
)  i^i  Y )  <->  E. x ( x  e.  ( J  fLim  f
)  /\  x  e.  Y ) )
5148, 50bitri 240 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  fLim  f
)  i^i  Y )  =/=  (/)  <->  E. x ( x  e.  ( J  fLim  f )  /\  x  e.  Y ) )
5247, 51sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )  ->  E. x
( x  e.  ( J  fLim  f )  /\  x  e.  Y
) )
53 mopick 2207 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E* x  x  e.  ( J  fLim  f
)  /\  E. x
( x  e.  ( J  fLim  f )  /\  x  e.  Y
) )  ->  (
x  e.  ( J 
fLim  f )  ->  x  e.  Y )
)
5426, 52, 53syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )  ->  ( x  e.  ( J  fLim  f
)  ->  x  e.  Y ) )
5522, 54mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )  ->  x  e.  Y )
5655expr 598 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  f  e.  ( Fil `  X
) )  ->  (
( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f )
)  ->  x  e.  Y ) )
5756rexlimdva 2669 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  ->  ( E. f  e.  ( Fil `  X ) ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) )  ->  x  e.  Y )
)
5821, 57sylbid 206 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  ->  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 Y )  ->  x  e.  Y )
)
5958ssrdv 3187 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  ->  (
( cls `  J
) `  Y )  C_  Y )
605mopntop 17988 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  Top )
614, 60syl 15 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  ->  J  e.  Top )
625mopnuni 17989 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  =  U. J )
634, 62syl 15 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  ->  X  =  U. J )
6419, 63sseqtrd 3216 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  ->  Y  C_ 
U. J )
65 eqid 2285 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
6665iscld4 16804 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  U. J )  ->  ( Y  e.  ( Clsd `  J
)  <->  ( ( cls `  J ) `  Y
)  C_  Y )
)
6761, 64, 66syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  ->  ( Y  e.  ( Clsd `  J )  <->  ( ( cls `  J ) `  Y )  C_  Y
) )
6859, 67mpbird 223 . 2  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  ->  Y  e.  ( Clsd `  J
) )
691adantr 451 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  D  e.  ( Met `  X
) )
7065cldss 16768 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  ( Clsd `  J
)  ->  Y  C_  U. J
)
7170adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  Y  C_ 
U. J )
7269, 2, 623syl 18 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  X  =  U. J )
7371, 72sseqtr4d 3217 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  Y  C_  X )
74 metres2 17929 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( Met `  Y
) )
7569, 73, 74syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( Met `  Y
) )
763ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
7773adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  Y  C_  X )
7876, 77, 35syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  ( Jt  Y )  =  (
MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )
7978eqcomd 2290 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  ( MetOpen
`  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  =  ( Jt  Y ) )
80 metxmet 17901 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( Met `  Y
)  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) )  e.  ( * Met `  Y
) )
8175, 80syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( * Met `  Y
) )
82 cfilfil 18695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( * Met `  Y )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  ->  f  e.  ( Fil `  Y ) )
8381, 82sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  f  e.  ( Fil `  Y
) )
84 elfvdm 5556 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  X  e.  dom  CMet )
8584ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  X  e.  dom  CMet )
86 trfg 17588 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  e.  ( Fil `  Y )  /\  Y  C_  X  /\  X  e. 
dom  CMet )  ->  (
( X filGen f )t  Y )  =  f )
8783, 77, 85, 86syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  (
( X filGen f )t  Y )  =  f )
8887eqcomd 2290 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  f  =  ( ( X
filGen f )t  Y ) )
8979, 88oveq12d 5878 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  (
( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  fLim  f )  =  ( ( Jt  Y )  fLim  (
( X filGen f )t  Y ) ) )
9076, 6syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
91 filfbas 17545 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  ( Fil `  Y
)  ->  f  e.  ( fBas `  Y )
)
9283, 91syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  f  e.  ( fBas `  Y
) )
93 filsspw 17548 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  e.  ( Fil `  Y
)  ->  f  C_  ~P Y )
9483, 93syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  f  C_ 
~P Y )
95 sspwb 4225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y 
C_  X  <->  ~P Y  C_ 
~P X )
9677, 95sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  ~P Y  C_  ~P X )
9794, 96sstrd 3191 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  f  C_ 
~P X )
98 fbasweak 17562 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  e.  ( fBas `  Y )  /\  f  C_ 
~P X  /\  X  e.  dom  CMet )  ->  f  e.  ( fBas `  X
) )
9992, 97, 85, 98syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  f  e.  ( fBas `  X
) )
100 fgcl 17575 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( X filGen f )  e.  ( Fil `  X ) )
10199, 100syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  ( X filGen f )  e.  ( Fil `  X
) )
102 ssfg 17569 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  ( fBas `  X
)  ->  f  C_  ( X filGen f ) )
10399, 102syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  f  C_  ( X filGen f ) )
104 filtop 17552 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  ( Fil `  Y
)  ->  Y  e.  f )
10583, 104syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  Y  e.  f )
106103, 105sseldd 3183 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  Y  e.  ( X filGen f ) )
107 flimrest 17680 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( X filGen f )  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  ( X filGen f ) )  ->  ( ( Jt  Y )  fLim  ( ( X filGen f )t  Y ) )  =  ( ( J  fLim  ( X filGen f ) )  i^i 
Y ) )
10890, 101, 106, 107syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  (
( Jt  Y )  fLim  (
( X filGen f )t  Y ) )  =  ( ( J  fLim  ( X filGen f ) )  i^i  Y ) )
109 flimclsi 17675 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  ( X filGen f )  ->  ( J  fLim  ( X filGen f ) )  C_  ( ( cls `  J ) `  Y ) )
110106, 109syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  ( J  fLim  ( X filGen f ) )  C_  (
( cls `  J
) `  Y )
)
111 cldcls 16781 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( ( cls `  J ) `  Y )  =  Y )
112111ad2antlr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  (
( cls `  J
) `  Y )  =  Y )
113110, 112sseqtrd 3216 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  ( J  fLim  ( X filGen f ) )  C_  Y
)
114 df-ss 3168 . . . . . . 7  |-  ( ( J  fLim  ( X filGen f ) )  C_  Y 
<->  ( ( J  fLim  ( X filGen f ) )  i^i  Y )  =  ( J  fLim  ( X filGen f ) ) )
115113, 114sylib 188 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  (
( J  fLim  ( X filGen f ) )  i^i  Y )  =  ( J  fLim  ( X filGen f ) ) )
11689, 108, 1153eqtrd 2321 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  (
( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  fLim  f )  =  ( J 
fLim  ( X filGen f ) ) )
117 simpll 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  D  e.  ( CMet `  X
) )
11869, 2syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
119 cfilresi 18723 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  ( X filGen f )  e.  (CauFil `  D )
)
120118, 119sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  ( X filGen f )  e.  (CauFil `  D )
)
1215cmetcvg 18713 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  ( X filGen f )  e.  (CauFil `  D )
)  ->  ( J  fLim  ( X filGen f ) )  =/=  (/) )
122117, 120, 121syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  ( J  fLim  ( X filGen f ) )  =/=  (/) )
123116, 122eqnetrd 2466 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  (
( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  fLim  f )  =/=  (/) )
124123ralrimiva 2628 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  A. f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ( ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  fLim  f )  =/=  (/) )
12534iscmet 18712 . . 3  |-  ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
)  <->  ( ( D  |`  ( Y  X.  Y
) )  e.  ( Met `  Y )  /\  A. f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ( ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  fLim  f )  =/=  (/) ) )
12675, 124, 125sylanbrc 645 . 2  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )
12768, 126impbida 805 1  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
)  <->  Y  e.  ( Clsd `  J ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1530    = wceq 1625    e. wcel 1686   E*wmo 2146    =/= wne 2448   A.wral 2545   E.wrex 2546    i^i cin 3153    C_ wss 3154   (/)c0 3457   ~Pcpw 3627   U.cuni 3829    X. cxp 4689   dom cdm 4691    |` cres 4693   ` cfv 5257  (class class class)co 5860   ↾t crest 13327   * Metcxmt 16371   Metcme 16372   MetOpencmopn 16374   Topctop 16633  TopOnctopon 16634   Clsdccld 16755   clsccl 16757   Hauscha 17038   fBascfbas 17520   filGencfg 17521   Filcfil 17542    fLim cflim 17631  CauFilccfil 18680   CMetcms 18682
This theorem is referenced by:  recmet  18747  cmsss  18774  bnsscmcl  21449  rrnheibor  26572
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-pre-sup 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-iin 3910  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-1o 6481  df-oadd 6485  df-er 6662  df-map 6776  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-fin 6869  df-fi 7167  df-sup 7196  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-nn 9749  df-2 9806  df-n0 9968  df-z 10027  df-uz 10233  df-q 10319  df-rp 10357  df-xneg 10454  df-xadd 10455  df-xmul 10456  df-ico 10664  df-icc 10665  df-rest 13329  df-topgen 13346  df-xmet 16375  df-met 16376  df-bl 16377  df-mopn 16378  df-top 16638  df-bases 16640  df-topon 16641  df-cld 16758  df-ntr 16759  df-cls 16760  df-nei 16837  df-haus 17045  df-fbas 17522  df-fg 17523  df-fil 17543  df-flim 17636  df-cfil 18683  df-cmet 18685
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