MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncfmpt1f Unicode version

Theorem cncfmpt1f 18413
Description: Composition of continuous functions.  -cn-> analog of cnmpt11f 17354. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfmpt1f.1  |-  ( ph  ->  F  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
cncfmpt1f.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( X -cn-> CC ) )
Assertion
Ref Expression
cncfmpt1f  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( F `  A
) )  e.  ( X -cn-> CC ) )
Distinct variable groups:    x, F    ph, x    x, X
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
Allowed substitution group:    A( x)

Proof of Theorem cncfmpt1f
StepHypRef Expression
1 cncfmpt1f.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( X -cn-> CC ) )
2 cncff 18393 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( X
-cn-> CC )  ->  (
x  e.  X  |->  A ) : X --> CC )
31, 2syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> CC )
4 eqid 2286 . . . . 5  |-  ( x  e.  X  |->  A )  =  ( x  e.  X  |->  A )
54fmpt 5644 . . . 4  |-  ( A. x  e.  X  A  e.  CC  <->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> CC )
63, 5sylibr 205 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A  e.  CC )
7 eqidd 2287 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A )  =  ( x  e.  X  |->  A ) )
8 cncfmpt1f.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
9 cncff 18393 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( CC -cn-> CC )  ->  F : CC
--> CC )
108, 9syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : CC --> CC )
1110feqmptd 5538 . . 3  |-  ( ph  ->  F  =  ( y  e.  CC  |->  ( F `
 y ) ) )
12 fveq2 5487 . . 3  |-  ( y  =  A  ->  ( F `  y )  =  ( F `  A ) )
136, 7, 11, 12fmptcof 5655 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  o.  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( F `  A ) ) )
141, 8cncfco 18407 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  o.  (
x  e.  X  |->  A ) )  e.  ( X -cn-> CC ) )
1513, 14eqeltrrd 2361 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( F `  A
) )  e.  ( X -cn-> CC ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    e. wcel 1687   A.wral 2546    e. cmpt 4080    o. ccom 4694   -->wf 5219   ` cfv 5223  (class class class)co 5821   CCcc 8732   -cn->ccncf 18376
This theorem is referenced by:  taylthlem2  19749  sincn  19816  coscn  19817  pige3  19881
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1638  ax-8 1646  ax-13 1689  ax-14 1691  ax-6 1706  ax-7 1711  ax-11 1718  ax-12 1870  ax-ext 2267  ax-sep 4144  ax-nul 4152  ax-pow 4189  ax-pr 4215  ax-un 4513  ax-cnex 8790  ax-resscn 8791  ax-1cn 8792  ax-icn 8793  ax-addcl 8794  ax-addrcl 8795  ax-mulcl 8796  ax-mulrcl 8797  ax-mulcom 8798  ax-addass 8799  ax-mulass 8800  ax-distr 8801  ax-i2m1 8802  ax-1ne0 8803  ax-1rid 8804  ax-rnegex 8805  ax-rrecex 8806  ax-cnre 8807  ax-pre-lttri 8808  ax-pre-lttrn 8809  ax-pre-ltadd 8810  ax-pre-mulgt0 8811
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1633  df-eu 2150  df-mo 2151  df-clab 2273  df-cleq 2279  df-clel 2282  df-nfc 2411  df-ne 2451  df-nel 2452  df-ral 2551  df-rex 2552  df-reu 2553  df-rmo 2554  df-rab 2555  df-v 2793  df-sbc 2995  df-csb 3085  df-dif 3158  df-un 3160  df-in 3162  df-ss 3169  df-nul 3459  df-if 3569  df-pw 3630  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3831  df-br 4027  df-opab 4081  df-mpt 4082  df-id 4310  df-po 4315  df-so 4316  df-xp 4696  df-rel 4697  df-cnv 4698  df-co 4699  df-dm 4700  df-rn 4701  df-res 4702  df-ima 4703  df-fun 5225  df-fn 5226  df-f 5227  df-f1 5228  df-fo 5229  df-f1o 5230  df-fv 5231  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpt2 5826  df-iota 6254  df-riota 6301  df-er 6657  df-map 6771  df-en 6861  df-dom 6862  df-sdom 6863  df-pnf 8866  df-mnf 8867  df-xr 8868  df-ltxr 8869  df-le 8870  df-sub 9036  df-neg 9037  df-div 9421  df-2 9801  df-cj 11580  df-re 11581  df-im 11582  df-abs 11717  df-cncf 18378
  Copyright terms: Public domain W3C validator