Theorem cmpfun 10399

Description: Functionality of a class given by a "maps to" notation.

Hypothesis

Ref	Expression
cmp.1	|- F = (x e. A |-> B)

Assertion

Ref	Expression
cmpfun	|- Fun F

Proof of Theorem cmpfun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm3.27 323	. . . . 5 |- ((x e. A /\ y = B) -> y = B)
2	1	ssopab2i 2818	. . . 4 |- {<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)} (_ {<.x, y>. | y = B}
3		funopabeq 3541	. . . 4 |- Fun {<.x, y>. | y = B}
4		funss 3526	. . . 4 |- ({<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)} (_ {<.x, y>. | y = B} -> (Fun {<.x, y>. | y = B} -> Fun {<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)}))
5	2, 3, 4	mp2 43	. . 3 |- Fun {<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)}
6		df-mpt 4065	. . . 4 |- (x e. A |-> B) = {<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)}
7		funeq 3527	. . . 4 |- ((x e. A |-> B) = {<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)} -> (Fun (x e. A |-> B) <-> Fun {<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)}))
8	6, 7	ax-mp 7	. . 3 |- (Fun (x e. A |-> B) <-> Fun {<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)})
9	5, 8	mpbir 190	. 2 |- Fun (x e. A |-> B)
10		cmp.1	. . 3 |- F = (x e. A |-> B)
11		funeq 3527	. . . 4 |- (F = (x e. A |-> B) -> (Fun F <-> Fun (x e. A |-> B)))
12	11	bicomd 520	. . 3 |- (F = (x e. A |-> B) -> (Fun (x e. A |-> B) <-> Fun F))
13	10, 12	ax-mp 7	. 2 |- (Fun (x e. A |-> B) <-> Fun F)
14	9, 13	mpbi 189	1 |- Fun F

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956   (_ wss 2043  {copab 2661  Fun wfun 3171   e. cmpt 4063

This theorem is referenced by:  cmpdom 10400  trnij 10517

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-fun 3187  df-mpt 4065

Copyright terms: Public domain