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Theorem cncombf 19418
Description: The composition of a continuous function with a measurable function is measurable. (More generally,  G can be a Borel-measurable function, but notably the condition that  G be only measurable is too weak, the usual counterexample taking 
G to be the Cantor function and  F the indicator function of the  G-image of a nonmeasurable set, which is a subset of the Cantor set and hence null and measurable.) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
cncombf  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  ->  ( G  o.  F )  e. MblFn )

Proof of Theorem cncombf
Dummy variables  x  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 959 . . . . 5  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  ->  G  e.  ( B -cn-> CC ) )
2 cncff 18795 . . . . 5  |-  ( G  e.  ( B -cn-> CC )  ->  G : B
--> CC )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  ->  G : B
--> CC )
4 simp2 958 . . . 4  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  ->  F : A
--> B )
5 fco 5541 . . . 4  |-  ( ( G : B --> CC  /\  F : A --> B )  ->  ( G  o.  F ) : A --> CC )
63, 4, 5syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  ->  ( G  o.  F ) : A --> CC )
7 fdm 5536 . . . . . 6  |-  ( F : A --> B  ->  dom  F  =  A )
84, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  ->  dom  F  =  A )
9 mbfdm 19388 . . . . . 6  |-  ( F  e. MblFn  ->  dom  F  e.  dom  vol )
1093ad2ant1 978 . . . . 5  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  ->  dom  F  e. 
dom  vol )
118, 10eqeltrrd 2463 . . . 4  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  ->  A  e.  dom  vol )
12 mblss 19295 . . . 4  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
1311, 12syl 16 . . 3  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  ->  A  C_  RR )
14 cnex 9005 . . . 4  |-  CC  e.  _V
15 reex 9015 . . . 4  |-  RR  e.  _V
16 elpm2r 6971 . . . 4  |-  ( ( ( CC  e.  _V  /\  RR  e.  _V )  /\  ( ( G  o.  F ) : A --> CC  /\  A  C_  RR ) )  ->  ( G  o.  F )  e.  ( CC  ^pm  RR ) )
1714, 15, 16mpanl12 664 . . 3  |-  ( ( ( G  o.  F
) : A --> CC  /\  A  C_  RR )  -> 
( G  o.  F
)  e.  ( CC 
^pm  RR ) )
186, 13, 17syl2anc 643 . 2  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  ->  ( G  o.  F )  e.  ( CC  ^pm  RR )
)
19 recncf 18804 . . . . . . . 8  |-  Re  e.  ( CC -cn-> RR )
2019a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  ->  Re  e.  ( CC -cn-> RR ) )
211, 20cncfco 18809 . . . . . 6  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  ->  ( Re  o.  G )  e.  ( B -cn-> RR ) )
2221adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  /\  x  e. 
ran  (,) )  ->  (
Re  o.  G )  e.  ( B -cn-> RR ) )
23 cnvco 4997 . . . . . . . . . 10  |-  `' ( g  o.  F )  =  ( `' F  o.  `' g )
2423imaeq1i 5141 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( g  o.  F
) " x )  =  ( ( `' F  o.  `' g ) " x )
25 imaco 5316 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' F  o.  `' g ) " x
)  =  ( `' F " ( `' g " x ) )
2624, 25eqtri 2408 . . . . . . . 8  |-  ( `' ( g  o.  F
) " x )  =  ( `' F " ( `' g "
x ) )
27 simplll 735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ran  (,) )  /\  g  e.  ( B -cn-> RR ) )  ->  F  e. MblFn )
28 simpllr 736 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ran  (,) )  /\  g  e.  ( B -cn-> RR ) )  ->  F : A
--> B )
29 cncfrss 18793 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  e.  ( B -cn-> RR )  ->  B  C_  CC )
3029adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ran  (,) )  /\  g  e.  ( B -cn-> RR ) )  ->  B  C_  CC )
31 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ran  (,) )  /\  g  e.  ( B -cn-> RR ) )  ->  g  e.  ( B -cn-> RR ) )
32 ax-resscn 8981 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  C_  CC
33 eqid 2388 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
34 eqid 2388 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  B )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  B )
3533tgioo2 18706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
3633, 34, 35cncfcn 18811 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  C_  CC  /\  RR  C_  CC )  ->  ( B -cn-> RR )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  B )  Cn  ( topGen `
 ran  (,) )
) )
3730, 32, 36sylancl 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ran  (,) )  /\  g  e.  ( B -cn-> RR ) )  ->  ( B -cn->
RR )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  B )  Cn  ( topGen `
 ran  (,) )
) )
3831, 37eleqtrd 2464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ran  (,) )  /\  g  e.  ( B -cn-> RR ) )  ->  g  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  B
)  Cn  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) )
39 retopbas 18666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ran  (,)  e. 
TopBases
40 bastg 16955 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ran 
(,)  e.  TopBases  ->  ran  (,)  C_  ( topGen `  ran  (,) )
)
4139, 40ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  (,)  C_  ( topGen `  ran  (,) )
42 simplr 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ran  (,) )  /\  g  e.  ( B -cn-> RR ) )  ->  x  e.  ran  (,) )
4341, 42sseldi 3290 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ran  (,) )  /\  g  e.  ( B -cn-> RR ) )  ->  x  e.  ( topGen `  ran  (,) )
)
44 cnima 17252 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  B )  Cn  ( topGen `
 ran  (,) )
)  /\  x  e.  ( topGen `  ran  (,) )
)  ->  ( `' g " x )  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  B ) )
4538, 43, 44syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ran  (,) )  /\  g  e.  ( B -cn-> RR ) )  ->  ( `' g " x )  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  B ) )
4633, 34mbfimaopn2 19417 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  B  C_  CC )  /\  ( `' g " x
)  e.  ( (
TopOpen ` fld )t  B ) )  -> 
( `' F "
( `' g "
x ) )  e. 
dom  vol )
4727, 28, 30, 45, 46syl31anc 1187 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ran  (,) )  /\  g  e.  ( B -cn-> RR ) )  ->  ( `' F " ( `' g
" x ) )  e.  dom  vol )
4826, 47syl5eqel 2472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ran  (,) )  /\  g  e.  ( B -cn-> RR ) )  ->  ( `' ( g  o.  F
) " x )  e.  dom  vol )
4948ralrimiva 2733 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ran  (,) )  ->  A. g  e.  ( B -cn-> RR ) ( `' ( g  o.  F
) " x )  e.  dom  vol )
50493adantl3 1115 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  /\  x  e. 
ran  (,) )  ->  A. g  e.  ( B -cn-> RR ) ( `' ( g  o.  F ) "
x )  e.  dom  vol )
51 coeq1 4971 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  ( Re  o.  G )  ->  (
g  o.  F )  =  ( ( Re  o.  G )  o.  F ) )
52 coass 5329 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Re  o.  G )  o.  F )  =  ( Re  o.  ( G  o.  F )
)
5351, 52syl6eq 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  ( Re  o.  G )  ->  (
g  o.  F )  =  ( Re  o.  ( G  o.  F
) ) )
5453cnveqd 4989 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  ( Re  o.  G )  ->  `' ( g  o.  F
)  =  `' ( Re  o.  ( G  o.  F ) ) )
5554imaeq1d 5143 . . . . . . 7  |-  ( g  =  ( Re  o.  G )  ->  ( `' ( g  o.  F ) " x
)  =  ( `' ( Re  o.  ( G  o.  F )
) " x ) )
5655eleq1d 2454 . . . . . 6  |-  ( g  =  ( Re  o.  G )  ->  (
( `' ( g  o.  F ) "
x )  e.  dom  vol  <->  ( `' ( Re  o.  ( G  o.  F
) ) " x
)  e.  dom  vol ) )
5756rspcv 2992 . . . . 5  |-  ( ( Re  o.  G )  e.  ( B -cn-> RR )  ->  ( A. g  e.  ( B -cn->
RR ) ( `' ( g  o.  F
) " x )  e.  dom  vol  ->  ( `' ( Re  o.  ( G  o.  F
) ) " x
)  e.  dom  vol ) )
5822, 50, 57sylc 58 . . . 4  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  /\  x  e. 
ran  (,) )  ->  ( `' ( Re  o.  ( G  o.  F
) ) " x
)  e.  dom  vol )
59 imcncf 18805 . . . . . . . 8  |-  Im  e.  ( CC -cn-> RR )
6059a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  ->  Im  e.  ( CC -cn-> RR ) )
611, 60cncfco 18809 . . . . . 6  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  ->  ( Im  o.  G )  e.  ( B -cn-> RR ) )
6261adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  /\  x  e. 
ran  (,) )  ->  (
Im  o.  G )  e.  ( B -cn-> RR ) )
63 coeq1 4971 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  ( Im  o.  G )  ->  (
g  o.  F )  =  ( ( Im  o.  G )  o.  F ) )
64 coass 5329 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Im  o.  G )  o.  F )  =  ( Im  o.  ( G  o.  F )
)
6563, 64syl6eq 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  ( Im  o.  G )  ->  (
g  o.  F )  =  ( Im  o.  ( G  o.  F
) ) )
6665cnveqd 4989 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  ( Im  o.  G )  ->  `' ( g  o.  F
)  =  `' ( Im  o.  ( G  o.  F ) ) )
6766imaeq1d 5143 . . . . . . 7  |-  ( g  =  ( Im  o.  G )  ->  ( `' ( g  o.  F ) " x
)  =  ( `' ( Im  o.  ( G  o.  F )
) " x ) )
6867eleq1d 2454 . . . . . 6  |-  ( g  =  ( Im  o.  G )  ->  (
( `' ( g  o.  F ) "
x )  e.  dom  vol  <->  ( `' ( Im  o.  ( G  o.  F
) ) " x
)  e.  dom  vol ) )
6968rspcv 2992 . . . . 5  |-  ( ( Im  o.  G )  e.  ( B -cn-> RR )  ->  ( A. g  e.  ( B -cn->
RR ) ( `' ( g  o.  F
) " x )  e.  dom  vol  ->  ( `' ( Im  o.  ( G  o.  F
) ) " x
)  e.  dom  vol ) )
7062, 50, 69sylc 58 . . . 4  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  /\  x  e. 
ran  (,) )  ->  ( `' ( Im  o.  ( G  o.  F
) ) " x
)  e.  dom  vol )
7158, 70jca 519 . . 3  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  /\  x  e. 
ran  (,) )  ->  (
( `' ( Re  o.  ( G  o.  F ) ) "
x )  e.  dom  vol 
/\  ( `' ( Im  o.  ( G  o.  F ) )
" x )  e. 
dom  vol ) )
7271ralrimiva 2733 . 2  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  ->  A. x  e.  ran  (,) ( ( `' ( Re  o.  ( G  o.  F
) ) " x
)  e.  dom  vol  /\  ( `' ( Im  o.  ( G  o.  F ) ) "
x )  e.  dom  vol ) )
73 ismbf1 19386 . 2  |-  ( ( G  o.  F )  e. MblFn 
<->  ( ( G  o.  F )  e.  ( CC  ^pm  RR )  /\  A. x  e.  ran  (,) ( ( `' ( Re  o.  ( G  o.  F ) )
" x )  e. 
dom  vol  /\  ( `' ( Im  o.  ( G  o.  F )
) " x )  e.  dom  vol )
) )
7418, 72, 73sylanbrc 646 1  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  ->  ( G  o.  F )  e. MblFn )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2650   _Vcvv 2900    C_ wss 3264   `'ccnv 4818   dom cdm 4819   ran crn 4820   "cima 4822    o. ccom 4823   -->wf 5391   ` cfv 5395  (class class class)co 6021    ^pm cpm 6956   CCcc 8922   RRcr 8923   (,)cioo 10849   Recre 11830   Imcim 11831   ↾t crest 13576   TopOpenctopn 13577   topGenctg 13593  ℂfldccnfld 16627   TopBasesctb 16886    Cn ccn 17211   -cn->ccncf 18778   volcvol 19228  MblFncmbf 19374
This theorem is referenced by:  iblabslem  19587  iblabs  19588  bddmulibl  19598
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-inf2 7530  ax-cc 8249  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002  ax-addf 9003  ax-mulf 9004
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-iin 4039  df-disj 4125  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-se 4484  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-isom 5404  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-of 6245  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-2o 6662  df-oadd 6665  df-omul 6666  df-er 6842  df-map 6957  df-pm 6958  df-ixp 7001  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-fi 7352  df-sup 7382  df-oi 7413  df-card 7760  df-acn 7763  df-cda 7982  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-4 9993  df-5 9994  df-6 9995  df-7 9996  df-8 9997  df-9 9998  df-10 9999  df-n0 10155  df-z 10216  df-dec 10316  df-uz 10422  df-q 10508  df-rp 10546  df-xneg 10643  df-xadd 10644  df-xmul 10645  df-ioo 10853  df-ico 10855  df-icc 10856  df-fz 10977  df-fzo 11067  df-fl 11130  df-seq 11252  df-exp 11311  df-hash 11547  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834  df-sqr 11968  df-abs 11969  df-clim 12210  df-rlim 12211  df-sum 12408  df-struct 13399  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-sets 13403  df-ress 13404  df-plusg 13470  df-mulr 13471  df-starv 13472  df-sca 13473  df-vsca 13474  df-tset 13476  df-ple 13477  df-ds 13479  df-unif 13480  df-hom 13481  df-cco 13482  df-rest 13578  df-topn 13579  df-topgen 13595  df-pt 13596  df-prds 13599  df-xrs 13654  df-0g 13655  df-gsum 13656  df-qtop 13661  df-imas 13662  df-xps 13664  df-mre 13739  df-mrc 13740  df-acs 13742  df-mnd 14618  df-submnd 14667  df-mulg 14743  df-cntz 15044  df-cmn 15342  df-xmet 16620  df-met 16621  df-bl 16622  df-mopn 16623  df-cnfld 16628  df-top 16887  df-bases 16889  df-topon 16890  df-topsp 16891  df-cn 17214  df-cnp 17215  df-tx 17516  df-hmeo 17709  df-xms 18260  df-ms 18261  df-tms 18262  df-cncf 18780  df-ovol 19229  df-vol 19230  df-mbf 19380
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