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Theorem cmtbr2N 28711
Description: Alternate definition of the commutes relation. Remark in [Kalmbach] p. 23. (cmbr2i 22168 analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cmtbr2.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cmtbr2.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cmtbr2.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cmtbr2.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
cmtbr2.c  |-  C  =  ( cm `  K
)
Assertion
Ref Expression
cmtbr2N  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  <-> 
X  =  ( ( X  .\/  Y ) 
./\  ( X  .\/  (  ._|_  `  Y )
) ) ) )

Proof of Theorem cmtbr2N
StepHypRef Expression
1 cmtbr2.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 cmtbr2.o . . 3  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
3 cmtbr2.c . . 3  |-  C  =  ( cm `  K
)
41, 2, 3cmt4N 28710 . 2  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  <-> 
(  ._|_  `  X ) C (  ._|_  `  Y
) ) )
5 simp1 957 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  OML )
6 omlop 28699 . . . . 5  |-  ( K  e.  OML  ->  K  e.  OP )
763ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  OP )
8 simp2 958 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  B )
91, 2opoccl 28652 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X )  e.  B )
107, 8, 9syl2anc 644 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X )  e.  B )
11 simp3 959 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  B )
121, 2opoccl 28652 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  Y )  e.  B )
137, 11, 12syl2anc 644 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  Y )  e.  B )
14 cmtbr2.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
15 cmtbr2.m . . . 4  |-  ./\  =  ( meet `  K )
161, 14, 15, 2, 3cmtvalN 28669 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  (  ._|_  `  X )  e.  B  /\  (  ._|_  `  Y )  e.  B )  ->  (
(  ._|_  `  X ) C (  ._|_  `  Y
)  <->  (  ._|_  `  X
)  =  ( ( (  ._|_  `  X ) 
./\  (  ._|_  `  Y
) )  .\/  (
(  ._|_  `  X )  ./\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) ) ) ) )
175, 10, 13, 16syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  X
) C (  ._|_  `  Y )  <->  (  ._|_  `  X )  =  ( ( (  ._|_  `  X
)  ./\  (  ._|_  `  Y ) )  .\/  ( (  ._|_  `  X
)  ./\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) ) ) ) )
18 eqcom 2287 . . . 4  |-  ( X  =  ( ( X 
.\/  Y )  ./\  ( X  .\/  (  ._|_  `  Y ) ) )  <-> 
( ( X  .\/  Y )  ./\  ( X  .\/  (  ._|_  `  Y
) ) )  =  X )
1918a1i 12 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  =  ( ( X  .\/  Y
)  ./\  ( X  .\/  (  ._|_  `  Y
) ) )  <->  ( ( X  .\/  Y )  ./\  ( X  .\/  (  ._|_  `  Y ) ) )  =  X ) )
20 omllat 28700 . . . . . 6  |-  ( K  e.  OML  ->  K  e.  Lat )
21203ad2ant1 978 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  Lat )
221, 14latjcl 14151 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  Y
)  e.  B )
2320, 22syl3an1 1217 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  Y
)  e.  B )
241, 14latjcl 14151 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  (  ._|_  `  Y )  e.  B )  ->  ( X  .\/  (  ._|_  `  Y
) )  e.  B
)
2521, 8, 13, 24syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  (  ._|_  `  Y ) )  e.  B )
261, 15latmcl 14152 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  .\/  Y )  e.  B  /\  ( X  .\/  (  ._|_  `  Y
) )  e.  B
)  ->  ( ( X  .\/  Y )  ./\  ( X  .\/  (  ._|_  `  Y ) ) )  e.  B )
2721, 23, 25, 26syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  .\/  Y )  ./\  ( X  .\/  (  ._|_  `  Y
) ) )  e.  B )
281, 2opcon3b 28654 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( ( X  .\/  Y )  ./\  ( X  .\/  (  ._|_  `  Y
) ) )  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  (
( ( X  .\/  Y )  ./\  ( X  .\/  (  ._|_  `  Y
) ) )  =  X  <->  (  ._|_  `  X
)  =  (  ._|_  `  ( ( X  .\/  Y )  ./\  ( X  .\/  (  ._|_  `  Y
) ) ) ) ) )
297, 27, 8, 28syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( ( X 
.\/  Y )  ./\  ( X  .\/  (  ._|_  `  Y ) ) )  =  X  <->  (  ._|_  `  X )  =  ( 
._|_  `  ( ( X 
.\/  Y )  ./\  ( X  .\/  (  ._|_  `  Y ) ) ) ) ) )
30 omlol 28698 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  OML  ->  K  e.  OL )
31303ad2ant1 978 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  OL )
321, 14, 15, 2oldmm1 28675 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OL  /\  ( X  .\/  Y )  e.  B  /\  ( X  .\/  (  ._|_  `  Y
) )  e.  B
)  ->  (  ._|_  `  ( ( X  .\/  Y )  ./\  ( X  .\/  (  ._|_  `  Y
) ) ) )  =  ( (  ._|_  `  ( X  .\/  Y
) )  .\/  (  ._|_  `  ( X  .\/  (  ._|_  `  Y )
) ) ) )
3331, 23, 25, 32syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( ( X  .\/  Y ) 
./\  ( X  .\/  (  ._|_  `  Y )
) ) )  =  ( (  ._|_  `  ( X  .\/  Y ) ) 
.\/  (  ._|_  `  ( X  .\/  (  ._|_  `  Y
) ) ) ) )
341, 14, 15, 2oldmj1 28679 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( X 
.\/  Y ) )  =  ( (  ._|_  `  X )  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) )
3530, 34syl3an1 1217 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( X 
.\/  Y ) )  =  ( (  ._|_  `  X )  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) )
361, 14, 15, 2oldmj1 28679 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  (  ._|_  `  Y )  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( X  .\/  (  ._|_  `  Y )
) )  =  ( (  ._|_  `  X ) 
./\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) ) )
3731, 8, 13, 36syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( X 
.\/  (  ._|_  `  Y
) ) )  =  ( (  ._|_  `  X
)  ./\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) ) )
3835, 37oveq12d 5838 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  ( X  .\/  Y ) ) 
.\/  (  ._|_  `  ( X  .\/  (  ._|_  `  Y
) ) ) )  =  ( ( ( 
._|_  `  X )  ./\  (  ._|_  `  Y )
)  .\/  ( (  ._|_  `  X )  ./\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) ) ) )
3933, 38eqtrd 2317 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( ( X  .\/  Y ) 
./\  ( X  .\/  (  ._|_  `  Y )
) ) )  =  ( ( (  ._|_  `  X )  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) 
.\/  ( (  ._|_  `  X )  ./\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y
) ) ) ) )
4039eqeq2d 2296 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  X
)  =  (  ._|_  `  ( ( X  .\/  Y )  ./\  ( X  .\/  (  ._|_  `  Y
) ) ) )  <-> 
(  ._|_  `  X )  =  ( ( ( 
._|_  `  X )  ./\  (  ._|_  `  Y )
)  .\/  ( (  ._|_  `  X )  ./\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) ) ) ) )
4119, 29, 403bitrrd 273 . 2  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  X
)  =  ( ( (  ._|_  `  X ) 
./\  (  ._|_  `  Y
) )  .\/  (
(  ._|_  `  X )  ./\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) ) )  <->  X  =  ( ( X  .\/  Y )  ./\  ( X  .\/  (  ._|_  `  Y
) ) ) ) )
424, 17, 413bitrd 272 1  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  <-> 
X  =  ( ( X  .\/  Y ) 
./\  ( X  .\/  (  ._|_  `  Y )
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ w3a 936    = wceq 1624    e. wcel 1685   class class class wbr 4025   ` cfv 5222  (class class class)co 5820   Basecbs 13143   occoc 13211   joincjn 14073   meetcmee 14074   Latclat 14146   OPcops 28630   cmccmtN 28631   OLcol 28632   OMLcoml 28633
This theorem is referenced by:  cmtbr3N  28712
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5224  df-fn 5225  df-f 5226  df-f1 5227  df-fo 5228  df-f1o 5229  df-fv 5230  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-iota 6253  df-undef 6292  df-riota 6300  df-poset 14075  df-lub 14103  df-glb 14104  df-join 14105  df-meet 14106  df-lat 14147  df-oposet 28634  df-cmtN 28635  df-ol 28636  df-oml 28637
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