Theorem cmpmorp 10663

Description: Condition for a composite to be a morphism.

Hypotheses

Ref	Expression
cmpmorp.1	|- M = dom (dom` T)
cmpmorp.2	|- D = (dom` T)
cmpmorp.3	|- C = (cod` T)
cmpmorp.4	|- R = (o` T)

Assertion

Ref	Expression
cmpmorp	|- ((T e. Cat /\ F e. M /\ G e. M) -> ((D` G) = (C` F) -> (GRF) e. M))

Proof of Theorem cmpmorp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmpmorp.1	. . . . . . . . 9 |- M = dom (dom` T)
2		eqid 1475	. . . . . . . . 9 |- (dom` T) = (dom` T)
3		cmpmorp.4	. . . . . . . . 9 |- R = (o` T)
4	1, 2, 3	cmppfc 10652	. . . . . . . 8 |- (T e. Cat -> (Fun R /\ dom R (_ (M X. M) /\ ran R (_ M))
5	4	3ad2ant1 799	. . . . . . 7 |- ((T e. Cat /\ F e. M /\ G e. M) -> (Fun R /\ dom R (_ (M X. M) /\ ran R (_ M))
6	5	3simp1d 793	. . . . . 6 |- ((T e. Cat /\ F e. M /\ G e. M) -> Fun R)
7	6	adantr 389	. . . . 5 |- (((T e. Cat /\ F e. M /\ G e. M) /\ (D` G) = (C` F)) -> Fun R)
8		cmpmorp.2	. . . . . . . . . 10 |- D = (dom` T)
9	8	eqcomi 1478	. . . . . . . . 9 |- (dom` T) = D
10	9	dmeqi 3309	. . . . . . . 8 |- dom (dom` T) = dom D
11	1, 10	eqtr 1494	. . . . . . 7 |- M = dom D
12		cmpmorp.3	. . . . . . 7 |- C = (cod` T)
13	11, 8, 12, 3	cmppfcd 10654	. . . . . 6 |- ((T e. Cat /\ F e. M /\ G e. M) -> (<.G, F>. e. dom R <-> (D` G) = (C` F)))
14	13	biimpar 417	. . . . 5 |- (((T e. Cat /\ F e. M /\ G e. M) /\ (D` G) = (C` F)) -> <.G, F>. e. dom R)
15	7, 14	jca 288	. . . 4 |- (((T e. Cat /\ F e. M /\ G e. M) /\ (D` G) = (C` F)) -> (Fun R /\ <.G, F>. e. dom R))
16	15	ex 373	. . 3 |- ((T e. Cat /\ F e. M /\ G e. M) -> ((D` G) = (C` F) -> (Fun R /\ <.G, F>. e. dom R)))
17		fnoprvalrn2 10459	. . 3 |- ((Fun R /\ <.G, F>. e. dom R) -> (GRF) e. ran R)
18	16, 17	syl6 22	. 2 |- ((T e. Cat /\ F e. M /\ G e. M) -> ((D` G) = (C` F) -> (GRF) e. ran R))
19		3simp3 789	. . 3 |- ((Fun R /\ dom R (_ (M X. M) /\ ran R (_ M) -> ran R (_ M)
20		ssel 2061	. . 3 |- (ran R (_ M -> ((GRF) e. ran R -> (GRF) e. M))
21	5, 19, 20	3syl 20	. 2 |- ((T e. Cat /\ F e. M /\ G e. M) -> ((GRF) e. ran R -> (GRF) e. M))
22	18, 21	syld 27	1 |- ((T e. Cat /\ F e. M /\ G e. M) -> ((D` G) = (C` F) -> (GRF) e. M))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 955   e. wcel 957   (_ wss 2045  <.cop 2409   X. cxp 3165  dom cdm 3167  ran crn 3168  Fun wfun 3173  ` cfv 3179  (class class class)co 3960  domcdom_ 10595  codccod_ 10596  oco_ 10598  Catccat 10636

This theorem is referenced by:  homgrf 10681  idfisf 10705

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2700  ax-nul 2707  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-ral 1648  df-rex 1649  df-v 1810  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-nul 2279  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-op 2414  df-uni 2501  df-int 2531  df-br 2617  df-opab 2664  df-id 2832  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-f 3191  df-fo 3193  df-fv 3195  df-opr 3962  df-1st 4076  df-2nd 4077  df-alg 10599  df-doma 10600  df-coda 10601  df-ida 10602  df-cmpa 10603  df-ded 10619  df-cat 10637

Copyright terms: Public domain