Theorem cncffvelrnOLD 7238

Description: A continuous complex function's value belongs to its codomain. (Contributed by Paul Chapman, 21-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
cncffvelrnOLD	|- ((A (_ CC /\ B (_ CC /\ F e. (A-cn->B)) -> (C e. A -> (F` C) e. B))

Proof of Theorem cncffvelrnOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elcncf 7236	. . . . 5 |- ((A (_ CC /\ B (_ CC) -> (F e. (A-cn->B) <-> (F:A-->B /\ A.x e. A A.y e. RR+ E.z e. RR+ A.w e. A ((abs` (x - w)) < z -> (abs` ((F` x) - (F` w))) < y))))
2	1	biimpd 153	. . . 4 |- ((A (_ CC /\ B (_ CC) -> (F e. (A-cn->B) -> (F:A-->B /\ A.x e. A A.y e. RR+ E.z e. RR+ A.w e. A ((abs` (x - w)) < z -> (abs` ((F` x) - (F` w))) < y))))
3	2	3impia 829	. . 3 |- ((A (_ CC /\ B (_ CC /\ F e. (A-cn->B)) -> (F:A-->B /\ A.x e. A A.y e. RR+ E.z e. RR+ A.w e. A ((abs` (x - w)) < z -> (abs` ((F` x) - (F` w))) < y)))
4	3	pm3.26d 321	. 2 |- ((A (_ CC /\ B (_ CC /\ F e. (A-cn->B)) -> F:A-->B)
5		ffvelrn 3811	. . 3 |- ((F:A-->B /\ C e. A) -> (F` C) e. B)
6	5	ex 373	. 2 |- (F:A-->B -> (C e. A -> (F` C) e. B))
7	4, 6	syl 10	1 |- ((A (_ CC /\ B (_ CC /\ F e. (A-cn->B)) -> (C e. A -> (F` C) e. B))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 774   e. wcel 957  A.wral 1644  E.wrex 1645   (_ wss 2045   class class class wbr 2616  -->wf 3175  ` cfv 3179  (class class class)co 3960  CCcc 5219   - cmin 5279  RR+crp 5287   < clt 5473  abscabs 6702  -cn->ccncf 7233

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2690  ax-sep 2700  ax-nul 2707  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863  ax-inf2 4612

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-ral 1648  df-rex 1649  df-v 1810  df-sbc 1940  df-csb 2000  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-pss 2053  df-nul 2279  df-if 2360  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-tp 2413  df-op 2414  df-uni 2501  df-br 2617  df-opab 2664  df-tr 2678  df-eprel 2829  df-id 2832  df-po 2837  df-so 2847  df-fr 2914  df-we 2931  df-ord 2948  df-on 2949  df-lim 2950  df-suc 2951  df-om 3129  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-f 3191  df-fv 3195  df-opr 3962  df-oprab 3963  df-qs 4263  df-ni 4987  df-nq 5025  df-np 5073  df-nr 5154  df-c 5227  df-cncf 7234

Copyright terms: Public domain