Theorem cncms 7998

Description: The set of complex numbers is a complete metric space under the absolute value metric.

Hypothesis

Ref	Expression
cncms.1	|- D = (abs o. - )

Assertion

Ref	Expression
cncms	|- D e. CMet

Proof of Theorem cncms

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncms.1	. . 3 |- D = (abs o. - )
2	1	cnmetba 7903	. 2 |- CC = dom dom D
3	1	cnmet 7904	. 2 |- D e. Met
4		caucvg3t 7168	. . . 4 |- ((f:NN-->CC /\ A.v e. RR (0 < v -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (abs` ((f` k) - (f` j))) < v))) -> E.w e. CC f ~~> w)
5		pm3.27 323	. . . 4 |- ((f e. (Cau` D) /\ f:NN-->CC) -> f:NN-->CC)
6		1z 6159	. . . . . . . 8 |- 1 e. ZZ
7		nnuz 6439	. . . . . . . 8 |- NN = (ZZ>` 1)
8	2, 6, 7	iscauf 7939	. . . . . . 7 |- ((D e. Met /\ f:NN-->CC) -> (f e. (Cau` D) <-> A.v e. RR (0 < v -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((f` j)D(f` k)) < v))))
9	3, 8	mpan 695	. . . . . 6 |- (f:NN-->CC -> (f e. (Cau` D) <-> A.v e. RR (0 < v -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((f` j)D(f` k)) < v))))
10	1	cnmetdval 7902	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((f` j) e. CC /\ (f` k) e. CC) -> ((f` j)D(f` k)) = (abs` ((f` j) - (f` k))))
11		abssubt 6894	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((f` j) e. CC /\ (f` k) e. CC) -> (abs` ((f` j) - (f` k))) = (abs` ((f` k) - (f` j))))
12	10, 11	eqtrd 1507	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((f` j) e. CC /\ (f` k) e. CC) -> ((f` j)D(f` k)) = (abs` ((f` k) - (f` j))))
13		ffvelrn 3814	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((f:NN-->CC /\ j e. NN) -> (f` j) e. CC)
14	13	adantr 389	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((f:NN-->CC /\ j e. NN) /\ k e. NN) -> (f` j) e. CC)
15		ffvelrn 3814	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((f:NN-->CC /\ k e. NN) -> (f` k) e. CC)
16	15	adantlr 393	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((f:NN-->CC /\ j e. NN) /\ k e. NN) -> (f` k) e. CC)
17	12, 14, 16	sylanc 471	. . . . . . . . . . . 12 |- (((f:NN-->CC /\ j e. NN) /\ k e. NN) -> ((f` j)D(f` k)) = (abs` ((f` k) - (f` j))))
18	17	breq1d 2629	. . . . . . . . . . 11 |- (((f:NN-->CC /\ j e. NN) /\ k e. NN) -> (((f` j)D(f` k)) < v <-> (abs` ((f` k) - (f` j))) < v))
19	18	imbi2d 612	. . . . . . . . . 10 |- (((f:NN-->CC /\ j e. NN) /\ k e. NN) -> ((j <_ k -> ((f` j)D(f` k)) < v) <-> (j <_ k -> (abs` ((f` k) - (f` j))) < v)))
20	19	ralbidva 1659	. . . . . . . . 9 |- ((f:NN-->CC /\ j e. NN) -> (A.k e. NN (j <_ k -> ((f` j)D(f` k)) < v) <-> A.k e. NN (j <_ k -> (abs` ((f` k) - (f` j))) < v)))
21	20	rexbidva 1660	. . . . . . . 8 |- (f:NN-->CC -> (E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((f` j)D(f` k)) < v) <-> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (abs` ((f` k) - (f` j))) < v)))
22	21	imbi2d 612	. . . . . . 7 |- (f:NN-->CC -> ((0 < v -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((f` j)D(f` k)) < v)) <-> (0 < v -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (abs` ((f` k) - (f` j))) < v))))
23	22	ralbidv 1663	. . . . . 6 |- (f:NN-->CC -> (A.v e. RR (0 < v -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((f` j)D(f` k)) < v)) <-> A.v e. RR (0 < v -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (abs` ((f` k) - (f` j))) < v))))
24	9, 23	bitrd 528	. . . . 5 |- (f:NN-->CC -> (f e. (Cau` D) <-> A.v e. RR (0 < v -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (abs` ((f` k) - (f` j))) < v))))
25	24	biimpac 418	. . . 4 |- ((f e. (Cau` D) /\ f:NN-->CC) -> A.v e. RR (0 < v -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (abs` ((f` k) - (f` j))) < v)))
26	4, 5, 25	sylanc 471	. . 3 |- ((f e. (Cau` D) /\ f:NN-->CC) -> E.w e. CC f ~~> w)
27		visset 1813	. . . . . 6 |- w e. V
28	1	lmclimnn 7964	. . . . . 6 |- ((w e. V /\ f:NN-->CC) -> (f(~~>m` D)w <-> f ~~> w))
29	27, 28	mpan 695	. . . . 5 |- (f:NN-->CC -> (f(~~>m` D)w <-> f ~~> w))
30	29	rexbidv 1664	. . . 4 |- (f:NN-->CC -> (E.w e. CC f(~~>m` D)w <-> E.w e. CC f ~~> w))
31	30	adantl 388	. . 3 |- ((f e. (Cau` D) /\ f:NN-->CC) -> (E.w e. CC f(~~>m` D)w <-> E.w e. CC f ~~> w))
32	26, 31	mpbird 196	. 2 |- ((f e. (Cau` D) /\ f:NN-->CC) -> E.w e. CC f(~~>m` D)w)
33	2, 3, 32	iscms2i 7995	1 |- D e. CMet

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  E.wrex 1646  Vcvv 1811   class class class wbr 2619   o. ccom 3174  -->wf 3178  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  RRcr 5233  0cc0 5234  1c1 5235   - cmin 5292   <_ cle 5295  NNcn 5296   < clt 5486  abscabs 6750   ~~> cli 6974  Metcme 7789  ~~>mclm 7919  Caucca 7920  CMetcms 7921

This theorem is referenced by:  bcth 8032  cnbn 8528

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-n0 6100  df-z 6136  df-seq1 6308  df-uz 6418  df-exp 6569  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754  df-clim 6975  df-met 7793  df-lm 7922  df-cau 7923  df-cmet 7924

Copyright terms: Public domain