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Theorem cncnpi 16955
Description: A continuous function is continuous at all points. One direction of Theorem 7.2(g) of [Munkres] p. 107. (Contributed by Raph Levien, 20-Nov-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnsscnp.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
cncnpi  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  A  e.  X )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 A ) )

Proof of Theorem cncnpi
StepHypRef Expression
1 cnsscnp.1 . . . 4  |-  X  = 
U. J
2 eqid 2256 . . . 4  |-  U. K  =  U. K
31, 2cnf 16924 . . 3  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F : X --> U. K )
43adantr 453 . 2  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  A  e.  X )  ->  F : X --> U. K
)
5 cnima 16942 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  y  e.  K )  ->  ( `' F "
y )  e.  J
)
65ad2ant2r 730 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  A  e.  X
)  /\  ( y  e.  K  /\  ( F `  A )  e.  y ) )  -> 
( `' F "
y )  e.  J
)
7 simpr 449 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  A  e.  X )  ->  A  e.  X )
87adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  A  e.  X
)  /\  ( y  e.  K  /\  ( F `  A )  e.  y ) )  ->  A  e.  X )
9 simprr 736 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  A  e.  X
)  /\  ( y  e.  K  /\  ( F `  A )  e.  y ) )  -> 
( F `  A
)  e.  y )
103ad2antrr 709 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  A  e.  X
)  /\  ( y  e.  K  /\  ( F `  A )  e.  y ) )  ->  F : X --> U. K
)
11 ffn 5313 . . . . . . 7  |-  ( F : X --> U. K  ->  F  Fn  X )
12 elpreima 5565 . . . . . . 7  |-  ( F  Fn  X  ->  ( A  e.  ( `' F " y )  <->  ( A  e.  X  /\  ( F `  A )  e.  y ) ) )
1310, 11, 123syl 20 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  A  e.  X
)  /\  ( y  e.  K  /\  ( F `  A )  e.  y ) )  -> 
( A  e.  ( `' F " y )  <-> 
( A  e.  X  /\  ( F `  A
)  e.  y ) ) )
148, 9, 13mpbir2and 893 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  A  e.  X
)  /\  ( y  e.  K  /\  ( F `  A )  e.  y ) )  ->  A  e.  ( `' F " y ) )
15 eqimss 3191 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( `' F " y )  ->  x  C_  ( `' F "
y ) )
1615biantrud 495 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( `' F " y )  ->  ( A  e.  x  <->  ( A  e.  x  /\  x  C_  ( `' F "
y ) ) ) )
17 eleq2 2317 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( `' F " y )  ->  ( A  e.  x  <->  A  e.  ( `' F " y ) ) )
1816, 17bitr3d 248 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( `' F " y )  ->  (
( A  e.  x  /\  x  C_  ( `' F " y ) )  <->  A  e.  ( `' F " y ) ) )
1918rcla4ev 2852 . . . . 5  |-  ( ( ( `' F "
y )  e.  J  /\  A  e.  ( `' F " y ) )  ->  E. x  e.  J  ( A  e.  x  /\  x  C_  ( `' F "
y ) ) )
206, 14, 19syl2anc 645 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  A  e.  X
)  /\  ( y  e.  K  /\  ( F `  A )  e.  y ) )  ->  E. x  e.  J  ( A  e.  x  /\  x  C_  ( `' F " y ) ) )
2120expr 601 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  K )  ->  (
( F `  A
)  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( A  e.  x  /\  x  C_  ( `' F " y ) ) ) )
2221ralrimiva 2599 . 2  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  A  e.  X )  ->  A. y  e.  K  ( ( F `  A )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( A  e.  x  /\  x  C_  ( `' F " y ) ) ) )
23 cntop1 16918 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  J  e.  Top )
2423adantr 453 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  A  e.  X )  ->  J  e.  Top )
251toptopon 16619 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2624, 25sylib 190 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  A  e.  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
27 cntop2 16919 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  K  e.  Top )
2827adantr 453 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  A  e.  X )  ->  K  e.  Top )
292toptopon 16619 . . . 4  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
3028, 29sylib 190 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  A  e.  X )  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
31 iscnp3 16922 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  A  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  <-> 
( F : X --> U. K  /\  A. y  e.  K  ( ( F `  A )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( A  e.  x  /\  x  C_  ( `' F "
y ) ) ) ) ) )
3226, 30, 7, 31syl3anc 1187 . 2  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  A  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )  <->  ( F : X --> U. K  /\  A. y  e.  K  ( ( F `  A )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( A  e.  x  /\  x  C_  ( `' F " y ) ) ) ) ) )
334, 22, 32mpbir2and 893 1  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  A  e.  X )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2516   E.wrex 2517    C_ wss 3113   U.cuni 3787   `'ccnv 4646   "cima 4650    Fn wfn 4654   -->wf 4655   ` cfv 4659  (class class class)co 5778   Topctop 16579  TopOnctopon 16580    Cn ccn 16902    CnP ccnp 16903
This theorem is referenced by:  cnsscnp  16956  cncnp  16957  lmcn  16981  ptcn  17269  tmdcn2  17720  ghmcnp  17745  tsmsmhm  17776  tsmsadd  17777  dvcnp2  19217  dvaddbr  19235  dvmulbr  19236  dvcobr  19243  dvcjbr  19246  dvcnvlem  19271  lhop1lem  19308  dvcnvrelem2  19313  ftc1cn  19338  taylthlem2  19701  psercn  19750  abelth  19765  cxpcn3  20036  efrlim  20212  blocni  21329  cvmlift2lem11  23202  cvmlift2lem12  23203  cvmlift3lem7  23214
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2521  df-rex 2522  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-op 3609  df-uni 3788  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-id 4267  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-fv 4675  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-map 6728  df-top 16584  df-topon 16587  df-cn 16905  df-cnp 16906
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