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Theorem cncombf 19550
Description: The composition of a continuous function with a measurable function is measurable. (More generally,  G can be a Borel-measurable function, but notably the condition that  G be only measurable is too weak, the usual counterexample taking 
G to be the Cantor function and  F the indicator function of the  G-image of a nonmeasurable set, which is a subset of the Cantor set and hence null and measurable.) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
cncombf  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  ->  ( G  o.  F )  e. MblFn )

Proof of Theorem cncombf
Dummy variables  x  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 959 . . . . 5  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  ->  G  e.  ( B -cn-> CC ) )
2 cncff 18923 . . . . 5  |-  ( G  e.  ( B -cn-> CC )  ->  G : B
--> CC )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  ->  G : B
--> CC )
4 simp2 958 . . . 4  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  ->  F : A
--> B )
5 fco 5600 . . . 4  |-  ( ( G : B --> CC  /\  F : A --> B )  ->  ( G  o.  F ) : A --> CC )
63, 4, 5syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  ->  ( G  o.  F ) : A --> CC )
7 fdm 5595 . . . . . 6  |-  ( F : A --> B  ->  dom  F  =  A )
84, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  ->  dom  F  =  A )
9 mbfdm 19520 . . . . . 6  |-  ( F  e. MblFn  ->  dom  F  e.  dom  vol )
1093ad2ant1 978 . . . . 5  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  ->  dom  F  e. 
dom  vol )
118, 10eqeltrrd 2511 . . . 4  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  ->  A  e.  dom  vol )
12 mblss 19427 . . . 4  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
1311, 12syl 16 . . 3  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  ->  A  C_  RR )
14 cnex 9071 . . . 4  |-  CC  e.  _V
15 reex 9081 . . . 4  |-  RR  e.  _V
16 elpm2r 7034 . . . 4  |-  ( ( ( CC  e.  _V  /\  RR  e.  _V )  /\  ( ( G  o.  F ) : A --> CC  /\  A  C_  RR ) )  ->  ( G  o.  F )  e.  ( CC  ^pm  RR ) )
1714, 15, 16mpanl12 664 . . 3  |-  ( ( ( G  o.  F
) : A --> CC  /\  A  C_  RR )  -> 
( G  o.  F
)  e.  ( CC 
^pm  RR ) )
186, 13, 17syl2anc 643 . 2  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  ->  ( G  o.  F )  e.  ( CC  ^pm  RR )
)
19 recncf 18932 . . . . . . . 8  |-  Re  e.  ( CC -cn-> RR )
2019a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  ->  Re  e.  ( CC -cn-> RR ) )
211, 20cncfco 18937 . . . . . 6  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  ->  ( Re  o.  G )  e.  ( B -cn-> RR ) )
2221adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  /\  x  e. 
ran  (,) )  ->  (
Re  o.  G )  e.  ( B -cn-> RR ) )
23 cnvco 5056 . . . . . . . . . 10  |-  `' ( g  o.  F )  =  ( `' F  o.  `' g )
2423imaeq1i 5200 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( g  o.  F
) " x )  =  ( ( `' F  o.  `' g ) " x )
25 imaco 5375 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' F  o.  `' g ) " x
)  =  ( `' F " ( `' g " x ) )
2624, 25eqtri 2456 . . . . . . . 8  |-  ( `' ( g  o.  F
) " x )  =  ( `' F " ( `' g "
x ) )
27 simplll 735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ran  (,) )  /\  g  e.  ( B -cn-> RR ) )  ->  F  e. MblFn )
28 simpllr 736 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ran  (,) )  /\  g  e.  ( B -cn-> RR ) )  ->  F : A
--> B )
29 cncfrss 18921 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  e.  ( B -cn-> RR )  ->  B  C_  CC )
3029adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ran  (,) )  /\  g  e.  ( B -cn-> RR ) )  ->  B  C_  CC )
31 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ran  (,) )  /\  g  e.  ( B -cn-> RR ) )  ->  g  e.  ( B -cn-> RR ) )
32 ax-resscn 9047 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  C_  CC
33 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
34 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  B )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  B )
3533tgioo2 18834 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
3633, 34, 35cncfcn 18939 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  C_  CC  /\  RR  C_  CC )  ->  ( B -cn-> RR )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  B )  Cn  ( topGen `
 ran  (,) )
) )
3730, 32, 36sylancl 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ran  (,) )  /\  g  e.  ( B -cn-> RR ) )  ->  ( B -cn->
RR )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  B )  Cn  ( topGen `
 ran  (,) )
) )
3831, 37eleqtrd 2512 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ran  (,) )  /\  g  e.  ( B -cn-> RR ) )  ->  g  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  B
)  Cn  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) )
39 retopbas 18794 . . . . . . . . . . . 12  |-  ran  (,)  e. 
TopBases
40 bastg 17031 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ran 
(,)  e.  TopBases  ->  ran  (,)  C_  ( topGen `  ran  (,) )
)
4139, 40ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  (,)  C_  ( topGen `  ran  (,) )
42 simplr 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ran  (,) )  /\  g  e.  ( B -cn-> RR ) )  ->  x  e.  ran  (,) )
4341, 42sseldi 3346 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ran  (,) )  /\  g  e.  ( B -cn-> RR ) )  ->  x  e.  ( topGen `  ran  (,) )
)
44 cnima 17329 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  B )  Cn  ( topGen `
 ran  (,) )
)  /\  x  e.  ( topGen `  ran  (,) )
)  ->  ( `' g " x )  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  B ) )
4538, 43, 44syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ran  (,) )  /\  g  e.  ( B -cn-> RR ) )  ->  ( `' g " x )  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  B ) )
4633, 34mbfimaopn2 19549 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  B  C_  CC )  /\  ( `' g " x
)  e.  ( (
TopOpen ` fld )t  B ) )  -> 
( `' F "
( `' g "
x ) )  e. 
dom  vol )
4727, 28, 30, 45, 46syl31anc 1187 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ran  (,) )  /\  g  e.  ( B -cn-> RR ) )  ->  ( `' F " ( `' g
" x ) )  e.  dom  vol )
4826, 47syl5eqel 2520 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ran  (,) )  /\  g  e.  ( B -cn-> RR ) )  ->  ( `' ( g  o.  F
) " x )  e.  dom  vol )
4948ralrimiva 2789 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ran  (,) )  ->  A. g  e.  ( B -cn-> RR ) ( `' ( g  o.  F
) " x )  e.  dom  vol )
50493adantl3 1115 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  /\  x  e. 
ran  (,) )  ->  A. g  e.  ( B -cn-> RR ) ( `' ( g  o.  F ) "
x )  e.  dom  vol )
51 coeq1 5030 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  ( Re  o.  G )  ->  (
g  o.  F )  =  ( ( Re  o.  G )  o.  F ) )
52 coass 5388 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Re  o.  G )  o.  F )  =  ( Re  o.  ( G  o.  F )
)
5351, 52syl6eq 2484 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  ( Re  o.  G )  ->  (
g  o.  F )  =  ( Re  o.  ( G  o.  F
) ) )
5453cnveqd 5048 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  ( Re  o.  G )  ->  `' ( g  o.  F
)  =  `' ( Re  o.  ( G  o.  F ) ) )
5554imaeq1d 5202 . . . . . . 7  |-  ( g  =  ( Re  o.  G )  ->  ( `' ( g  o.  F ) " x
)  =  ( `' ( Re  o.  ( G  o.  F )
) " x ) )
5655eleq1d 2502 . . . . . 6  |-  ( g  =  ( Re  o.  G )  ->  (
( `' ( g  o.  F ) "
x )  e.  dom  vol  <->  ( `' ( Re  o.  ( G  o.  F
) ) " x
)  e.  dom  vol ) )
5756rspcv 3048 . . . . 5  |-  ( ( Re  o.  G )  e.  ( B -cn-> RR )  ->  ( A. g  e.  ( B -cn->
RR ) ( `' ( g  o.  F
) " x )  e.  dom  vol  ->  ( `' ( Re  o.  ( G  o.  F
) ) " x
)  e.  dom  vol ) )
5822, 50, 57sylc 58 . . . 4  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  /\  x  e. 
ran  (,) )  ->  ( `' ( Re  o.  ( G  o.  F
) ) " x
)  e.  dom  vol )
59 imcncf 18933 . . . . . . . 8  |-  Im  e.  ( CC -cn-> RR )
6059a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  ->  Im  e.  ( CC -cn-> RR ) )
611, 60cncfco 18937 . . . . . 6  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  ->  ( Im  o.  G )  e.  ( B -cn-> RR ) )
6261adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  /\  x  e. 
ran  (,) )  ->  (
Im  o.  G )  e.  ( B -cn-> RR ) )
63 coeq1 5030 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  ( Im  o.  G )  ->  (
g  o.  F )  =  ( ( Im  o.  G )  o.  F ) )
64 coass 5388 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Im  o.  G )  o.  F )  =  ( Im  o.  ( G  o.  F )
)
6563, 64syl6eq 2484 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  ( Im  o.  G )  ->  (
g  o.  F )  =  ( Im  o.  ( G  o.  F
) ) )
6665cnveqd 5048 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  ( Im  o.  G )  ->  `' ( g  o.  F
)  =  `' ( Im  o.  ( G  o.  F ) ) )
6766imaeq1d 5202 . . . . . . 7  |-  ( g  =  ( Im  o.  G )  ->  ( `' ( g  o.  F ) " x
)  =  ( `' ( Im  o.  ( G  o.  F )
) " x ) )
6867eleq1d 2502 . . . . . 6  |-  ( g  =  ( Im  o.  G )  ->  (
( `' ( g  o.  F ) "
x )  e.  dom  vol  <->  ( `' ( Im  o.  ( G  o.  F
) ) " x
)  e.  dom  vol ) )
6968rspcv 3048 . . . . 5  |-  ( ( Im  o.  G )  e.  ( B -cn-> RR )  ->  ( A. g  e.  ( B -cn->
RR ) ( `' ( g  o.  F
) " x )  e.  dom  vol  ->  ( `' ( Im  o.  ( G  o.  F
) ) " x
)  e.  dom  vol ) )
7062, 50, 69sylc 58 . . . 4  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  /\  x  e. 
ran  (,) )  ->  ( `' ( Im  o.  ( G  o.  F
) ) " x
)  e.  dom  vol )
7158, 70jca 519 . . 3  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  /\  x  e. 
ran  (,) )  ->  (
( `' ( Re  o.  ( G  o.  F ) ) "
x )  e.  dom  vol 
/\  ( `' ( Im  o.  ( G  o.  F ) )
" x )  e. 
dom  vol ) )
7271ralrimiva 2789 . 2  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  ->  A. x  e.  ran  (,) ( ( `' ( Re  o.  ( G  o.  F
) ) " x
)  e.  dom  vol  /\  ( `' ( Im  o.  ( G  o.  F ) ) "
x )  e.  dom  vol ) )
73 ismbf1 19518 . 2  |-  ( ( G  o.  F )  e. MblFn 
<->  ( ( G  o.  F )  e.  ( CC  ^pm  RR )  /\  A. x  e.  ran  (,) ( ( `' ( Re  o.  ( G  o.  F ) )
" x )  e. 
dom  vol  /\  ( `' ( Im  o.  ( G  o.  F )
) " x )  e.  dom  vol )
) )
7418, 72, 73sylanbrc 646 1  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  ->  ( G  o.  F )  e. MblFn )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   _Vcvv 2956    C_ wss 3320   `'ccnv 4877   dom cdm 4878   ran crn 4879   "cima 4881    o. ccom 4882   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    ^pm cpm 7019   CCcc 8988   RRcr 8989   (,)cioo 10916   Recre 11902   Imcim 11903   ↾t crest 13648   TopOpenctopn 13649   topGenctg 13665  ℂfldccnfld 16703   TopBasesctb 16962    Cn ccn 17288   -cn->ccncf 18906   volcvol 19360  MblFncmbf 19506
This theorem is referenced by:  iblabslem  19719  iblabs  19720  bddmulibl  19730
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cc 8315  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-disj 4183  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-omul 6729  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-acn 7829  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-hom 13553  df-cco 13554  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-pt 13668  df-prds 13671  df-xrs 13726  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-qtop 13733  df-imas 13734  df-xps 13736  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-mulg 14815  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-cnfld 16704  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-tx 17594  df-hmeo 17787  df-xms 18350  df-ms 18351  df-tms 18352  df-cncf 18908  df-ovol 19361  df-vol 19362  df-mbf 19512
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