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Theorem cncnpi 17007
Description: A continuous function is continuous at all points. One direction of Theorem 7.2(g) of [Munkres] p. 107. (Contributed by Raph Levien, 20-Nov-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnsscnp.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
cncnpi  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  A  e.  X )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 A ) )

Proof of Theorem cncnpi
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnsscnp.1 . . . 4  |-  X  = 
U. J
2 eqid 2283 . . . 4  |-  U. K  =  U. K
31, 2cnf 16976 . . 3  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F : X --> U. K )
43adantr 451 . 2  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  A  e.  X )  ->  F : X --> U. K
)
5 cnima 16994 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  y  e.  K )  ->  ( `' F "
y )  e.  J
)
65ad2ant2r 727 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  A  e.  X
)  /\  ( y  e.  K  /\  ( F `  A )  e.  y ) )  -> 
( `' F "
y )  e.  J
)
7 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  A  e.  X )  ->  A  e.  X )
87adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  A  e.  X
)  /\  ( y  e.  K  /\  ( F `  A )  e.  y ) )  ->  A  e.  X )
9 simprr 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  A  e.  X
)  /\  ( y  e.  K  /\  ( F `  A )  e.  y ) )  -> 
( F `  A
)  e.  y )
103ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  A  e.  X
)  /\  ( y  e.  K  /\  ( F `  A )  e.  y ) )  ->  F : X --> U. K
)
11 ffn 5389 . . . . . . 7  |-  ( F : X --> U. K  ->  F  Fn  X )
12 elpreima 5645 . . . . . . 7  |-  ( F  Fn  X  ->  ( A  e.  ( `' F " y )  <->  ( A  e.  X  /\  ( F `  A )  e.  y ) ) )
1310, 11, 123syl 18 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  A  e.  X
)  /\  ( y  e.  K  /\  ( F `  A )  e.  y ) )  -> 
( A  e.  ( `' F " y )  <-> 
( A  e.  X  /\  ( F `  A
)  e.  y ) ) )
148, 9, 13mpbir2and 888 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  A  e.  X
)  /\  ( y  e.  K  /\  ( F `  A )  e.  y ) )  ->  A  e.  ( `' F " y ) )
15 eqimss 3230 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( `' F " y )  ->  x  C_  ( `' F "
y ) )
1615biantrud 493 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( `' F " y )  ->  ( A  e.  x  <->  ( A  e.  x  /\  x  C_  ( `' F "
y ) ) ) )
17 eleq2 2344 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( `' F " y )  ->  ( A  e.  x  <->  A  e.  ( `' F " y ) ) )
1816, 17bitr3d 246 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( `' F " y )  ->  (
( A  e.  x  /\  x  C_  ( `' F " y ) )  <->  A  e.  ( `' F " y ) ) )
1918rspcev 2884 . . . . 5  |-  ( ( ( `' F "
y )  e.  J  /\  A  e.  ( `' F " y ) )  ->  E. x  e.  J  ( A  e.  x  /\  x  C_  ( `' F "
y ) ) )
206, 14, 19syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  A  e.  X
)  /\  ( y  e.  K  /\  ( F `  A )  e.  y ) )  ->  E. x  e.  J  ( A  e.  x  /\  x  C_  ( `' F " y ) ) )
2120expr 598 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  K )  ->  (
( F `  A
)  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( A  e.  x  /\  x  C_  ( `' F " y ) ) ) )
2221ralrimiva 2626 . 2  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  A  e.  X )  ->  A. y  e.  K  ( ( F `  A )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( A  e.  x  /\  x  C_  ( `' F " y ) ) ) )
23 cntop1 16970 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  J  e.  Top )
2423adantr 451 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  A  e.  X )  ->  J  e.  Top )
251toptopon 16671 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2624, 25sylib 188 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  A  e.  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
27 cntop2 16971 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  K  e.  Top )
2827adantr 451 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  A  e.  X )  ->  K  e.  Top )
292toptopon 16671 . . . 4  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
3028, 29sylib 188 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  A  e.  X )  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
31 iscnp3 16974 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  A  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  <-> 
( F : X --> U. K  /\  A. y  e.  K  ( ( F `  A )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( A  e.  x  /\  x  C_  ( `' F "
y ) ) ) ) ) )
3226, 30, 7, 31syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  A  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )  <->  ( F : X --> U. K  /\  A. y  e.  K  ( ( F `  A )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( A  e.  x  /\  x  C_  ( `' F " y ) ) ) ) ) )
334, 22, 32mpbir2and 888 1  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  A  e.  X )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    C_ wss 3152   U.cuni 3827   `'ccnv 4688   "cima 4692    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Topctop 16631  TopOnctopon 16632    Cn ccn 16954    CnP ccnp 16955
This theorem is referenced by:  cnsscnp  17008  cncnp  17009  lmcn  17033  ptcn  17321  tmdcn2  17772  ghmcnp  17797  tsmsmhm  17828  tsmsadd  17829  dvcnp2  19269  dvaddbr  19287  dvmulbr  19288  dvcobr  19295  dvcjbr  19298  dvcnvlem  19323  lhop1lem  19360  dvcnvrelem2  19365  ftc1cn  19390  taylthlem2  19753  psercn  19802  abelth  19817  cxpcn3  20088  efrlim  20264  blocni  21383  cvmlift2lem11  23844  cvmlift2lem12  23845  cvmlift3lem7  23856
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-map 6774  df-top 16636  df-topon 16639  df-cn 16957  df-cnp 16958
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