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Theorem cmtbr3N 28711
Description: Alternate definition for the commutes relation. Lemma 3 of [Kalmbach] p. 23. (cmbr3 22179 analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cmtbr2.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cmtbr2.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cmtbr2.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cmtbr2.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
cmtbr2.c  |-  C  =  ( cm `  K
)
Assertion
Ref Expression
cmtbr3N  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  <-> 
( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  =  ( X  ./\  Y
) ) )

Proof of Theorem cmtbr3N
StepHypRef Expression
1 cmtbr2.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 cmtbr2.c . . . . 5  |-  C  =  ( cm `  K
)
31, 2cmtcomN 28706 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  <-> 
Y C X ) )
4 cmtbr2.j . . . . . 6  |-  .\/  =  ( join `  K )
5 cmtbr2.m . . . . . 6  |-  ./\  =  ( meet `  K )
6 cmtbr2.o . . . . . 6  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
71, 4, 5, 6, 2cmtbr2N 28710 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OML  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( Y C X  <-> 
Y  =  ( ( Y  .\/  X ) 
./\  ( Y  .\/  (  ._|_  `  X )
) ) ) )
873com23 1159 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y C X  <-> 
Y  =  ( ( Y  .\/  X ) 
./\  ( Y  .\/  (  ._|_  `  X )
) ) ) )
93, 8bitrd 246 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  <-> 
Y  =  ( ( Y  .\/  X ) 
./\  ( Y  .\/  (  ._|_  `  X )
) ) ) )
10 oveq2 5827 . . . . . 6  |-  ( Y  =  ( ( Y 
.\/  X )  ./\  ( Y  .\/  (  ._|_  `  X ) ) )  ->  ( X  ./\  Y )  =  ( X 
./\  ( ( Y 
.\/  X )  ./\  ( Y  .\/  (  ._|_  `  X ) ) ) ) )
1110adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  =  (
( Y  .\/  X
)  ./\  ( Y  .\/  (  ._|_  `  X
) ) ) )  ->  ( X  ./\  Y )  =  ( X 
./\  ( ( Y 
.\/  X )  ./\  ( Y  .\/  (  ._|_  `  X ) ) ) ) )
12 omlol 28697 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  OML  ->  K  e.  OL )
13123ad2ant1 978 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  OL )
14 simp2 958 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  B )
15 omllat 28699 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  OML  ->  K  e.  Lat )
16153ad2ant1 978 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  Lat )
17 simp3 959 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  B )
181, 4latjcl 14150 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( Y  .\/  X
)  e.  B )
1916, 17, 14, 18syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y  .\/  X
)  e.  B )
20 omlop 28698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  OML  ->  K  e.  OP )
21203ad2ant1 978 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  OP )
221, 6opoccl 28651 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X )  e.  B )
2321, 14, 22syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X )  e.  B )
241, 4latjcl 14150 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B  /\  (  ._|_  `  X )  e.  B )  ->  ( Y  .\/  (  ._|_  `  X
) )  e.  B
)
2516, 17, 23, 24syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y  .\/  (  ._|_  `  X ) )  e.  B )
261, 5latmassOLD 28686 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OL  /\  ( X  e.  B  /\  ( Y  .\/  X
)  e.  B  /\  ( Y  .\/  (  ._|_  `  X ) )  e.  B ) )  -> 
( ( X  ./\  ( Y  .\/  X ) )  ./\  ( Y  .\/  (  ._|_  `  X
) ) )  =  ( X  ./\  (
( Y  .\/  X
)  ./\  ( Y  .\/  (  ._|_  `  X
) ) ) ) )
2713, 14, 19, 25, 26syl13anc 1186 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  ( Y  .\/  X ) )  ./\  ( Y  .\/  (  ._|_  `  X
) ) )  =  ( X  ./\  (
( Y  .\/  X
)  ./\  ( Y  .\/  (  ._|_  `  X
) ) ) ) )
281, 4latjcom 14159 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( Y  .\/  X
)  =  ( X 
.\/  Y ) )
2916, 17, 14, 28syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y  .\/  X
)  =  ( X 
.\/  Y ) )
3029oveq2d 5835 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  ( Y  .\/  X ) )  =  ( X  ./\  ( X  .\/  Y ) ) )
311, 4, 5latabs2 14188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  ( X  .\/  Y ) )  =  X )
3215, 31syl3an1 1217 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  ( X  .\/  Y ) )  =  X )
3330, 32eqtrd 2316 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  ( Y  .\/  X ) )  =  X )
341, 4latjcom 14159 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B  /\  (  ._|_  `  X )  e.  B )  ->  ( Y  .\/  (  ._|_  `  X
) )  =  ( (  ._|_  `  X ) 
.\/  Y ) )
3516, 17, 23, 34syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y  .\/  (  ._|_  `  X ) )  =  ( (  ._|_  `  X )  .\/  Y
) )
3633, 35oveq12d 5837 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  ( Y  .\/  X ) )  ./\  ( Y  .\/  (  ._|_  `  X
) ) )  =  ( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) ) )
3727, 36eqtr3d 2318 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  (
( Y  .\/  X
)  ./\  ( Y  .\/  (  ._|_  `  X
) ) ) )  =  ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
) )
3837adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  =  (
( Y  .\/  X
)  ./\  ( Y  .\/  (  ._|_  `  X
) ) ) )  ->  ( X  ./\  ( ( Y  .\/  X )  ./\  ( Y  .\/  (  ._|_  `  X
) ) ) )  =  ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
) )
3911, 38eqtr2d 2317 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  =  (
( Y  .\/  X
)  ./\  ( Y  .\/  (  ._|_  `  X
) ) ) )  ->  ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
)  =  ( X 
./\  Y ) )
4039ex 425 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y  =  ( ( Y  .\/  X
)  ./\  ( Y  .\/  (  ._|_  `  X
) ) )  -> 
( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  =  ( X  ./\  Y
) ) )
419, 40sylbid 208 . 2  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  ->  ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
)  =  ( X 
./\  Y ) ) )
42 simp1 957 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  OML )
431, 6opoccl 28651 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  OP  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  Y )  e.  B )
4421, 17, 43syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  Y )  e.  B )
451, 5latmcl 14151 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  (  ._|_  `  Y )  e.  B )  ->  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y
) )  e.  B
)
4616, 14, 44, 45syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y ) )  e.  B )
4742, 46, 143jca 1134 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( K  e.  OML  /\  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y ) )  e.  B  /\  X  e.  B ) )
48 eqid 2284 . . . . . . . . . 10  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
491, 48, 5latmle1 14176 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  (  ._|_  `  Y )  e.  B )  ->  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y
) ) ( le
`  K ) X )
5016, 14, 44, 49syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) ( le `  K
) X )
511, 48, 4, 5, 6omllaw2N 28701 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y ) )  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  (
( X  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) ( le `  K
) X  ->  (
( X  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) 
.\/  ( (  ._|_  `  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) )  ./\  X )
)  =  X ) )
5247, 50, 51sylc 58 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  (  ._|_  `  Y )
)  .\/  ( (  ._|_  `  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y )
) )  ./\  X
) )  =  X )
531, 6opoccl 28651 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y ) )  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y )
) )  e.  B
)
5421, 46, 53syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( X 
./\  (  ._|_  `  Y
) ) )  e.  B )
551, 5latmcl 14151 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  (  ._|_  `  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) )  e.  B  /\  X  e.  B
)  ->  ( (  ._|_  `  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y )
) )  ./\  X
)  e.  B )
5616, 54, 14, 55syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y
) ) )  ./\  X )  e.  B )
571, 4latjcom 14159 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y ) )  e.  B  /\  ( ( 
._|_  `  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y )
) )  ./\  X
)  e.  B )  ->  ( ( X 
./\  (  ._|_  `  Y
) )  .\/  (
(  ._|_  `  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) )  ./\  X
) )  =  ( ( (  ._|_  `  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y
) ) )  ./\  X )  .\/  ( X 
./\  (  ._|_  `  Y
) ) ) )
5816, 46, 56, 57syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  (  ._|_  `  Y )
)  .\/  ( (  ._|_  `  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y )
) )  ./\  X
) )  =  ( ( (  ._|_  `  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y
) ) )  ./\  X )  .\/  ( X 
./\  (  ._|_  `  Y
) ) ) )
5952, 58eqtr3d 2318 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  =  ( ( (  ._|_  `  ( X 
./\  (  ._|_  `  Y
) ) )  ./\  X )  .\/  ( X 
./\  (  ._|_  `  Y
) ) ) )
6059adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  =  ( X  ./\  Y
) )  ->  X  =  ( ( ( 
._|_  `  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y )
) )  ./\  X
)  .\/  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) ) )
611, 4, 5, 6oldmm3N 28676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( X 
./\  (  ._|_  `  Y
) ) )  =  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
)
6212, 61syl3an1 1217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( X 
./\  (  ._|_  `  Y
) ) )  =  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
)
6362oveq2d 5835 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  (  ._|_  `  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y )
) ) )  =  ( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) ) )
641, 5latmcom 14175 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  (  ._|_  `  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) )  e.  B
)  ->  ( X  ./\  (  ._|_  `  ( X 
./\  (  ._|_  `  Y
) ) ) )  =  ( (  ._|_  `  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) )  ./\  X )
)
6516, 14, 54, 64syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  (  ._|_  `  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y )
) ) )  =  ( (  ._|_  `  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y
) ) )  ./\  X ) )
6663, 65eqtr3d 2318 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  =  ( (  ._|_  `  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y
) ) )  ./\  X ) )
6766eqeq1d 2292 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
)  =  ( X 
./\  Y )  <->  ( (  ._|_  `  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y )
) )  ./\  X
)  =  ( X 
./\  Y ) ) )
68 oveq1 5826 . . . . . . 7  |-  ( ( (  ._|_  `  ( X 
./\  (  ._|_  `  Y
) ) )  ./\  X )  =  ( X 
./\  Y )  -> 
( ( (  ._|_  `  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) )  ./\  X )  .\/  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) )  =  ( ( X  ./\  Y )  .\/  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) ) )
6967, 68syl6bi 221 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
)  =  ( X 
./\  Y )  -> 
( ( (  ._|_  `  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) )  ./\  X )  .\/  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) )  =  ( ( X  ./\  Y )  .\/  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) ) ) )
7069imp 420 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  =  ( X  ./\  Y
) )  ->  (
( (  ._|_  `  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y
) ) )  ./\  X )  .\/  ( X 
./\  (  ._|_  `  Y
) ) )  =  ( ( X  ./\  Y )  .\/  ( X 
./\  (  ._|_  `  Y
) ) ) )
7160, 70eqtrd 2316 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  =  ( X  ./\  Y
) )  ->  X  =  ( ( X 
./\  Y )  .\/  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) ) )
7271ex 425 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
)  =  ( X 
./\  Y )  ->  X  =  ( ( X  ./\  Y )  .\/  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) ) ) )
731, 4, 5, 6, 2cmtvalN 28668 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  <-> 
X  =  ( ( X  ./\  Y )  .\/  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) ) ) )
7472, 73sylibrd 227 . 2  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
)  =  ( X 
./\  Y )  ->  X C Y ) )
7541, 74impbid 185 1  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  <-> 
( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  =  ( X  ./\  Y
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 936    = wceq 1624    e. wcel 1685   class class class wbr 4024   ` cfv 5221  (class class class)co 5819   Basecbs 13142   lecple 13209   occoc 13210   joincjn 14072   meetcmee 14073   Latclat 14145   OPcops 28629   cmccmtN 28630   OLcol 28631   OMLcoml 28632
This theorem is referenced by:  cmtbr4N  28712  omlfh1N  28715
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4308  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-iota 6252  df-undef 6291  df-riota 6299  df-poset 14074  df-lub 14102  df-glb 14103  df-join 14104  df-meet 14105  df-lat 14146  df-oposet 28633  df-cmtN 28634  df-ol 28635  df-oml 28636
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