Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cmt3N Unicode version

Theorem cmt3N 28708
Description: Commutation with orthocomplement. Remark in [Kalmbach] p. 23. (cmcm4i 22166 analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cmt2.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cmt2.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
cmt2.c  |-  C  =  ( cm `  K
)
Assertion
Ref Expression
cmt3N  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  <-> 
(  ._|_  `  X ) C Y ) )

Proof of Theorem cmt3N
StepHypRef Expression
1 cmt2.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 cmt2.o . . . 4  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
3 cmt2.c . . . 4  |-  C  =  ( cm `  K
)
41, 2, 3cmt2N 28707 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( Y C X  <-> 
Y C (  ._|_  `  X ) ) )
543com23 1159 . 2  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y C X  <-> 
Y C (  ._|_  `  X ) ) )
61, 3cmtcomN 28706 . 2  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  <-> 
Y C X ) )
7 omlop 28698 . . . . 5  |-  ( K  e.  OML  ->  K  e.  OP )
873ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  OP )
9 simp2 958 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  B )
101, 2opoccl 28651 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X )  e.  B )
118, 9, 10syl2anc 644 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X )  e.  B )
121, 3cmtcomN 28706 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  (  ._|_  `  X )  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
(  ._|_  `  X ) C Y  <->  Y C (  ._|_  `  X ) ) )
1311, 12syld3an2 1231 . 2  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  X
) C Y  <->  Y C
(  ._|_  `  X )
) )
145, 6, 133bitr4d 278 1  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  <-> 
(  ._|_  `  X ) C Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ w3a 936    = wceq 1624    e. wcel 1685   class class class wbr 4024   ` cfv 5221   Basecbs 13142   occoc 13210   OPcops 28629   cmccmtN 28630   OMLcoml 28632
This theorem is referenced by:  cmt4N  28709  omlspjN  28718
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4308  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-iota 6252  df-undef 6291  df-riota 6299  df-poset 14074  df-lub 14102  df-glb 14103  df-join 14104  df-meet 14105  df-lat 14146  df-oposet 28633  df-cmtN 28634  df-ol 28635  df-oml 28636
  Copyright terms: Public domain W3C validator