Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnaddcom Unicode version

Theorem cnaddcom 28428
Description: Recover the commutative law of addition for complex numbers from the Abelian group structure. (Contributed by NM, 17-Mar-2013.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
cnaddcom  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  B
)  =  ( B  +  A ) )

Proof of Theorem cnaddcom
StepHypRef Expression
1 eqid 2284 . . 3  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. }  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. }
21cnaddabl 15153 . 2  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. }  e.  Abel
3 cnex 8813 . . . 4  |-  CC  e.  _V
41grpbase 13242 . . . 4  |-  ( CC  e.  _V  ->  CC  =  ( Base `  { <. ( Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. } ) )
53, 4ax-mp 10 . . 3  |-  CC  =  ( Base `  { <. ( Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. } )
6 addex 10347 . . . 4  |-  +  e.  _V
71grpplusg 13243 . . . 4  |-  (  +  e.  _V  ->  +  =  ( +g  `  { <. ( Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. } ) )
86, 7ax-mp 10 . . 3  |-  +  =  ( +g  `  { <. (
Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. } )
95, 8ablcom 15100 . 2  |-  ( ( { <. ( Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. }  e.  Abel  /\  A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  B )  =  ( B  +  A ) )
102, 9mp3an1 1266 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  B
)  =  ( B  +  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1624    e. wcel 1685   _Vcvv 2789   {cpr 3642   <.cop 3644   ` cfv 5221  (class class class)co 5819   CCcc 8730    + caddc 8735   ndxcnx 13139   Basecbs 13142   +g cplusg 13202   Abelcabel 15084
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-cnex 8788  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808  ax-pre-mulgt0 8809  ax-addf 8811
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-iota 6252  df-riota 6299  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-er 6655  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-fin 6862  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-xr 8866  df-ltxr 8867  df-le 8868  df-sub 9034  df-neg 9035  df-nn 9742  df-2 9799  df-n0 9961  df-z 10020  df-uz 10226  df-fz 10777  df-struct 13144  df-ndx 13145  df-slot 13146  df-base 13147  df-plusg 13215  df-0g 13398  df-mnd 14361  df-grp 14483  df-cmn 15085  df-abl 15086
  Copyright terms: Public domain W3C validator