Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cmt2N Structured version   Unicode version

Theorem cmt2N 30122
 Description: Commutation with orthocomplement. Theorem 2.3(i) of [Beran] p. 39. (cmcm2i 23100 analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cmt2.b
cmt2.o
cmt2.c
Assertion
Ref Expression
cmt2N

Proof of Theorem cmt2N
StepHypRef Expression
1 omllat 30114 . . . . . 6
213ad2ant1 979 . . . . 5
3 cmt2.b . . . . . . 7
4 eqid 2438 . . . . . . 7
53, 4latmcl 14485 . . . . . 6
61, 5syl3an1 1218 . . . . 5
7 simp2 959 . . . . . 6
8 omlop 30113 . . . . . . . 8
983ad2ant1 979 . . . . . . 7
10 simp3 960 . . . . . . 7
11 cmt2.o . . . . . . . 8
123, 11opoccl 30066 . . . . . . 7
139, 10, 12syl2anc 644 . . . . . 6
143, 4latmcl 14485 . . . . . 6
152, 7, 13, 14syl3anc 1185 . . . . 5
16 eqid 2438 . . . . . 6
173, 16latjcom 14493 . . . . 5
182, 6, 15, 17syl3anc 1185 . . . 4
193, 11opococ 30067 . . . . . . 7
209, 10, 19syl2anc 644 . . . . . 6
2120oveq2d 6100 . . . . 5
2221oveq2d 6100 . . . 4
2318, 22eqtr4d 2473 . . 3
2423eqeq2d 2449 . 2
25 cmt2.c . . 3
263, 16, 4, 11, 25cmtvalN 30083 . 2
273, 16, 4, 11, 25cmtvalN 30083 . . 3
2813, 27syld3an3 1230 . 2
2924, 26, 283bitr4d 278 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726   class class class wbr 4215  cfv 5457  (class class class)co 6084  cbs 13474  coc 13542  cjn 14406  cmee 14407  clat 14479  cops 30044  ccmtN 30045  coml 30047 This theorem is referenced by:  cmt3N  30123  cmt4N  30124  omlfh1N  30130 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-join 14438  df-lat 14480  df-oposet 30048  df-cmtN 30049  df-ol 30050  df-oml 30051
 Copyright terms: Public domain W3C validator