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Theorem cncnp 16971
Description: A continuous function is continuous at all points. Theorem 7.2(g) of [Munkres] p. 107. (Contributed by NM, 15-May-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cncnp  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, F    x, J    x, K    x, X    x, Y

Proof of Theorem cncnp
StepHypRef Expression
1 iscn 16927 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. y  e.  K  ( `' F " y )  e.  J ) ) )
21simprbda 609 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  F : X --> Y )
3 eqid 2258 . . . . . . 7  |-  U. J  =  U. J
43cncnpi 16969 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  x  e.  U. J )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
)
54ralrimiva 2601 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  A. x  e.  U. J F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) )
65adantl 454 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  A. x  e.  U. J F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) )
7 toponuni 16627 . . . . . 6  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
87ad2antrr 709 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  X  =  U. J )
98raleqdv 2717 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  <->  A. x  e.  U. J F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) )
106, 9mpbird 225 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) )
112, 10jca 520 . 2  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) )
12 simprl 735 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) )  ->  F : X --> Y )
13 cnvimass 5021 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' F " y ) 
C_  dom  F
14 fdm 5331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : X --> Y  ->  dom  F  =  X )
1514adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  y  e.  K )  /\  F : X --> Y )  ->  dom  F  =  X )
1613, 15syl5sseq 3201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  y  e.  K )  /\  F : X --> Y )  ->  ( `' F " y )  C_  X
)
17 ssralv 3212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' F " y ) 
C_  X  ->  ( A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  ->  A. x  e.  ( `' F "
y ) F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) )
1816, 17syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  y  e.  K )  /\  F : X --> Y )  ->  ( A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  ->  A. x  e.  ( `' F " y ) F  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 x ) ) )
19 simprr 736 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  y  e.  K
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
x  e.  ( `' F " y )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
) )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) )
20 simpllr 738 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  y  e.  K
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
x  e.  ( `' F " y )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
) )  ->  y  e.  K )
21 ffn 5327 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : X --> Y  ->  F  Fn  X )
2221ad2antlr 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  y  e.  K
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
x  e.  ( `' F " y )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
) )  ->  F  Fn  X )
23 simprl 735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  y  e.  K
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
x  e.  ( `' F " y )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
) )  ->  x  e.  ( `' F "
y ) )
24 elpreima 5579 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  Fn  X  ->  (
x  e.  ( `' F " y )  <-> 
( x  e.  X  /\  ( F `  x
)  e.  y ) ) )
2524simplbda 610 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  Fn  X  /\  x  e.  ( `' F " y ) )  ->  ( F `  x )  e.  y )
2622, 23, 25syl2anc 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  y  e.  K
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
x  e.  ( `' F " y )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
) )  ->  ( F `  x )  e.  y )
27 cnpimaex 16948 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 x )  /\  y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y )  ->  E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  ( F " u
)  C_  y )
)
2819, 20, 26, 27syl3anc 1187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  y  e.  K
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
x  e.  ( `' F " y )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
) )  ->  E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  ( F " u )  C_  y ) )
29 simpllr 738 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  y  e.  K )  /\  F : X --> Y )  /\  ( x  e.  ( `' F " y )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
) )  /\  u  e.  J )  ->  F : X --> Y )
30 ffun 5329 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F : X --> Y  ->  Fun  F )
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  y  e.  K )  /\  F : X --> Y )  /\  ( x  e.  ( `' F " y )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
) )  /\  u  e.  J )  ->  Fun  F )
32 simpll 733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  y  e.  K )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
3332ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  y  e.  K
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
x  e.  ( `' F " y )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
) )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
34 toponss 16629 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  u  e.  J )  ->  u  C_  X )
3533, 34sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  y  e.  K )  /\  F : X --> Y )  /\  ( x  e.  ( `' F " y )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
) )  /\  u  e.  J )  ->  u  C_  X )
3629, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  y  e.  K )  /\  F : X --> Y )  /\  ( x  e.  ( `' F " y )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
) )  /\  u  e.  J )  ->  dom  F  =  X )
3735, 36sseqtr4d 3190 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  y  e.  K )  /\  F : X --> Y )  /\  ( x  e.  ( `' F " y )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
) )  /\  u  e.  J )  ->  u  C_ 
dom  F )
38 funimass3 5575 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Fun  F  /\  u  C_ 
dom  F )  -> 
( ( F "
u )  C_  y  <->  u 
C_  ( `' F " y ) ) )
3931, 37, 38syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  y  e.  K )  /\  F : X --> Y )  /\  ( x  e.  ( `' F " y )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
) )  /\  u  e.  J )  ->  (
( F " u
)  C_  y  <->  u  C_  ( `' F " y ) ) )
4039anbi2d 687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  y  e.  K )  /\  F : X --> Y )  /\  ( x  e.  ( `' F " y )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
) )  /\  u  e.  J )  ->  (
( x  e.  u  /\  ( F " u
)  C_  y )  <->  ( x  e.  u  /\  u  C_  ( `' F " y ) ) ) )
4140rexbidva 2535 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  y  e.  K
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
x  e.  ( `' F " y )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
) )  ->  ( E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  ( F " u
)  C_  y )  <->  E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  ( `' F " y ) ) ) )
4228, 41mpbid 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  y  e.  K
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
x  e.  ( `' F " y )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
) )  ->  E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  ( `' F "
y ) ) )
4342expr 601 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  y  e.  K
)  /\  F : X
--> Y )  /\  x  e.  ( `' F "
y ) )  -> 
( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )  ->  E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  ( `' F " y ) ) ) )
4443ralimdva 2596 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  y  e.  K )  /\  F : X --> Y )  ->  ( A. x  e.  ( `' F "
y ) F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  ->  A. x  e.  ( `' F " y ) E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  ( `' F " y ) ) ) )
4518, 44syld 42 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  y  e.  K )  /\  F : X --> Y )  ->  ( A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  ->  A. x  e.  ( `' F " y ) E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  ( `' F " y ) ) ) )
4645impr 605 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  y  e.  K )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
) )  ->  A. x  e.  ( `' F "
y ) E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  ( `' F "
y ) ) )
4746an32s 782 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) )  /\  y  e.  K )  ->  A. x  e.  ( `' F "
y ) E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  ( `' F "
y ) ) )
48 topontop 16626 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
4948ad3antrrr 713 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) )  /\  y  e.  K )  ->  J  e.  Top )
50 eltop2 16675 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( `' F "
y )  e.  J  <->  A. x  e.  ( `' F " y ) E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  ( `' F " y ) ) ) )
5149, 50syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) )  /\  y  e.  K )  ->  (
( `' F "
y )  e.  J  <->  A. x  e.  ( `' F " y ) E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  ( `' F " y ) ) ) )
5247, 51mpbird 225 . . . 4  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) )  /\  y  e.  K )  ->  ( `' F " y )  e.  J )
5352ralrimiva 2601 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) )  ->  A. y  e.  K  ( `' F " y )  e.  J )
541adantr 453 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  K  ( `' F " y )  e.  J ) ) )
5512, 53, 54mpbir2and 893 . 2  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) )  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
5611, 55impbida 808 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2518   E.wrex 2519    C_ wss 3127   U.cuni 3801   `'ccnv 4660   dom cdm 4661   "cima 4664   Fun wfun 4667    Fn wfn 4668   -->wf 4669   ` cfv 4673  (class class class)co 5792   Topctop 16593  TopOnctopon 16594    Cn ccn 16916    CnP ccnp 16917
This theorem is referenced by:  cncnp2  16972  cnconst2  16973  1stccn  17151  ptcn  17283  cnflf  17659  cnfcf  17699  symgtgp  17746  ghmcnp  17759  metcn  18051  txmetcn  18056  cnlimc  19200  dvcn  19232  dvcnvre  19328  psercn  19764  abelth  19779  cxpcn3  20050  cvmlift2lem11  23216  cvmlift2lem12  23217  cvmlift3lem8  23229
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3802  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4281  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-map 6742  df-topgen 13306  df-top 16598  df-topon 16601  df-cn 16919  df-cnp 16920
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