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Theorem cmtbr2N 30051
Description: Alternate definition of the commutes relation. Remark in [Kalmbach] p. 23. (cmbr2i 23098 analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cmtbr2.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cmtbr2.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cmtbr2.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cmtbr2.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
cmtbr2.c  |-  C  =  ( cm `  K
)
Assertion
Ref Expression
cmtbr2N  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  <-> 
X  =  ( ( X  .\/  Y ) 
./\  ( X  .\/  (  ._|_  `  Y )
) ) ) )

Proof of Theorem cmtbr2N
StepHypRef Expression
1 cmtbr2.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 cmtbr2.o . . 3  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
3 cmtbr2.c . . 3  |-  C  =  ( cm `  K
)
41, 2, 3cmt4N 30050 . 2  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  <-> 
(  ._|_  `  X ) C (  ._|_  `  Y
) ) )
5 simp1 957 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  OML )
6 omlop 30039 . . . . 5  |-  ( K  e.  OML  ->  K  e.  OP )
763ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  OP )
8 simp2 958 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  B )
91, 2opoccl 29992 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X )  e.  B )
107, 8, 9syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X )  e.  B )
11 simp3 959 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  B )
121, 2opoccl 29992 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  Y )  e.  B )
137, 11, 12syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  Y )  e.  B )
14 cmtbr2.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
15 cmtbr2.m . . . 4  |-  ./\  =  ( meet `  K )
161, 14, 15, 2, 3cmtvalN 30009 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  (  ._|_  `  X )  e.  B  /\  (  ._|_  `  Y )  e.  B )  ->  (
(  ._|_  `  X ) C (  ._|_  `  Y
)  <->  (  ._|_  `  X
)  =  ( ( (  ._|_  `  X ) 
./\  (  ._|_  `  Y
) )  .\/  (
(  ._|_  `  X )  ./\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) ) ) ) )
175, 10, 13, 16syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  X
) C (  ._|_  `  Y )  <->  (  ._|_  `  X )  =  ( ( (  ._|_  `  X
)  ./\  (  ._|_  `  Y ) )  .\/  ( (  ._|_  `  X
)  ./\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) ) ) ) )
18 eqcom 2438 . . . 4  |-  ( X  =  ( ( X 
.\/  Y )  ./\  ( X  .\/  (  ._|_  `  Y ) ) )  <-> 
( ( X  .\/  Y )  ./\  ( X  .\/  (  ._|_  `  Y
) ) )  =  X )
1918a1i 11 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  =  ( ( X  .\/  Y
)  ./\  ( X  .\/  (  ._|_  `  Y
) ) )  <->  ( ( X  .\/  Y )  ./\  ( X  .\/  (  ._|_  `  Y ) ) )  =  X ) )
20 omllat 30040 . . . . . 6  |-  ( K  e.  OML  ->  K  e.  Lat )
21203ad2ant1 978 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  Lat )
221, 14latjcl 14479 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  Y
)  e.  B )
2320, 22syl3an1 1217 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  Y
)  e.  B )
241, 14latjcl 14479 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  (  ._|_  `  Y )  e.  B )  ->  ( X  .\/  (  ._|_  `  Y
) )  e.  B
)
2521, 8, 13, 24syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  (  ._|_  `  Y ) )  e.  B )
261, 15latmcl 14480 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  .\/  Y )  e.  B  /\  ( X  .\/  (  ._|_  `  Y
) )  e.  B
)  ->  ( ( X  .\/  Y )  ./\  ( X  .\/  (  ._|_  `  Y ) ) )  e.  B )
2721, 23, 25, 26syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  .\/  Y )  ./\  ( X  .\/  (  ._|_  `  Y
) ) )  e.  B )
281, 2opcon3b 29994 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( ( X  .\/  Y )  ./\  ( X  .\/  (  ._|_  `  Y
) ) )  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  (
( ( X  .\/  Y )  ./\  ( X  .\/  (  ._|_  `  Y
) ) )  =  X  <->  (  ._|_  `  X
)  =  (  ._|_  `  ( ( X  .\/  Y )  ./\  ( X  .\/  (  ._|_  `  Y
) ) ) ) ) )
297, 27, 8, 28syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( ( X 
.\/  Y )  ./\  ( X  .\/  (  ._|_  `  Y ) ) )  =  X  <->  (  ._|_  `  X )  =  ( 
._|_  `  ( ( X 
.\/  Y )  ./\  ( X  .\/  (  ._|_  `  Y ) ) ) ) ) )
30 omlol 30038 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  OML  ->  K  e.  OL )
31303ad2ant1 978 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  OL )
321, 14, 15, 2oldmm1 30015 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OL  /\  ( X  .\/  Y )  e.  B  /\  ( X  .\/  (  ._|_  `  Y
) )  e.  B
)  ->  (  ._|_  `  ( ( X  .\/  Y )  ./\  ( X  .\/  (  ._|_  `  Y
) ) ) )  =  ( (  ._|_  `  ( X  .\/  Y
) )  .\/  (  ._|_  `  ( X  .\/  (  ._|_  `  Y )
) ) ) )
3331, 23, 25, 32syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( ( X  .\/  Y ) 
./\  ( X  .\/  (  ._|_  `  Y )
) ) )  =  ( (  ._|_  `  ( X  .\/  Y ) ) 
.\/  (  ._|_  `  ( X  .\/  (  ._|_  `  Y
) ) ) ) )
341, 14, 15, 2oldmj1 30019 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( X 
.\/  Y ) )  =  ( (  ._|_  `  X )  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) )
3530, 34syl3an1 1217 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( X 
.\/  Y ) )  =  ( (  ._|_  `  X )  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) )
361, 14, 15, 2oldmj1 30019 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  (  ._|_  `  Y )  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( X  .\/  (  ._|_  `  Y )
) )  =  ( (  ._|_  `  X ) 
./\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) ) )
3731, 8, 13, 36syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( X 
.\/  (  ._|_  `  Y
) ) )  =  ( (  ._|_  `  X
)  ./\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) ) )
3835, 37oveq12d 6099 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  ( X  .\/  Y ) ) 
.\/  (  ._|_  `  ( X  .\/  (  ._|_  `  Y
) ) ) )  =  ( ( ( 
._|_  `  X )  ./\  (  ._|_  `  Y )
)  .\/  ( (  ._|_  `  X )  ./\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) ) ) )
3933, 38eqtrd 2468 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( ( X  .\/  Y ) 
./\  ( X  .\/  (  ._|_  `  Y )
) ) )  =  ( ( (  ._|_  `  X )  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) 
.\/  ( (  ._|_  `  X )  ./\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y
) ) ) ) )
4039eqeq2d 2447 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  X
)  =  (  ._|_  `  ( ( X  .\/  Y )  ./\  ( X  .\/  (  ._|_  `  Y
) ) ) )  <-> 
(  ._|_  `  X )  =  ( ( ( 
._|_  `  X )  ./\  (  ._|_  `  Y )
)  .\/  ( (  ._|_  `  X )  ./\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) ) ) ) )
4119, 29, 403bitrrd 272 . 2  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  X
)  =  ( ( (  ._|_  `  X ) 
./\  (  ._|_  `  Y
) )  .\/  (
(  ._|_  `  X )  ./\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) ) )  <->  X  =  ( ( X  .\/  Y )  ./\  ( X  .\/  (  ._|_  `  Y
) ) ) ) )
424, 17, 413bitrd 271 1  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  <-> 
X  =  ( ( X  .\/  Y ) 
./\  ( X  .\/  (  ._|_  `  Y )
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4212   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Basecbs 13469   occoc 13537   joincjn 14401   meetcmee 14402   Latclat 14474   OPcops 29970   cmccmtN 29971   OLcol 29972   OMLcoml 29973
This theorem is referenced by:  cmtbr3N  30052
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-undef 6543  df-riota 6549  df-poset 14403  df-lub 14431  df-glb 14432  df-join 14433  df-meet 14434  df-lat 14475  df-oposet 29974  df-cmtN 29975  df-ol 29976  df-oml 29977
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