Theorem cmscvg 7930

Description: The convergence of a Cauchy sequence in a complete metric space.

Hypothesis

Ref	Expression
caun0.1	|- X = dom dom D

Assertion

Ref	Expression
cmscvg	|- ((D e. CMet /\ F e. (Cau` D)) -> E.x e. X F(~~>m` D)x)

Distinct variable groups:   x,F   x,D   x,X

Proof of Theorem cmscvg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 2619	. . . 4 |- (f = F -> (f(~~>m` D)x <-> F(~~>m` D)x))
2	1	rexbidv 1663	. . 3 |- (f = F -> (E.x e. X f(~~>m` D)x <-> E.x e. X F(~~>m` D)x))
3	2	rcla4cva 1874	. 2 |- ((A.f e. (Cau` D)E.x e. X f(~~>m` D)x /\ F e. (Cau` D)) -> E.x e. X F(~~>m` D)x)
4		caun0.1	. . . 4 |- X = dom dom D
5	4	iscms 7929	. . 3 |- (D e. CMet <-> (D e. Met /\ A.f e. (Cau` D)E.x e. X f(~~>m` D)x))
6	5	pm3.27bi 326	. 2 |- (D e. CMet -> A.f e. (Cau` D)E.x e. X f(~~>m` D)x)
7	3, 6	sylan 448	1 |- ((D e. CMet /\ F e. (Cau` D)) -> E.x e. X F(~~>m` D)x)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  A.wral 1644  E.wrex 1645   class class class wbr 2616  dom cdm 3167  ` cfv 3179  Metcme 7768  ~~>mclm 7902  Caucca 7903  CMetcms 7904

This theorem is referenced by:  cmsss 7980  bcthlem23 8004  minveclem29 8557  hlcompl 8600

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2700  ax-pow 2739  ax-pr 2776

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-ral 1648  df-rex 1649  df-rab 1651  df-v 1810  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-nul 2279  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-op 2414  df-uni 2501  df-br 2617  df-opab 2664  df-xp 3181  df-cnv 3183  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fv 3195  df-cmet 7907

Copyright terms: Public domain