MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncfmpt2f Unicode version

Theorem cncfmpt2f 18380
Description: Composition of continuous functions.  -cn-> analog of cnmpt12f 17322. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfmpt2f.1  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
cncfmpt2f.2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J ) )
cncfmpt2f.3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( X -cn-> CC ) )
cncfmpt2f.4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( X -cn-> CC ) )
Assertion
Ref Expression
cncfmpt2f  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( A F B ) )  e.  ( X -cn-> CC ) )
Distinct variable groups:    x, F    x, J    ph, x    x, X
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)

Proof of Theorem cncfmpt2f
StepHypRef Expression
1 cncfmpt2f.1 . . . . 5  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
21cnfldtopon 18254 . . . 4  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
3 cncfmpt2f.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( X -cn-> CC ) )
4 cncfrss 18357 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( X
-cn-> CC )  ->  X  C_  CC )
53, 4syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  C_  CC )
6 resttopon 16854 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  X  C_  CC )  ->  ( Jt  X )  e.  (TopOn `  X ) )
72, 5, 6sylancr 647 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Jt  X )  e.  (TopOn `  X ) )
8 ssid 3172 . . . . 5  |-  CC  C_  CC
9 eqid 2258 . . . . . 6  |-  ( Jt  X )  =  ( Jt  X )
102toponunii 16632 . . . . . . . . 9  |-  CC  =  U. J
1110restid 13300 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  (TopOn `  CC )  ->  ( Jt  CC )  =  J )
122, 11ax-mp 10 . . . . . . 7  |-  ( Jt  CC )  =  J
1312eqcomi 2262 . . . . . 6  |-  J  =  ( Jt  CC )
141, 9, 13cncfcn 18375 . . . . 5  |-  ( ( X  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( X -cn-> CC )  =  ( ( Jt  X )  Cn  J
) )
155, 8, 14sylancl 646 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X -cn-> CC )  =  ( ( Jt  X )  Cn  J ) )
163, 15eleqtrd 2334 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( ( Jt  X )  Cn  J
) )
17 cncfmpt2f.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( X -cn-> CC ) )
1817, 15eleqtrd 2334 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( ( Jt  X )  Cn  J
) )
19 cncfmpt2f.2 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J ) )
207, 16, 18, 19cnmpt12f 17322 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( A F B ) )  e.  ( ( Jt  X )  Cn  J
) )
2120, 15eleqtrrd 2335 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( A F B ) )  e.  ( X -cn-> CC ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1619    e. wcel 1621    C_ wss 3127    e. cmpt 4051   ` cfv 4673  (class class class)co 5792   CCcc 8703   ↾t crest 13287   TopOpenctopn 13288  ℂfldccnfld 16339  TopOnctopon 16594    Cn ccn 16916    tX ctx 17217   -cn->ccncf 18342
This theorem is referenced by:  cncfmpt2ss  18381  negcncf  18383  dvcnp2  19231  dvlipcn  19303  dvfsumabs  19332  ftc2  19353  itgparts  19356  itgsubstlem  19357  taylthlem2  19715  sincn  19782  coscn  19783  logcn  19956  loglesqr  20060  pntlem3  20720  addccncf  25846  sub1cncf  25848  sub2cncf  25849
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782  ax-pre-sup 8783
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-iota 6225  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-1o 6447  df-oadd 6451  df-er 6628  df-map 6742  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-fin 6835  df-fi 7133  df-sup 7162  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-div 9392  df-n 9715  df-2 9772  df-3 9773  df-4 9774  df-5 9775  df-6 9776  df-7 9777  df-8 9778  df-9 9779  df-10 9780  df-n0 9933  df-z 9992  df-dec 10092  df-uz 10198  df-q 10284  df-rp 10322  df-xneg 10419  df-xadd 10420  df-xmul 10421  df-fz 10749  df-seq 11013  df-exp 11071  df-cj 11549  df-re 11550  df-im 11551  df-sqr 11685  df-abs 11686  df-struct 13112  df-ndx 13113  df-slot 13114  df-base 13115  df-plusg 13183  df-mulr 13184  df-starv 13185  df-tset 13189  df-ple 13190  df-ds 13192  df-rest 13289  df-topn 13290  df-topgen 13306  df-xmet 16335  df-met 16336  df-bl 16337  df-mopn 16338  df-cnfld 16340  df-top 16598  df-bases 16600  df-topon 16601  df-topsp 16602  df-cn 16919  df-cnp 16920  df-tx 17219  df-xms 17847  df-ms 17848  df-cncf 18344
  Copyright terms: Public domain W3C validator