Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cmt3N Unicode version

Theorem cmt3N 28608
Description: Commutation with orthocomplement. Remark in [Kalmbach] p. 23. (cmcm4i 22134 analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cmt2.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cmt2.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
cmt2.c  |-  C  =  ( cm `  K
)
Assertion
Ref Expression
cmt3N  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  <-> 
(  ._|_  `  X ) C Y ) )

Proof of Theorem cmt3N
StepHypRef Expression
1 cmt2.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 cmt2.o . . . 4  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
3 cmt2.c . . . 4  |-  C  =  ( cm `  K
)
41, 2, 3cmt2N 28607 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( Y C X  <-> 
Y C (  ._|_  `  X ) ) )
543com23 1162 . 2  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y C X  <-> 
Y C (  ._|_  `  X ) ) )
61, 3cmtcomN 28606 . 2  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  <-> 
Y C X ) )
7 omlop 28598 . . . . 5  |-  ( K  e.  OML  ->  K  e.  OP )
873ad2ant1 981 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  OP )
9 simp2 961 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  B )
101, 2opoccl 28551 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X )  e.  B )
118, 9, 10syl2anc 645 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X )  e.  B )
121, 3cmtcomN 28606 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  (  ._|_  `  X )  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
(  ._|_  `  X ) C Y  <->  Y C (  ._|_  `  X ) ) )
1311, 12syld3an2 1234 . 2  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  X
) C Y  <->  Y C
(  ._|_  `  X )
) )
145, 6, 133bitr4d 278 1  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  <-> 
(  ._|_  `  X ) C Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   class class class wbr 3997   ` cfv 4673   Basecbs 13110   occoc 13178   OPcops 28529   cmccmtN 28530   OMLcoml 28532
This theorem is referenced by:  cmt4N  28609  omlspjN  28618
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3802  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4281  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-iota 6225  df-undef 6264  df-riota 6272  df-poset 14042  df-lub 14070  df-glb 14071  df-join 14072  df-meet 14073  df-lat 14114  df-oposet 28533  df-cmtN 28534  df-ol 28535  df-oml 28536
  Copyright terms: Public domain W3C validator