Theorem cmphmib 10698

Description: Composite of a member of a homset with the identity. JFM CAT₁ th. 58

Hypotheses

Ref	Expression
cmphmib.1	|- O = dom (id` T)
cmphmib.2	|- H = (hom` T)
cmphmib.3	|- J = (id` T)
cmphmib.4	|- R = (o` T)

Assertion

Ref	Expression
cmphmib	|- ((T e. Cat /\ A e. O /\ B e. O) -> (F e. (H` <.A, B>.) -> (FR(J` A)) = F))

Proof of Theorem cmphmib

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmphmib.1	. . . 4 |- O = dom (id` T)
2		eqid 1478	. . . 4 |- dom (dom` T) = dom (dom` T)
3		cmphmib.2	. . . 4 |- H = (hom` T)
4	1, 2, 3	ehm 10690	. . 3 |- ((T e. Cat /\ A e. O /\ B e. O) -> (F e. (H` <.A, B>.) -> F e. dom (dom` T)))
5		eqid 1478	. . . 4 |- (dom` T) = (dom` T)
6	1, 5, 3	dehm 10691	. . 3 |- ((T e. Cat /\ A e. O /\ B e. O) -> (F e. (H` <.A, B>.) -> ((dom` T)` F) = A))
7	4, 6	jcad 602	. 2 |- ((T e. Cat /\ A e. O /\ B e. O) -> (F e. (H` <.A, B>.) -> (F e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` F) = A)))
8		cmphmib.3	. . . . . . . . 9 |- J = (id` T)
9	8	eqcomi 1482	. . . . . . . 8 |- (id` T) = J
10	9	dmeqi 3318	. . . . . . 7 |- dom (id` T) = dom J
11	1, 10	eqtr 1498	. . . . . 6 |- O = dom J
12		cmphmib.4	. . . . . 6 |- R = (o` T)
13	2, 5, 11, 8, 12	cmpidb 10679	. . . . 5 |- ((T e. Cat /\ A e. O /\ F e. dom (dom` T)) -> (((dom` T)` F) = A -> (FR(J` A)) = F))
14	13	3exp 834	. . . 4 |- (T e. Cat -> (A e. O -> (F e. dom (dom` T) -> (((dom` T)` F) = A -> (FR(J` A)) = F))))
15	14	imp4b 365	. . 3 |- ((T e. Cat /\ A e. O) -> ((F e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` F) = A) -> (FR(J` A)) = F))
16	15	3adant3 801	. 2 |- ((T e. Cat /\ A e. O /\ B e. O) -> ((F e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` F) = A) -> (FR(J` A)) = F))
17	7, 16	syld 27	1 |- ((T e. Cat /\ A e. O /\ B e. O) -> (F e. (H` <.A, B>.) -> (FR(J` A)) = F))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960  <.cop 2415  dom cdm 3176  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  domcdom_ 10615  idcid_ 10617  oco_ 10618  Catccat 10656  homchom 10684

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-alg 10619  df-doma 10620  df-coda 10621  df-ida 10622  df-cmpa 10623  df-ded 10639  df-cat 10657  df-hom 10685

Copyright terms: Public domain