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Theorem cncombf 18975
Description: The composition of a continuous function with a measurable function is measurable. (More generally,  G can be a Borel-measurable function, but notably the condition that  G be only measurable is too weak, the usual counterexample taking 
G to be the Cantor function and  F the indicator function of the  G-image of a nonmeasurable set, which is a subset of the Cantor set and hence null and measurable.) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
cncombf  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  ->  ( G  o.  F )  e. MblFn )

Proof of Theorem cncombf
StepHypRef Expression
1 simp3 962 . . . . 5  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  ->  G  e.  ( B -cn-> CC ) )
2 cncff 18359 . . . . 5  |-  ( G  e.  ( B -cn-> CC )  ->  G : B
--> CC )
31, 2syl 17 . . . 4  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  ->  G : B
--> CC )
4 simp2 961 . . . 4  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  ->  F : A
--> B )
5 fco 5336 . . . 4  |-  ( ( G : B --> CC  /\  F : A --> B )  ->  ( G  o.  F ) : A --> CC )
63, 4, 5syl2anc 645 . . 3  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  ->  ( G  o.  F ) : A --> CC )
7 fdm 5331 . . . . . 6  |-  ( F : A --> B  ->  dom  F  =  A )
84, 7syl 17 . . . . 5  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  ->  dom  F  =  A )
9 mbfdm 18945 . . . . . 6  |-  ( F  e. MblFn  ->  dom  F  e.  dom  vol )
1093ad2ant1 981 . . . . 5  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  ->  dom  F  e. 
dom  vol )
118, 10eqeltrrd 2333 . . . 4  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  ->  A  e.  dom  vol )
12 mblss 18852 . . . 4  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
1311, 12syl 17 . . 3  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  ->  A  C_  RR )
14 cnex 8786 . . . 4  |-  CC  e.  _V
15 reex 8796 . . . 4  |-  RR  e.  _V
16 elpm2r 6756 . . . 4  |-  ( ( ( CC  e.  _V  /\  RR  e.  _V )  /\  ( ( G  o.  F ) : A --> CC  /\  A  C_  RR ) )  ->  ( G  o.  F )  e.  ( CC  ^pm  RR ) )
1714, 15, 16mpanl12 666 . . 3  |-  ( ( ( G  o.  F
) : A --> CC  /\  A  C_  RR )  -> 
( G  o.  F
)  e.  ( CC 
^pm  RR ) )
186, 13, 17syl2anc 645 . 2  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  ->  ( G  o.  F )  e.  ( CC  ^pm  RR )
)
19 recncf 18368 . . . . . . . 8  |-  Re  e.  ( CC -cn-> RR )
2019a1i 12 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  ->  Re  e.  ( CC -cn-> RR ) )
211, 20cncfco 18373 . . . . . 6  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  ->  ( Re  o.  G )  e.  ( B -cn-> RR ) )
2221adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  /\  x  e. 
ran  (,) )  ->  (
Re  o.  G )  e.  ( B -cn-> RR ) )
23 cnvco 4853 . . . . . . . . . 10  |-  `' ( g  o.  F )  =  ( `' F  o.  `' g )
2423imaeq1i 4997 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( g  o.  F
) " x )  =  ( ( `' F  o.  `' g ) " x )
25 imaco 5165 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' F  o.  `' g ) " x
)  =  ( `' F " ( `' g " x ) )
2624, 25eqtri 2278 . . . . . . . 8  |-  ( `' ( g  o.  F
) " x )  =  ( `' F " ( `' g "
x ) )
27 simplll 737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ran  (,) )  /\  g  e.  ( B -cn-> RR ) )  ->  F  e. MblFn )
28 simpllr 738 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ran  (,) )  /\  g  e.  ( B -cn-> RR ) )  ->  F : A
--> B )
29 cncfrss 18357 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  e.  ( B -cn-> RR )  ->  B  C_  CC )
3029adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ran  (,) )  /\  g  e.  ( B -cn-> RR ) )  ->  B  C_  CC )
31 simpr 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ran  (,) )  /\  g  e.  ( B -cn-> RR ) )  ->  g  e.  ( B -cn-> RR ) )
32 ax-resscn 8762 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  C_  CC
33 eqid 2258 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
34 eqid 2258 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  B )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  B )
3533tgioo2 18271 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
3633, 34, 35cncfcn 18375 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  C_  CC  /\  RR  C_  CC )  ->  ( B -cn-> RR )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  B )  Cn  ( topGen `
 ran  (,) )
) )
3730, 32, 36sylancl 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ran  (,) )  /\  g  e.  ( B -cn-> RR ) )  ->  ( B -cn->
RR )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  B )  Cn  ( topGen `
 ran  (,) )
) )
3831, 37eleqtrd 2334 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ran  (,) )  /\  g  e.  ( B -cn-> RR ) )  ->  g  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  B
)  Cn  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) )
39 retopbas 18231 . . . . . . . . . . . 12  |-  ran  (,)  e. 
TopBases
40 bastg 16666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ran 
(,)  e.  TopBases  ->  ran  (,)  C_  ( topGen `  ran  (,) )
)
4139, 40ax-mp 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  (,)  C_  ( topGen `  ran  (,) )
42 simplr 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ran  (,) )  /\  g  e.  ( B -cn-> RR ) )  ->  x  e.  ran  (,) )
4341, 42sseldi 3153 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ran  (,) )  /\  g  e.  ( B -cn-> RR ) )  ->  x  e.  ( topGen `  ran  (,) )
)
44 cnima 16956 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  B )  Cn  ( topGen `
 ran  (,) )
)  /\  x  e.  ( topGen `  ran  (,) )
)  ->  ( `' g " x )  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  B ) )
4538, 43, 44syl2anc 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ran  (,) )  /\  g  e.  ( B -cn-> RR ) )  ->  ( `' g " x )  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  B ) )
4633, 34mbfimaopn2 18974 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  B  C_  CC )  /\  ( `' g " x
)  e.  ( (
TopOpen ` fld )t  B ) )  -> 
( `' F "
( `' g "
x ) )  e. 
dom  vol )
4727, 28, 30, 45, 46syl31anc 1190 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ran  (,) )  /\  g  e.  ( B -cn-> RR ) )  ->  ( `' F " ( `' g
" x ) )  e.  dom  vol )
4826, 47syl5eqel 2342 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ran  (,) )  /\  g  e.  ( B -cn-> RR ) )  ->  ( `' ( g  o.  F
) " x )  e.  dom  vol )
4948ralrimiva 2601 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ran  (,) )  ->  A. g  e.  ( B -cn-> RR ) ( `' ( g  o.  F
) " x )  e.  dom  vol )
50493adantl3 1118 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  /\  x  e. 
ran  (,) )  ->  A. g  e.  ( B -cn-> RR ) ( `' ( g  o.  F ) "
x )  e.  dom  vol )
51 coeq1 4829 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  ( Re  o.  G )  ->  (
g  o.  F )  =  ( ( Re  o.  G )  o.  F ) )
52 coass 5178 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Re  o.  G )  o.  F )  =  ( Re  o.  ( G  o.  F )
)
5351, 52syl6eq 2306 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  ( Re  o.  G )  ->  (
g  o.  F )  =  ( Re  o.  ( G  o.  F
) ) )
5453cnveqd 4845 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  ( Re  o.  G )  ->  `' ( g  o.  F
)  =  `' ( Re  o.  ( G  o.  F ) ) )
5554imaeq1d 4999 . . . . . . 7  |-  ( g  =  ( Re  o.  G )  ->  ( `' ( g  o.  F ) " x
)  =  ( `' ( Re  o.  ( G  o.  F )
) " x ) )
5655eleq1d 2324 . . . . . 6  |-  ( g  =  ( Re  o.  G )  ->  (
( `' ( g  o.  F ) "
x )  e.  dom  vol  <->  ( `' ( Re  o.  ( G  o.  F
) ) " x
)  e.  dom  vol ) )
5756rcla4v 2855 . . . . 5  |-  ( ( Re  o.  G )  e.  ( B -cn-> RR )  ->  ( A. g  e.  ( B -cn->
RR ) ( `' ( g  o.  F
) " x )  e.  dom  vol  ->  ( `' ( Re  o.  ( G  o.  F
) ) " x
)  e.  dom  vol ) )
5822, 50, 57sylc 58 . . . 4  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  /\  x  e. 
ran  (,) )  ->  ( `' ( Re  o.  ( G  o.  F
) ) " x
)  e.  dom  vol )
59 imcncf 18369 . . . . . . . 8  |-  Im  e.  ( CC -cn-> RR )
6059a1i 12 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  ->  Im  e.  ( CC -cn-> RR ) )
611, 60cncfco 18373 . . . . . 6  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  ->  ( Im  o.  G )  e.  ( B -cn-> RR ) )
6261adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  /\  x  e. 
ran  (,) )  ->  (
Im  o.  G )  e.  ( B -cn-> RR ) )
63 coeq1 4829 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  ( Im  o.  G )  ->  (
g  o.  F )  =  ( ( Im  o.  G )  o.  F ) )
64 coass 5178 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Im  o.  G )  o.  F )  =  ( Im  o.  ( G  o.  F )
)
6563, 64syl6eq 2306 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  ( Im  o.  G )  ->  (
g  o.  F )  =  ( Im  o.  ( G  o.  F
) ) )
6665cnveqd 4845 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  ( Im  o.  G )  ->  `' ( g  o.  F
)  =  `' ( Im  o.  ( G  o.  F ) ) )
6766imaeq1d 4999 . . . . . . 7  |-  ( g  =  ( Im  o.  G )  ->  ( `' ( g  o.  F ) " x
)  =  ( `' ( Im  o.  ( G  o.  F )
) " x ) )
6867eleq1d 2324 . . . . . 6  |-  ( g  =  ( Im  o.  G )  ->  (
( `' ( g  o.  F ) "
x )  e.  dom  vol  <->  ( `' ( Im  o.  ( G  o.  F
) ) " x
)  e.  dom  vol ) )
6968rcla4v 2855 . . . . 5  |-  ( ( Im  o.  G )  e.  ( B -cn-> RR )  ->  ( A. g  e.  ( B -cn->
RR ) ( `' ( g  o.  F
) " x )  e.  dom  vol  ->  ( `' ( Im  o.  ( G  o.  F
) ) " x
)  e.  dom  vol ) )
7062, 50, 69sylc 58 . . . 4  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  /\  x  e. 
ran  (,) )  ->  ( `' ( Im  o.  ( G  o.  F
) ) " x
)  e.  dom  vol )
7158, 70jca 520 . . 3  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  /\  x  e. 
ran  (,) )  ->  (
( `' ( Re  o.  ( G  o.  F ) ) "
x )  e.  dom  vol 
/\  ( `' ( Im  o.  ( G  o.  F ) )
" x )  e. 
dom  vol ) )
7271ralrimiva 2601 . 2  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  ->  A. x  e.  ran  (,) ( ( `' ( Re  o.  ( G  o.  F
) ) " x
)  e.  dom  vol  /\  ( `' ( Im  o.  ( G  o.  F ) ) "
x )  e.  dom  vol ) )
73 ismbf1 18943 . 2  |-  ( ( G  o.  F )  e. MblFn 
<->  ( ( G  o.  F )  e.  ( CC  ^pm  RR )  /\  A. x  e.  ran  (,) ( ( `' ( Re  o.  ( G  o.  F ) )
" x )  e. 
dom  vol  /\  ( `' ( Im  o.  ( G  o.  F )
) " x )  e.  dom  vol )
) )
7418, 72, 73sylanbrc 648 1  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  ->  ( G  o.  F )  e. MblFn )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2518   _Vcvv 2763    C_ wss 3127   `'ccnv 4660   dom cdm 4661   ran crn 4662   "cima 4664    o. ccom 4665   -->wf 4669   ` cfv 4673  (class class class)co 5792    ^pm cpm 6741   CCcc 8703   RRcr 8704   (,)cioo 10622   Recre 11547   Imcim 11548   ↾t crest 13287   TopOpenctopn 13288   topGenctg 13304  ℂfldccnfld 16339   TopBasesctb 16597    Cn ccn 16916   -cn->ccncf 18342   volcvol 18785  MblFncmbf 18931
This theorem is referenced by:  iblabslem  19144  iblabs  19145  bddmulibl  19155
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-inf2 7310  ax-cc 8029  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782  ax-pre-sup 8783  ax-addf 8784  ax-mulf 8785
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-iin 3882  df-disj 3968  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-se 4325  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-isom 4690  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-of 6012  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-iota 6225  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-1o 6447  df-2o 6448  df-oadd 6451  df-omul 6452  df-er 6628  df-map 6742  df-pm 6743  df-ixp 6786  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-fin 6835  df-fi 7133  df-sup 7162  df-oi 7193  df-card 7540  df-acn 7543  df-cda 7762  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-div 9392  df-n 9715  df-2 9772  df-3 9773  df-4 9774  df-5 9775  df-6 9776  df-7 9777  df-8 9778  df-9 9779  df-10 9780  df-n0 9933  df-z 9992  df-dec 10092  df-uz 10198  df-q 10284  df-rp 10322  df-xneg 10419  df-xadd 10420  df-xmul 10421  df-ioo 10626  df-ico 10628  df-icc 10629  df-fz 10749  df-fzo 10837  df-fl 10891  df-seq 11013  df-exp 11071  df-hash 11304  df-cj 11549  df-re 11550  df-im 11551  df-sqr 11685  df-abs 11686  df-clim 11927  df-rlim 11928  df-sum 12124  df-struct 13112  df-ndx 13113  df-slot 13114  df-base 13115  df-sets 13116  df-ress 13117  df-plusg 13183  df-mulr 13184  df-starv 13185  df-sca 13186  df-vsca 13187  df-tset 13189  df-ple 13190  df-ds 13192  df-hom 13194  df-cco 13195  df-rest 13289  df-topn 13290  df-topgen 13306  df-pt 13307  df-prds 13310  df-xrs 13365  df-0g 13366  df-gsum 13367  df-qtop 13372  df-imas 13373  df-xps 13375  df-mre 13450  df-mrc 13451  df-acs 13453  df-mnd 14329  df-submnd 14378  df-mulg 14454  df-cntz 14755  df-cmn 15053  df-xmet 16335  df-met 16336  df-bl 16337  df-mopn 16338  df-cnfld 16340  df-top 16598  df-bases 16600  df-topon 16601  df-topsp 16602  df-cn 16919  df-cnp 16920  df-tx 17219  df-hmeo 17408  df-xms 17847  df-ms 17848  df-tms 17849  df-cncf 18344  df-ovol 18786  df-vol 18787  df-mbf 18937
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