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Theorem cmtbr2N 28610
Description: Alternate definition of the commutes relation. Remark in [Kalmbach] p. 23. (cmbr2i 22135 analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cmtbr2.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cmtbr2.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cmtbr2.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cmtbr2.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
cmtbr2.c  |-  C  =  ( cm `  K
)
Assertion
Ref Expression
cmtbr2N  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  <-> 
X  =  ( ( X  .\/  Y ) 
./\  ( X  .\/  (  ._|_  `  Y )
) ) ) )

Proof of Theorem cmtbr2N
StepHypRef Expression
1 cmtbr2.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 cmtbr2.o . . 3  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
3 cmtbr2.c . . 3  |-  C  =  ( cm `  K
)
41, 2, 3cmt4N 28609 . 2  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  <-> 
(  ._|_  `  X ) C (  ._|_  `  Y
) ) )
5 simp1 960 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  OML )
6 omlop 28598 . . . . 5  |-  ( K  e.  OML  ->  K  e.  OP )
763ad2ant1 981 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  OP )
8 simp2 961 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  B )
91, 2opoccl 28551 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X )  e.  B )
107, 8, 9syl2anc 645 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X )  e.  B )
11 simp3 962 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  B )
121, 2opoccl 28551 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  Y )  e.  B )
137, 11, 12syl2anc 645 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  Y )  e.  B )
14 cmtbr2.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
15 cmtbr2.m . . . 4  |-  ./\  =  ( meet `  K )
161, 14, 15, 2, 3cmtvalN 28568 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  (  ._|_  `  X )  e.  B  /\  (  ._|_  `  Y )  e.  B )  ->  (
(  ._|_  `  X ) C (  ._|_  `  Y
)  <->  (  ._|_  `  X
)  =  ( ( (  ._|_  `  X ) 
./\  (  ._|_  `  Y
) )  .\/  (
(  ._|_  `  X )  ./\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) ) ) ) )
175, 10, 13, 16syl3anc 1187 . 2  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  X
) C (  ._|_  `  Y )  <->  (  ._|_  `  X )  =  ( ( (  ._|_  `  X
)  ./\  (  ._|_  `  Y ) )  .\/  ( (  ._|_  `  X
)  ./\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) ) ) ) )
18 eqcom 2260 . . . 4  |-  ( X  =  ( ( X 
.\/  Y )  ./\  ( X  .\/  (  ._|_  `  Y ) ) )  <-> 
( ( X  .\/  Y )  ./\  ( X  .\/  (  ._|_  `  Y
) ) )  =  X )
1918a1i 12 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  =  ( ( X  .\/  Y
)  ./\  ( X  .\/  (  ._|_  `  Y
) ) )  <->  ( ( X  .\/  Y )  ./\  ( X  .\/  (  ._|_  `  Y ) ) )  =  X ) )
20 omllat 28599 . . . . . 6  |-  ( K  e.  OML  ->  K  e.  Lat )
21203ad2ant1 981 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  Lat )
221, 14latjcl 14118 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  Y
)  e.  B )
2320, 22syl3an1 1220 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  Y
)  e.  B )
241, 14latjcl 14118 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  (  ._|_  `  Y )  e.  B )  ->  ( X  .\/  (  ._|_  `  Y
) )  e.  B
)
2521, 8, 13, 24syl3anc 1187 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  (  ._|_  `  Y ) )  e.  B )
261, 15latmcl 14119 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  .\/  Y )  e.  B  /\  ( X  .\/  (  ._|_  `  Y
) )  e.  B
)  ->  ( ( X  .\/  Y )  ./\  ( X  .\/  (  ._|_  `  Y ) ) )  e.  B )
2721, 23, 25, 26syl3anc 1187 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  .\/  Y )  ./\  ( X  .\/  (  ._|_  `  Y
) ) )  e.  B )
281, 2opcon3b 28553 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( ( X  .\/  Y )  ./\  ( X  .\/  (  ._|_  `  Y
) ) )  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  (
( ( X  .\/  Y )  ./\  ( X  .\/  (  ._|_  `  Y
) ) )  =  X  <->  (  ._|_  `  X
)  =  (  ._|_  `  ( ( X  .\/  Y )  ./\  ( X  .\/  (  ._|_  `  Y
) ) ) ) ) )
297, 27, 8, 28syl3anc 1187 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( ( X 
.\/  Y )  ./\  ( X  .\/  (  ._|_  `  Y ) ) )  =  X  <->  (  ._|_  `  X )  =  ( 
._|_  `  ( ( X 
.\/  Y )  ./\  ( X  .\/  (  ._|_  `  Y ) ) ) ) ) )
30 omlol 28597 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  OML  ->  K  e.  OL )
31303ad2ant1 981 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  OL )
321, 14, 15, 2oldmm1 28574 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OL  /\  ( X  .\/  Y )  e.  B  /\  ( X  .\/  (  ._|_  `  Y
) )  e.  B
)  ->  (  ._|_  `  ( ( X  .\/  Y )  ./\  ( X  .\/  (  ._|_  `  Y
) ) ) )  =  ( (  ._|_  `  ( X  .\/  Y
) )  .\/  (  ._|_  `  ( X  .\/  (  ._|_  `  Y )
) ) ) )
3331, 23, 25, 32syl3anc 1187 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( ( X  .\/  Y ) 
./\  ( X  .\/  (  ._|_  `  Y )
) ) )  =  ( (  ._|_  `  ( X  .\/  Y ) ) 
.\/  (  ._|_  `  ( X  .\/  (  ._|_  `  Y
) ) ) ) )
341, 14, 15, 2oldmj1 28578 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( X 
.\/  Y ) )  =  ( (  ._|_  `  X )  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) )
3530, 34syl3an1 1220 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( X 
.\/  Y ) )  =  ( (  ._|_  `  X )  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) )
361, 14, 15, 2oldmj1 28578 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  (  ._|_  `  Y )  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( X  .\/  (  ._|_  `  Y )
) )  =  ( (  ._|_  `  X ) 
./\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) ) )
3731, 8, 13, 36syl3anc 1187 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( X 
.\/  (  ._|_  `  Y
) ) )  =  ( (  ._|_  `  X
)  ./\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) ) )
3835, 37oveq12d 5810 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  ( X  .\/  Y ) ) 
.\/  (  ._|_  `  ( X  .\/  (  ._|_  `  Y
) ) ) )  =  ( ( ( 
._|_  `  X )  ./\  (  ._|_  `  Y )
)  .\/  ( (  ._|_  `  X )  ./\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) ) ) )
3933, 38eqtrd 2290 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( ( X  .\/  Y ) 
./\  ( X  .\/  (  ._|_  `  Y )
) ) )  =  ( ( (  ._|_  `  X )  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) 
.\/  ( (  ._|_  `  X )  ./\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y
) ) ) ) )
4039eqeq2d 2269 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  X
)  =  (  ._|_  `  ( ( X  .\/  Y )  ./\  ( X  .\/  (  ._|_  `  Y
) ) ) )  <-> 
(  ._|_  `  X )  =  ( ( ( 
._|_  `  X )  ./\  (  ._|_  `  Y )
)  .\/  ( (  ._|_  `  X )  ./\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) ) ) ) )
4119, 29, 403bitrrd 273 . 2  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  X
)  =  ( ( (  ._|_  `  X ) 
./\  (  ._|_  `  Y
) )  .\/  (
(  ._|_  `  X )  ./\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) ) )  <->  X  =  ( ( X  .\/  Y )  ./\  ( X  .\/  (  ._|_  `  Y
) ) ) ) )
424, 17, 413bitrd 272 1  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  <-> 
X  =  ( ( X  .\/  Y ) 
./\  ( X  .\/  (  ._|_  `  Y )
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   class class class wbr 3997   ` cfv 4673  (class class class)co 5792   Basecbs 13110   occoc 13178   joincjn 14040   meetcmee 14041   Latclat 14113   OPcops 28529   cmccmtN 28530   OLcol 28531   OMLcoml 28532
This theorem is referenced by:  cmtbr3N  28611
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3802  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4281  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-iota 6225  df-undef 6264  df-riota 6272  df-poset 14042  df-lub 14070  df-glb 14071  df-join 14072  df-meet 14073  df-lat 14114  df-oposet 28533  df-cmtN 28534  df-ol 28535  df-oml 28536
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