Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cmt4N Structured version   Unicode version

Theorem cmt4N 30050
Description: Commutation with orthocomplement. Remark in [Kalmbach] p. 23. (cmcm4i 23097 analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cmt2.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cmt2.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
cmt2.c  |-  C  =  ( cm `  K
)
Assertion
Ref Expression
cmt4N  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  <-> 
(  ._|_  `  X ) C (  ._|_  `  Y
) ) )

Proof of Theorem cmt4N
StepHypRef Expression
1 cmt2.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 cmt2.o . . 3  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
3 cmt2.c . . 3  |-  C  =  ( cm `  K
)
41, 2, 3cmt2N 30048 . 2  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  <-> 
X C (  ._|_  `  Y ) ) )
5 omlop 30039 . . . . 5  |-  ( K  e.  OML  ->  K  e.  OP )
653ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  OP )
7 simp3 959 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  B )
81, 2opoccl 29992 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  Y )  e.  B )
96, 7, 8syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  Y )  e.  B )
101, 2, 3cmt3N 30049 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  (  ._|_  `  Y )  e.  B )  ->  ( X C (  ._|_  `  Y
)  <->  (  ._|_  `  X
) C (  ._|_  `  Y ) ) )
119, 10syld3an3 1229 . 2  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C ( 
._|_  `  Y )  <->  (  ._|_  `  X ) C ( 
._|_  `  Y ) ) )
124, 11bitrd 245 1  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  <-> 
(  ._|_  `  X ) C (  ._|_  `  Y
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4212   ` cfv 5454   Basecbs 13469   occoc 13537   OPcops 29970   cmccmtN 29971   OMLcoml 29973
This theorem is referenced by:  cmtbr2N  30051  omlfh3N  30057
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-undef 6543  df-riota 6549  df-poset 14403  df-lub 14431  df-glb 14432  df-join 14433  df-meet 14434  df-lat 14475  df-oposet 29974  df-cmtN 29975  df-ol 29976  df-oml 29977
  Copyright terms: Public domain W3C validator