MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncfmpt1f Structured version   Unicode version

Theorem cncfmpt1f 18943
Description: Composition of continuous functions.  -cn-> analog of cnmpt11f 17696. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfmpt1f.1  |-  ( ph  ->  F  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
cncfmpt1f.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( X -cn-> CC ) )
Assertion
Ref Expression
cncfmpt1f  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( F `  A
) )  e.  ( X -cn-> CC ) )
Distinct variable groups:    x, F    ph, x    x, X
Allowed substitution hint:    A( x)

Proof of Theorem cncfmpt1f
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncfmpt1f.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( X -cn-> CC ) )
2 cncff 18923 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( X
-cn-> CC )  ->  (
x  e.  X  |->  A ) : X --> CC )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> CC )
4 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( x  e.  X  |->  A )  =  ( x  e.  X  |->  A )
54fmpt 5890 . . . 4  |-  ( A. x  e.  X  A  e.  CC  <->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> CC )
63, 5sylibr 204 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A  e.  CC )
7 eqidd 2437 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A )  =  ( x  e.  X  |->  A ) )
8 cncfmpt1f.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
9 cncff 18923 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( CC -cn-> CC )  ->  F : CC
--> CC )
108, 9syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : CC --> CC )
1110feqmptd 5779 . . 3  |-  ( ph  ->  F  =  ( y  e.  CC  |->  ( F `
 y ) ) )
12 fveq2 5728 . . 3  |-  ( y  =  A  ->  ( F `  y )  =  ( F `  A ) )
136, 7, 11, 12fmptcof 5902 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  o.  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( F `  A ) ) )
141, 8cncfco 18937 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  o.  (
x  e.  X  |->  A ) )  e.  ( X -cn-> CC ) )
1513, 14eqeltrrd 2511 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( F `  A
) )  e.  ( X -cn-> CC ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1725   A.wral 2705    e. cmpt 4266    o. ccom 4882   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   -cn->ccncf 18906
This theorem is referenced by:  taylthlem2  20290  sincn  20360  coscn  20361  pige3  20425  ftc1cnnclem  26278  ftc2nc  26289
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-2 10058  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-abs 12041  df-cncf 18908
  Copyright terms: Public domain W3C validator