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Theorem cmtbr3N 29891
Description: Alternate definition for the commutes relation. Lemma 3 of [Kalmbach] p. 23. (cmbr3 23098 analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cmtbr2.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cmtbr2.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cmtbr2.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cmtbr2.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
cmtbr2.c  |-  C  =  ( cm `  K
)
Assertion
Ref Expression
cmtbr3N  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  <-> 
( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  =  ( X  ./\  Y
) ) )

Proof of Theorem cmtbr3N
StepHypRef Expression
1 cmtbr2.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 cmtbr2.c . . . . 5  |-  C  =  ( cm `  K
)
31, 2cmtcomN 29886 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  <-> 
Y C X ) )
4 cmtbr2.j . . . . . 6  |-  .\/  =  ( join `  K )
5 cmtbr2.m . . . . . 6  |-  ./\  =  ( meet `  K )
6 cmtbr2.o . . . . . 6  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
71, 4, 5, 6, 2cmtbr2N 29890 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OML  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( Y C X  <-> 
Y  =  ( ( Y  .\/  X ) 
./\  ( Y  .\/  (  ._|_  `  X )
) ) ) )
873com23 1159 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y C X  <-> 
Y  =  ( ( Y  .\/  X ) 
./\  ( Y  .\/  (  ._|_  `  X )
) ) ) )
93, 8bitrd 245 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  <-> 
Y  =  ( ( Y  .\/  X ) 
./\  ( Y  .\/  (  ._|_  `  X )
) ) ) )
10 oveq2 6080 . . . . . 6  |-  ( Y  =  ( ( Y 
.\/  X )  ./\  ( Y  .\/  (  ._|_  `  X ) ) )  ->  ( X  ./\  Y )  =  ( X 
./\  ( ( Y 
.\/  X )  ./\  ( Y  .\/  (  ._|_  `  X ) ) ) ) )
1110adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  =  (
( Y  .\/  X
)  ./\  ( Y  .\/  (  ._|_  `  X
) ) ) )  ->  ( X  ./\  Y )  =  ( X 
./\  ( ( Y 
.\/  X )  ./\  ( Y  .\/  (  ._|_  `  X ) ) ) ) )
12 omlol 29877 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  OML  ->  K  e.  OL )
13123ad2ant1 978 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  OL )
14 simp2 958 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  B )
15 omllat 29879 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  OML  ->  K  e.  Lat )
16153ad2ant1 978 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  Lat )
17 simp3 959 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  B )
181, 4latjcl 14467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( Y  .\/  X
)  e.  B )
1916, 17, 14, 18syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y  .\/  X
)  e.  B )
20 omlop 29878 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  OML  ->  K  e.  OP )
21203ad2ant1 978 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  OP )
221, 6opoccl 29831 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X )  e.  B )
2321, 14, 22syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X )  e.  B )
241, 4latjcl 14467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B  /\  (  ._|_  `  X )  e.  B )  ->  ( Y  .\/  (  ._|_  `  X
) )  e.  B
)
2516, 17, 23, 24syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y  .\/  (  ._|_  `  X ) )  e.  B )
261, 5latmassOLD 29866 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OL  /\  ( X  e.  B  /\  ( Y  .\/  X
)  e.  B  /\  ( Y  .\/  (  ._|_  `  X ) )  e.  B ) )  -> 
( ( X  ./\  ( Y  .\/  X ) )  ./\  ( Y  .\/  (  ._|_  `  X
) ) )  =  ( X  ./\  (
( Y  .\/  X
)  ./\  ( Y  .\/  (  ._|_  `  X
) ) ) ) )
2713, 14, 19, 25, 26syl13anc 1186 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  ( Y  .\/  X ) )  ./\  ( Y  .\/  (  ._|_  `  X
) ) )  =  ( X  ./\  (
( Y  .\/  X
)  ./\  ( Y  .\/  (  ._|_  `  X
) ) ) ) )
281, 4latjcom 14476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( Y  .\/  X
)  =  ( X 
.\/  Y ) )
2916, 17, 14, 28syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y  .\/  X
)  =  ( X 
.\/  Y ) )
3029oveq2d 6088 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  ( Y  .\/  X ) )  =  ( X  ./\  ( X  .\/  Y ) ) )
311, 4, 5latabs2 14505 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  ( X  .\/  Y ) )  =  X )
3215, 31syl3an1 1217 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  ( X  .\/  Y ) )  =  X )
3330, 32eqtrd 2467 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  ( Y  .\/  X ) )  =  X )
341, 4latjcom 14476 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B  /\  (  ._|_  `  X )  e.  B )  ->  ( Y  .\/  (  ._|_  `  X
) )  =  ( (  ._|_  `  X ) 
.\/  Y ) )
3516, 17, 23, 34syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y  .\/  (  ._|_  `  X ) )  =  ( (  ._|_  `  X )  .\/  Y
) )
3633, 35oveq12d 6090 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  ( Y  .\/  X ) )  ./\  ( Y  .\/  (  ._|_  `  X
) ) )  =  ( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) ) )
3727, 36eqtr3d 2469 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  (
( Y  .\/  X
)  ./\  ( Y  .\/  (  ._|_  `  X
) ) ) )  =  ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
) )
3837adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  =  (
( Y  .\/  X
)  ./\  ( Y  .\/  (  ._|_  `  X
) ) ) )  ->  ( X  ./\  ( ( Y  .\/  X )  ./\  ( Y  .\/  (  ._|_  `  X
) ) ) )  =  ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
) )
3911, 38eqtr2d 2468 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  =  (
( Y  .\/  X
)  ./\  ( Y  .\/  (  ._|_  `  X
) ) ) )  ->  ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
)  =  ( X 
./\  Y ) )
4039ex 424 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y  =  ( ( Y  .\/  X
)  ./\  ( Y  .\/  (  ._|_  `  X
) ) )  -> 
( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  =  ( X  ./\  Y
) ) )
419, 40sylbid 207 . 2  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  ->  ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
)  =  ( X 
./\  Y ) ) )
42 simp1 957 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  OML )
431, 6opoccl 29831 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  OP  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  Y )  e.  B )
4421, 17, 43syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  Y )  e.  B )
451, 5latmcl 14468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  (  ._|_  `  Y )  e.  B )  ->  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y
) )  e.  B
)
4616, 14, 44, 45syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y ) )  e.  B )
4742, 46, 143jca 1134 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( K  e.  OML  /\  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y ) )  e.  B  /\  X  e.  B ) )
48 eqid 2435 . . . . . . . . . 10  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
491, 48, 5latmle1 14493 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  (  ._|_  `  Y )  e.  B )  ->  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y
) ) ( le
`  K ) X )
5016, 14, 44, 49syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) ( le `  K
) X )
511, 48, 4, 5, 6omllaw2N 29881 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y ) )  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  (
( X  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) ( le `  K
) X  ->  (
( X  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) 
.\/  ( (  ._|_  `  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) )  ./\  X )
)  =  X ) )
5247, 50, 51sylc 58 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  (  ._|_  `  Y )
)  .\/  ( (  ._|_  `  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y )
) )  ./\  X
) )  =  X )
531, 6opoccl 29831 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y ) )  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y )
) )  e.  B
)
5421, 46, 53syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( X 
./\  (  ._|_  `  Y
) ) )  e.  B )
551, 5latmcl 14468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  (  ._|_  `  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) )  e.  B  /\  X  e.  B
)  ->  ( (  ._|_  `  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y )
) )  ./\  X
)  e.  B )
5616, 54, 14, 55syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y
) ) )  ./\  X )  e.  B )
571, 4latjcom 14476 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y ) )  e.  B  /\  ( ( 
._|_  `  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y )
) )  ./\  X
)  e.  B )  ->  ( ( X 
./\  (  ._|_  `  Y
) )  .\/  (
(  ._|_  `  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) )  ./\  X
) )  =  ( ( (  ._|_  `  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y
) ) )  ./\  X )  .\/  ( X 
./\  (  ._|_  `  Y
) ) ) )
5816, 46, 56, 57syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  (  ._|_  `  Y )
)  .\/  ( (  ._|_  `  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y )
) )  ./\  X
) )  =  ( ( (  ._|_  `  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y
) ) )  ./\  X )  .\/  ( X 
./\  (  ._|_  `  Y
) ) ) )
5952, 58eqtr3d 2469 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  =  ( ( (  ._|_  `  ( X 
./\  (  ._|_  `  Y
) ) )  ./\  X )  .\/  ( X 
./\  (  ._|_  `  Y
) ) ) )
6059adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  =  ( X  ./\  Y
) )  ->  X  =  ( ( ( 
._|_  `  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y )
) )  ./\  X
)  .\/  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) ) )
611, 4, 5, 6oldmm3N 29856 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( X 
./\  (  ._|_  `  Y
) ) )  =  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
)
6212, 61syl3an1 1217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( X 
./\  (  ._|_  `  Y
) ) )  =  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
)
6362oveq2d 6088 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  (  ._|_  `  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y )
) ) )  =  ( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) ) )
641, 5latmcom 14492 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  (  ._|_  `  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) )  e.  B
)  ->  ( X  ./\  (  ._|_  `  ( X 
./\  (  ._|_  `  Y
) ) ) )  =  ( (  ._|_  `  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) )  ./\  X )
)
6516, 14, 54, 64syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  (  ._|_  `  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y )
) ) )  =  ( (  ._|_  `  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y
) ) )  ./\  X ) )
6663, 65eqtr3d 2469 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  =  ( (  ._|_  `  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y
) ) )  ./\  X ) )
6766eqeq1d 2443 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
)  =  ( X 
./\  Y )  <->  ( (  ._|_  `  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y )
) )  ./\  X
)  =  ( X 
./\  Y ) ) )
68 oveq1 6079 . . . . . . 7  |-  ( ( (  ._|_  `  ( X 
./\  (  ._|_  `  Y
) ) )  ./\  X )  =  ( X 
./\  Y )  -> 
( ( (  ._|_  `  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) )  ./\  X )  .\/  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) )  =  ( ( X  ./\  Y )  .\/  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) ) )
6967, 68syl6bi 220 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
)  =  ( X 
./\  Y )  -> 
( ( (  ._|_  `  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) )  ./\  X )  .\/  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) )  =  ( ( X  ./\  Y )  .\/  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) ) ) )
7069imp 419 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  =  ( X  ./\  Y
) )  ->  (
( (  ._|_  `  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y
) ) )  ./\  X )  .\/  ( X 
./\  (  ._|_  `  Y
) ) )  =  ( ( X  ./\  Y )  .\/  ( X 
./\  (  ._|_  `  Y
) ) ) )
7160, 70eqtrd 2467 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  =  ( X  ./\  Y
) )  ->  X  =  ( ( X 
./\  Y )  .\/  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) ) )
7271ex 424 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
)  =  ( X 
./\  Y )  ->  X  =  ( ( X  ./\  Y )  .\/  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) ) ) )
731, 4, 5, 6, 2cmtvalN 29848 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  <-> 
X  =  ( ( X  ./\  Y )  .\/  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) ) ) )
7472, 73sylibrd 226 . 2  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
)  =  ( X 
./\  Y )  ->  X C Y ) )
7541, 74impbid 184 1  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  <-> 
( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  =  ( X  ./\  Y
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4204   ` cfv 5445  (class class class)co 6072   Basecbs 13457   lecple 13524   occoc 13525   joincjn 14389   meetcmee 14390   Latclat 14462   OPcops 29809   cmccmtN 29810   OLcol 29811   OMLcoml 29812
This theorem is referenced by:  cmtbr4N  29892  omlfh1N  29895
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-undef 6534  df-riota 6540  df-poset 14391  df-lub 14419  df-glb 14420  df-join 14421  df-meet 14422  df-lat 14463  df-oposet 29813  df-cmtN 29814  df-ol 29815  df-oml 29816
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