MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncfmpt2f Unicode version

Theorem cncfmpt2f 18434
Description: Composition of continuous functions.  -cn-> analog of cnmpt12f 17376. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfmpt2f.1  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
cncfmpt2f.2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J ) )
cncfmpt2f.3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( X -cn-> CC ) )
cncfmpt2f.4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( X -cn-> CC ) )
Assertion
Ref Expression
cncfmpt2f  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( A F B ) )  e.  ( X -cn-> CC ) )
Distinct variable groups:    x, F    x, J    ph, x    x, X
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)

Proof of Theorem cncfmpt2f
StepHypRef Expression
1 cncfmpt2f.1 . . . . 5  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
21cnfldtopon 18308 . . . 4  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
3 cncfmpt2f.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( X -cn-> CC ) )
4 cncfrss 18411 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( X
-cn-> CC )  ->  X  C_  CC )
53, 4syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  C_  CC )
6 resttopon 16908 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  X  C_  CC )  ->  ( Jt  X )  e.  (TopOn `  X ) )
72, 5, 6sylancr 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Jt  X )  e.  (TopOn `  X ) )
8 ssid 3210 . . . . 5  |-  CC  C_  CC
9 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( Jt  X )  =  ( Jt  X )
102toponunii 16686 . . . . . . . . 9  |-  CC  =  U. J
1110restid 13354 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  (TopOn `  CC )  ->  ( Jt  CC )  =  J )
122, 11ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( Jt  CC )  =  J
1312eqcomi 2300 . . . . . 6  |-  J  =  ( Jt  CC )
141, 9, 13cncfcn 18429 . . . . 5  |-  ( ( X  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( X -cn-> CC )  =  ( ( Jt  X )  Cn  J
) )
155, 8, 14sylancl 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X -cn-> CC )  =  ( ( Jt  X )  Cn  J ) )
163, 15eleqtrd 2372 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( ( Jt  X )  Cn  J
) )
17 cncfmpt2f.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( X -cn-> CC ) )
1817, 15eleqtrd 2372 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( ( Jt  X )  Cn  J
) )
19 cncfmpt2f.2 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J ) )
207, 16, 18, 19cnmpt12f 17376 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( A F B ) )  e.  ( ( Jt  X )  Cn  J
) )
2120, 15eleqtrrd 2373 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( A F B ) )  e.  ( X -cn-> CC ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696    C_ wss 3165    e. cmpt 4093   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   ↾t crest 13341   TopOpenctopn 13342  ℂfldccnfld 16393  TopOnctopon 16648    Cn ccn 16970    tX ctx 17271   -cn->ccncf 18396
This theorem is referenced by:  cncfmpt2ss  18435  negcncf  18437  dvcnp2  19285  dvlipcn  19357  dvfsumabs  19386  ftc2  19407  itgparts  19410  itgsubstlem  19411  taylthlem2  19769  sincn  19836  coscn  19837  logcn  20010  loglesqr  20114  pntlem3  20774  ftc1cnnclem  25024  areacirclem3  25029  areacirclem1  25031  areacirclem5  25032  addccncf  26582  sub1cncf  26584  sub2cncf  26585  mulcncf  27823
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-fz 10799  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-tx 17273  df-xms 17901  df-ms 17902  df-cncf 18398
  Copyright terms: Public domain W3C validator