Theorem cncnpi 7712

Description: A continuous function is continuous at all points. One direction of Theorem 7.2(g) of [Munkres] p. 107. (Contributed by Raph Levien, 20-Nov-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnsscnp.1	|- X = U.J
cnsscnp.2	|- Y = U.K

Assertion

Ref	Expression
cncnpi	|- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ (F e. (J Cn K) /\ A e. X)) -> F e. ((J CnP K)` A))

Proof of Theorem cncnpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnsscnp.1	. . . . . 6 |- X = U.J
2		cnsscnp.2	. . . . . 6 |- Y = U.K
3	1, 2	cnsscnp 7711	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ A e. X) -> (J Cn K) (_ ((J CnP K)` A))
4	3	sseld 2057	. . . 4 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ A e. X) -> (F e. (J Cn K) -> F e. ((J CnP K)` A)))
5	4	3expia 833	. . 3 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (A e. X -> (F e. (J Cn K) -> F e. ((J CnP K)` A))))
6	5	com23 32	. 2 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (F e. (J Cn K) -> (A e. X -> F e. ((J CnP K)` A))))
7	6	imp32 363	1 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ (F e. (J Cn K) /\ A e. X)) -> F e. ((J CnP K)` A))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 773   = wceq 953   e. wcel 955  U.cuni 2493  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  Topctop 7530   Cn ccn 7692   CnP ccnp 7693

This theorem is referenced by:  blocni 8396

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-id 2824  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-map 4308  df-cn 7694  df-cnp 7695

Copyright terms: Public domain