Theorem cnco 7768

Description: The composition of two continuous functions is a continuous function. (Contributed by FL, 15-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
cnco	|- (((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) /\ (F e. (J Cn K) /\ G e. (K Cn L))) -> (G o. F) e. (J Cn L))

Proof of Theorem cnco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fco 3636	. . . . . 6 |- ((G:U.K-->U.L /\ F:U.J-->U.K) -> (G o. F):U.J-->U.L)
2		eqid 1475	. . . . . . . . 9 |- U.K = U.K
3		eqid 1475	. . . . . . . . 9 |- U.L = U.L
4	2, 3	cnf 7762	. . . . . . . 8 |- ((K e. Top /\ L e. Top /\ G e. (K Cn L)) -> G:U.K-->U.L)
5	4	3expa 833	. . . . . . 7 |- (((K e. Top /\ L e. Top) /\ G e. (K Cn L)) -> G:U.K-->U.L)
6	5	3adantl1 803	. . . . . 6 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) /\ G e. (K Cn L)) -> G:U.K-->U.L)
7		eqid 1475	. . . . . . . . 9 |- U.J = U.J
8	7, 2	cnf 7762	. . . . . . . 8 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. (J Cn K)) -> F:U.J-->U.K)
9	8	3expa 833	. . . . . . 7 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ F e. (J Cn K)) -> F:U.J-->U.K)
10	9	3adantl3 805	. . . . . 6 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) /\ F e. (J Cn K)) -> F:U.J-->U.K)
11	1, 6, 10	syl2an 454	. . . . 5 |- ((((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) /\ G e. (K Cn L)) /\ ((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) /\ F e. (J Cn K))) -> (G o. F):U.J-->U.L)
12	11	ancoms 436	. . . 4 |- ((((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) /\ F e. (J Cn K)) /\ ((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) /\ G e. (K Cn L))) -> (G o. F):U.J-->U.L)
13	12	anandis 512	. . 3 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) /\ (F e. (J Cn K) /\ G e. (K Cn L))) -> (G o. F):U.J-->U.L)
14		cnima 7767	. . . . . 6 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. (J Cn K)) /\ (`'G"x) e. K) -> (`'F"(`'G"x)) e. J)
15		3simp1 788	. . . . . . . 8 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) -> J e. Top)
16	15	ad2antrr 404	. . . . . . 7 |- ((((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) /\ (F e. (J Cn K) /\ G e. (K Cn L))) /\ x e. L) -> J e. Top)
17		3simp2 789	. . . . . . . 8 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) -> K e. Top)
18	17	ad2antrr 404	. . . . . . 7 |- ((((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) /\ (F e. (J Cn K) /\ G e. (K Cn L))) /\ x e. L) -> K e. Top)
19		simprl 414	. . . . . . . 8 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) /\ (F e. (J Cn K) /\ G e. (K Cn L))) -> F e. (J Cn K))
20	19	adantr 389	. . . . . . 7 |- ((((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) /\ (F e. (J Cn K) /\ G e. (K Cn L))) /\ x e. L) -> F e. (J Cn K))
21	16, 18, 20	3jca 819	. . . . . 6 |- ((((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) /\ (F e. (J Cn K) /\ G e. (K Cn L))) /\ x e. L) -> (J e. Top /\ K e. Top /\ F e. (J Cn K)))
22		cnima 7767	. . . . . . 7 |- (((K e. Top /\ L e. Top /\ G e. (K Cn L)) /\ x e. L) -> (`'G"x) e. K)
23	17	adantr 389	. . . . . . . 8 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) /\ (F e. (J Cn K) /\ G e. (K Cn L))) -> K e. Top)
24		3simp3 790	. . . . . . . . 9 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) -> L e. Top)
25	24	adantr 389	. . . . . . . 8 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) /\ (F e. (J Cn K) /\ G e. (K Cn L))) -> L e. Top)
26		simprr 415	. . . . . . . 8 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) /\ (F e. (J Cn K) /\ G e. (K Cn L))) -> G e. (K Cn L))
27	23, 25, 26	3jca 819	. . . . . . 7 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) /\ (F e. (J Cn K) /\ G e. (K Cn L))) -> (K e. Top /\ L e. Top /\ G e. (K Cn L)))
28	22, 27	sylan 448	. . . . . 6 |- ((((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) /\ (F e. (J Cn K) /\ G e. (K Cn L))) /\ x e. L) -> (`'G"x) e. K)
29	14, 21, 28	sylanc 471	. . . . 5 |- ((((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) /\ (F e. (J Cn K) /\ G e. (K Cn L))) /\ x e. L) -> (`'F"(`'G"x)) e. J)
30		cnvco 3300	. . . . . . 7 |- `'(G o. F) = (`'F o. `'G)
31		imaeq1 3401	. . . . . . 7 |- (`'(G o. F) = (`'F o. `'G) -> (`'(G o. F)"x) = ((`'F o. `'G)"x))
32	30, 31	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (`'(G o. F)"x) = ((`'F o. `'G)"x)
33		imaco 3501	. . . . . 6 |- ((`'F o. `'G)"x) = (`'F"(`'G"x))
34	32, 33	eqtr 1495	. . . . 5 |- (`'(G o. F)"x) = (`'F"(`'G"x))
35	29, 34	syl5eqel 1552	. . . 4 |- ((((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) /\ (F e. (J Cn K) /\ G e. (K Cn L))) /\ x e. L) -> (`'(G o. F)"x) e. J)
36	35	r19.21aiva 1714	. . 3 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) /\ (F e. (J Cn K) /\ G e. (K Cn L))) -> A.x e. L (`'(G o. F)"x) e. J)
37	13, 36	jca 288	. 2 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) /\ (F e. (J Cn K) /\ G e. (K Cn L))) -> ((G o. F):U.J-->U.L /\ A.x e. L (`'(G o. F)"x) e. J))
38	7, 3	iscn 7758	. . . 4 |- ((J e. Top /\ L e. Top) -> ((G o. F) e. (J Cn L) <-> ((G o. F):U.J-->U.L /\ A.x e. L (`'(G o. F)"x) e. J)))
39	38	3adant2 798	. . 3 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) -> ((G o. F) e. (J Cn L) <-> ((G o. F):U.J-->U.L /\ A.x e. L (`'(G o. F)"x) e. J)))
40	39	adantr 389	. 2 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) /\ (F e. (J Cn K) /\ G e. (K Cn L))) -> ((G o. F) e. (J Cn L) <-> ((G o. F):U.J-->U.L /\ A.x e. L (`'(G o. F)"x) e. J)))
41	37, 40	mpbird 196	1 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) /\ (F e. (J Cn K) /\ G e. (K Cn L))) -> (G o. F) e. (J Cn L))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  U.cuni 2503  `'ccnv 3169  "cima 3173   o. ccom 3174  -->wf 3178  (class class class)co 3963  Topctop 7588   Cn ccn 7752

This theorem is referenced by:  metcnco 7897

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-map 4324  df-cn 7754

Copyright terms: Public domain